苏北四市2016届高三第一次模拟考试数学试卷

S 数学数学 I 试卷试卷 第第 1 页页 共共 16 页页 S 1 I 1 While I5 S S 2 I I 1 End While Print S 第第 4 题题 苏北四市苏北四市 2016 届高三第一次模拟考试数学试卷届高三第一次模拟考试数学试卷 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 本试卷共 4 页 均为非选择题 第页 均为非选择题 第 1 题 第题 第 20 题 共题 共 20 题 题 本卷满分为 本卷满分为 160 分 考分 考 试时间为试时间为 120 分钟 考试结束后 请将本试卷和答题卡一并交回 分钟 考试结束后 请将本试卷和答题卡一并交回 2 答题前 请您务必将自己的姓名 准考证号用 答题前 请您务必将自己的姓名 准考证号用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置 答题卡的规定位置 3 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名 准考证号与您本人是否相符 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名 准考证号与您本人是否相符 4 作答试题 必须用 作答试题 必须用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答 在其他位置毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答 在其他位置 作答一律无效 作答一律无效 5 如需作图 须用 如需作图 须用 2B 铅笔绘 写清楚 线条 符号等须加黑 加粗 铅笔绘 写清楚 线条 符号等须加黑 加粗 参考公式 锥体的体积公式 参考公式 锥体的体积公式 其中 其中是锥体的底面面积 是锥体的底面面积 是高 是高 1 3 VSh Sh 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分 请把答案填写在答题卡相应位分 请把答案填写在答题卡相应位 置 置 1 已知集合 已知集合 若 若 则实数 则实数的值为的值为 0 Aa 0 1 3 B 0 1 2 3 AB a 2 已知复数 已知复数满足满足 若 若的虚部大于的虚部大于 0 则 则 z 2 4z zz 3 交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控 从速度在 交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控 从速度在 50 90 km h 的汽车中的汽车中 抽取抽取 150 辆进行分析 得到数据的频率分布直方图 如图所示 辆进行分析 得到数据的频率分布直方图 如图所示 则速度在 则速度在 70km h 以以 下的汽车有下的汽车有 辆 辆 4 运行如图所示的伪代码 则输出的结果 运行如图所示的伪代码 则输出的结果 S 为为 5 函数 函数的部分图象如图所示 若的部分图象如图所示 若 AB 5 则 则的值为的值为 2sin 0 f xx 6 若随机安排甲 乙 丙三人在 若随机安排甲 乙 丙三人在 3 天节日中值班 每人值班天节日中值班 每人值班 1 天 则甲与丙都不在第一天 则甲与丙都不在第一 天值班的概率为天值班的概率为 7 抛物线 抛物线的焦点到双曲线的焦点到双曲线渐近线的距离为渐近线的距离为 2 4yx 22 1 169 xy 频率频率 组距组距 速度速度 km h 0 01 0 02 0 03 0 04 50 60708090 第 第 3 题 题 x y O A B 2 2 第第 5 题题 S 数学数学 I 试卷试卷 第第 2 页页 共共 16 页页 8 已知矩形已知矩形的边的边 若沿对角线 若沿对角线折叠 使平面折叠 使平面平面平面ABCD4AB 3BC ACDAC BAC 则三棱锥则三棱锥的体积为的体积为 DABC 9 若公比不为 若公比不为 1 的等比数列的等比数列满足满足 等差数列 等差数列 n b满足满足 n a 21213 log 13aaa 则 则的值为的值为 77 ba 1213 bbb 10 定义在定义在上的奇函数上的奇函数满足当满足当时 时 为常数 为常数 R f x0 x 2 log 2 1 f xxaxb a b 若若 则 则的值为的值为 2 1f 6 f 11 已知已知 且 且 若点 若点 C 满足满足 则 则的取值范的取值范 2OAOB 1OA OB 1OACB OC 围是围是 12 已知函数已知函数若关于若关于的不等式的不等式的解集为的解集为 则实 则实 2cos 0 0 xx x f x x axx x f x 2 数数的取值范围是的取值范围是 a 13 已知点已知点 点 点是直线是直线上的动点 若上的动点 若恒成立 恒成立 0 1 A1 0B 0 C tDAC2ADBD 则最小正整数则最小正整数 的值为的值为 t 14 已知正数已知正数 满足满足 则 则的最小值为的最小值为 abcbca bc cab 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 共计小题 共计 9090 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出 文字说明 证明过程或计算步骤 文字说明 证明过程或计算步骤 15 本小题满分本小题满分 14 分分 在锐角三角形在锐角三角形中 角中 角 的对边分别为的对边分别为 已知 已知 ABCABCabc 3 sin 5 A 1 tan 2 AB 1 求 求的值 的值 tanB 2 若 若 求 求 5b c 16 本小题满分 本小题满分 14 分 分 如图 在四棱锥如图 在四棱锥中 已知底面中 已知底面为矩形 为矩形 平面平面 点点为为PABCD ABCDPAPDCE 棱棱的中点 求证 的中点 求证 PD 1 平面平面 PBEAC 2 平面 平面 平面平面 PADABCD E P AB C D 第 第 16 题 题 S 数学数学 I 试卷试卷 第第 3 页页 共共 16 页页 17 本小题满分 本小题满分 14 分 分 如图 如图 是南北方向的一条公路 是南北方向的一条公路 是北偏东是北偏东方向的一条公路 某风景区的方向的一条公路 某风景区的OAOB45 一段边界为曲线一段边界为曲线 为方便游客观光 拟过曲线 为方便游客观光 拟过曲线上某点上某点分别修建与公路分别修建与公路 CCPOA 垂直的两条道路垂直的两条道路 且 且 的造价分别为的造价分别为 5 万元 百米 万元 百米 40 万元万元OBPMPNPMPN 百米 建立如图所示的平面直角坐标系 百米 建立如图所示的平面直角坐标系 则曲线 则曲线符合函数符合函数xOyC 模型 设模型 设 修建两条道路 修建两条道路 的总造价为的总造价为 2 4 2 19 y xx x PMx PMPN 万元万元 题中所涉及长度单位均为百米 题中所涉及长度单位均为百米 f x 1 求 求的解析式 的解析式 f x 2 当 当为多少时 总造价为多少时 总造价最低 并求出最低造价 最低 并求出最低造价 x f x 18 本小题满分 本小题满分 16 分 分 已知各项均为正数的数列已知各项均为正数的数列的首项的首项 是数列是数列的前的前项和 且满足 项和 且满足 n a 1 1a n S n an 1111 0 nnnnnnnn a SaSaaa an N 1 若 若 成等比数列 求实数成等比数列 求实数的值 的值 1 a 2 a 3 a 2 若 若 求 求 1 2 n S x y O B A C P M N 第 第 17 题 题 北北 南南 东东西西 S 数学数学 I 试卷试卷 第第 4 页页 共共 16 页页 19 本小题满分 本小题满分 16 分 分 如图 在平面直角坐标系如图 在平面直角坐标系中 已知椭圆中 已知椭圆的离心率的离心率 xOy 22 22 1 0 xy Cab ab 1 2 e 左顶点为左顶点为 过点 过点作作斜率为斜率为的的直线直线 交椭圆交椭圆于点于点 D 交 交轴于点轴于点 4 0 A A 0 k k lCy E 1 求椭圆 求椭圆的方程 的方程 C 2 已知点 已知点为为的中点 是否存在定点的中点 是否存在定点 对于任意的 对于任意的都有都有 PADQ 0 k k OPEQ 若存在 求出点若存在 求出点的坐标 若不存在 说明理由 的坐标 若不存在 说明理由 Q 3 若过点 若过点作作直线直线 的平行线交椭圆的平行线交椭圆于点于点 求 求的最小值 的最小值 OlCM ADAE OM 20 本小题满分 本小题满分 16 分 分 已知函数已知函数 其中 其中 为自然对数的底为自然对数的底 32 1 e2 4 24 3 x f xxxaxa a Re 数 数 1 若函数 若函数的图象在的图象在处的切线与直线处的切线与直线垂直 求垂直 求的值 的值 f x0 x 0 xy a 2 关于 关于的不等式的不等式在在上恒成立 求上恒成立 求的取值范围 的取值范围 x 4 e 3 x f x 2 a 3 讨论函数 讨论函数极值点的个数 极值点的个数 f x x y O M E D A P 第 第 19 题 题 S 数学数学 I 试卷试卷 第第 5 页页 共共 16 页页 2121 选做题选做题 本题包括本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两小题 并在相应的答题区四小题 请选定其中两小题 并在相应的答题区 域内作答 若多做 则按作答的前两小题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演域内作答 若多做 则按作答的前两小题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演 算步骤 算步骤 A 选修选修 4 1 几何证明选讲 几何证明选讲 本小题满分 本小题满分 10 分 分 如图 如图 是直角 圆是直角 圆与射线与射线相切于点相切于点 PAQOAPT 与射线与射线相交于两点相交于两点 求证 求证 平分平分 AQBCBTOBA B 选修选修 4 2 矩阵与变换 矩阵与变换 本小题满分 本小题满分 10 分 分 已知矩阵已知矩阵 求矩阵 求矩阵的特征值和特征向量 的特征值和特征向量 12 14 AA C 选修选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 本小题满分 本小题满分 10 分 分 在极坐标系中 圆在极坐标系中 圆的极坐标方程为的极坐标方程为 已知 已知 C 2 8 sin 130 3 3 1 2 A 为圆为圆上一点 求上一点 求面积的最小值 面积的最小值 3 3 2 B PCPAB D 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 本小题满分 本小题满分 10 分 分 设设 x y 均为正数 且均为正数 且 x y 求证 求证 22 1 223 2 xy xxyy 必必做做题题 第第22题题 第第23题题 每每题题10分分 共共计计20分分 请请在在 答答题题卡卡指指定定区区域域 内内作作答答 解解答答时时应应写写 出文字说明 证明过程或演算步骤 出文字说明 证明过程或演算步骤 22 本小题满分 本小题满分 10 分 分 如图 在直三棱柱如图 在直三棱柱中 底面中 底面是直角三角形 是直角三角形 111 ABCABC ABC 1AB AC 点 点是棱是棱上一点 满足上一点 满足 1 2AA P 1 BB 1 0 1 BPBB 1 若 若 求直线 求直线与平面与平面所成角的正弦值 所成角的正弦值 1 3 PC 1 ABC 2 若二面角 若二面角的正弦值为的正弦值为 求 求的值的值 1 PACB 2 3 第 第 21 A题题 A1 C1 B1 A C B P 第 第 22 题 题 S 数学数学 I 试卷试卷 第第 6 页页 共共 16 页页 23 本小题满分 本小题满分 10 分 分 已知数列已知数列满足满足 n a32 n an 12 111 n f n aaa 2 g 1 nf nf n n N 1 求证 求证 1 g 2 3 2 求证 当 求证 当时 时 3n 1 g 3 n 数学参考答案 一 填空题一 填空题 1 2 2 3 75 4 9 5 6 2i 3 1 3 7 8 9 26 10 4 11 3 5 24 5 61 6 1 12 13 4 14 2 1 2 2 二 解答题二 解答题 15 1 在锐角三角形中 由 得 2 分ABC 3 sin 5 A 2 4 cos1sin 5 AA 所以 4 分 sin3 tan cos4 A A A 由 得 7 分 tantan1 tan 1tantan2 AB AB AB tan2B 2 在锐角三角形中 由 得 9 分ABCtan2B 2 5 sin 5 B 5 cos 5 B 所以 11 分 11 5 sinsin sincoscossin 25 CABABAB 由正弦定理 得 14 分 sinsin bc BC sin11 sin2 bC c B 16 1 连接 BD 与 AC 相交于点 O 连结 OE 2 分 因为四边形 ABCD 为矩形 所以 O 为 BD 中点 因为 E 为棱 PD 中点 所以 PB OE 4 分 因为 PB平面 EAC OE 平面 EAC O P A B C D E S 数学数学 I 试卷试卷 第第 7 页页 共共 16 页页 所以直线 PB 平面 EAC 6 分 2 因为 PA 平面 PDC CD 平面 PDC 所以 PA CD 8 分 因为四边形 ABCD 为矩形 所以 AD CD 10 分 因为 PA AD A PA AD 平面 PAD 所以 CD 平面 PAD 12 分 因为 CD 平面 ABCD 所以 平面 PAD 平面 ABCD 14 分 17 1 在如图所示的直角坐标系中 因为曲线 C 的方程为 2 4 2 19y xx x PMx 所以点 P 坐标为 2 4 2 x x x 直线 OB 的方程为 20 xy 分 则点 P 到直线的距离为 40 xy 2 2 2 4 24 2 4 22 xx xx x 分 又 PM 的造价为 5 万元 百米 PN 的造价为 40 万元 百米 则两条道路总造价为 8 分 22 432 540519f xxxx xx 2 因为 22 432 5405f xxx xx 所以 10 3 33 645 64 5 1 x fx xx 分 令 得 列表如下 0fx 4x S 数学数学 I 试卷试卷 第第 8 页页 共共 16 页页 所以当时 函数有最小值 最小值4x f x 为 13 分 2 32 45 430 4 f 答 1 两条道路 PM PN 总造价为 f x 2 32 5f xx x 19x 2 当时 总造价最低 最低造价为 30 万元 4x 14 分 注 利用三次均值不等式 3 22 3232 555 3 830 22 xx f xx xx 当且仅当 即时等号成立 照样给分 2 32 22 xx x 4x 18 1 令 得 1n 2 2 1 a 令 得 所2n 23322323 a Sa Saaa a 以 2 分 3 24 1 21 a 由 得 因为 所以 4 2 213 aa a 2 224 11 21 0 1 分 2 当时 1 2 1111 1 2 nnnnnnnn a SaSaaa a 所以 即 6 1 111 111 2 nn nnnn SS aaaa 1 1 111 2 nn nn SS aa x1 4 44 9 fx 0 f x 单调递减极小值单调递增 S 数学数学 I 试卷试卷 第第 9 页页 共共 16 页页 分 所以数列是以为首项 公差为的等差数列 1 n n S a 2 1 2 所以 8 11 21 2 n n S n a 分 即 3 1 22 nn n Sa 当时 2n 11 3 1 22 nn n Sa 得 10 1 32 22 nnn nn aaa 分 即 所以 12 1 12 nn nana 1 2 21 nn aa n nn 分 所以是首项为是常数列 所以 14 2 n a n 1 3 1 2 3 n an 分 代入 得 16 2 35 1 226 nn nnn Sa 分 19 1 因为左顶点为 所以 又 所以 2 分 4 0 A 4a 1 2 e 2c 又因为 222 12bac 所以椭圆 C 的标准方程为 4 22 1 1612 xy 分 S 数学数学 I 试卷试卷 第第 10 页页 共共 16 页页 2 直线 的方程为 由消元得 l 4 yk x 22 1 1612 4 xy yk x 22 4 1 1612 xk x 化简得 22 4 43 1612 0 xkxk 所以 1 4x 2 2 2 1612 43 k x k 6 分 当时 2 2 1612 43 k x k 2 22 161224 4 4343 kk yk kk 所以 因为点为的中点 所以的坐标为 2 22 161224 4343 D kk kk PADP 2 22 1612 43 43 kk kk 则 3 0 4 OP kk k 8 分 直线 的方程为 令 得点坐标为 l 4 yk x 0 x E 0 4 k 假设存在定点 使得 0 Q m n m OPEQ 则 即恒成立 1 OPEQ kk 34 1 4 nk km 所以恒成立 所以即 412 30mkn 4120 30 m n 3 0 m n 因此定点的坐标为 Q 3 0 10 分 3 因为 所以的方程可设为 OMlAOMykx 由得点的横坐标为 22 1 1612 xy ykx M 2 4 3 43 x k 12 分 S 数学数学 I 试卷试卷 第第 11 页页 共共 16 页页 由 得OMlA 2 DAEA DA MM xxxxxxADAE OMxx 2 2 2 2 2 1612 149 43 4 33 43 4 8 3 k k k k k 14 分 2 2 16 2 243 3 43 k k 当且仅当即时取等号 2 2 6 43 43 k k 3 2 k 所以当时 的最小值为 3 2 k ADAE OM 2 2 16 分 20 1 由题意 32 1 e 3 x fxxxaxa 2 分 因为的图象在处的切线与直线垂直 f x0 x 0 xy 所以 解得 0 1 f 1a 4 分 2 法一 由 得 4 e 3 x f x 32 14 e2 4 24e 33 xx xxaxa 即对任意恒成立 32 6 312 680 xxaxa 2 x 6 分 即对任意恒成立 32 636128x axxx 2 x 因为 所以 2x 32 261281 2 323 xxx ax x 8 分 记 因为在上单调递增 且 21 2 3 g xx g x 2 2 0g 所以 即的取值范围是 0a a 0 10 分 法二 由 得 4 e 3 x f x 32 14 e2 4 24e 33 xx xxaxa S 数学数学 I 试卷试卷 第第 12 页页 共共 16 页页 即在上恒成立 32 6 312 680 xxaxa 2 6 分 因为等价于 32 6 312 680 xxaxa 2 2 434 0 xxxa 当时 恒成立 0a 22 434 2 30 xxaxa 所以原不等式的解集为 满足题意 2 8 分 当时 记 有 0a 2 434g xxxa 2 30ga 所以方程必有两个根 且 2 4340 xxa 12 x x 12 2xx 原不等式等价于 解集为 与题设矛 12 2 0 xxxxx 12 2 xx 盾 所以不符合题意 0a 综合 可知 所求的取值范围a 是 10 分 0 3 因为由题意 可得 32 1 e 3 x f xxxaxa 所以只有一个极值点或有三个极值点 11 分 令 f x 32 1 3 g xxxaxa 若有且只有一个极值点 所以函数的图象必穿过 x 轴且只穿过一次 f x g x 即为单调递增函数或者极值同号 g x g x 当为单调递增函数时 在上恒成立 g x 2 20g xxxa R 得 12 分1a 当极值同号时 设为极值点 则 g x 12 x x 12 0g xg x 由有解 得 且 2 20g xxxa 1a 2 11 20 xxa 2 22 20 xxa 所以 1212 2 xxx xa 所以 32 1111 1 3 g xxxaxa 2 1111 1 2 3 xxaxaxa 111 11 2 33 xaaxaxa 1 2 1 3 axa 同理 22 2 1 3 g xaxa 所以 1212 22 1 1 0 33 g xg xaxaaxa 化简得 22 1212 1 1 0ax xa axxa 所以 即 所以 22 1 2 1 0aaa aa 0a 01a 所以 当时 有且仅有一个极值点 0a f x 14 分 若有三个极值点 所以函数的图象必穿过 x 轴且穿过三次 同理可得 f x g x 0a S 数学数学 I 试卷试卷 第第 13 页页 共共 16 页页 综上 当时 有且仅有一个极值点 0a f x 当时 有三个极值点 16 分0a f x 数学数学 附加题 参考答案及评分标准 附加题 参考答案及评分标准 21 选做题 本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两小题 并在相应的答题区 域内作答 若多做 则按作答的前两小题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演 算步骤 21A 连结 因为是切线 所以 2 分OTATOTAP 又因为是直角 即 所以 PAQ AQAP ABOTA 所以 5 分 又 所以 TBABTO OTOB OTBOBT 8 分 所以 即平分 OBTTBA BTOBA 10 分 21B 矩阵的特征多项式为 2 分A 2 12 56 14 f 由 解得 4 分 0f 1 2 2 3 当时 特征方程组为 1 2 20 20 xy xy 故属于特征值的一个特征向量 7 分 1 2 1 2 1 当时 特征方程组为 2 3 220 0 xy xy 故属于特征值的一个特征向量 10 分 2 3 2 1 1 21C 圆的直角坐标方程为 C 22 4 34130 xyxy 即 4 分 22 2 3 2 3xy 又 所以 6 分 到直线距离的最小值为 0 1 0 3 AB 2AB PAB S 数学数学 I 试卷试卷 第第 14 页页 共共 16 页页 8 分2 333 所以面积的最小值为 10 分PAB 1 23 3 2 21D 因为 x 0 y 0 x y 0 222 11 222 2 xyxy xxyyxy 4 分 2 1 xyxy xy 2 3 2 1 3 3 xy xy 8 分 所以 22 1 223 2 xy xxyy 10 分 必必做做题题 第第22题题 第第23题题 每每题题10分分 共共计计20分分 请请在在 答答题题卡卡指指定定区区域域 内内作作答答 解解答答时时应应写写 出文字说明 证明过程或演算步骤 出文字说明 证明过程或演算步骤 22 以为坐标原点 分别以 所在直线为轴 轴 轴 建立空间AOABAC 1 AAxyz 直角坐标系 因为 则 Oxyz 1AB AC 1 2AA 0 0 0 A 1 0 0 B 0 1 0 C 1