一个整数的约数个数与约数和的计算方法

一个整数的约数个数与约数和的计算方法 两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系 分 数的最小公倍数 涉及一个整数的约数 以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题 其中 质因数分解发挥着重要作用 1 1 数 360 的约数有多少个 这些约数的和是多少 分析与解分析与解 360 分解质因数 360 2 2 2 3 3 5 23 32 5 360 的约数可以且只能是 2a 3b 5c 其中 a b c 均是整数 且 a 为 0 3 6 为 0 2 c 为 0 1 因为 a b c 的取值是相互独立的 由计数问题的乘法原理知 约数的个数为 3 1 2 1 1 1 24 我们先只改动关于质因数 3 的约数 可以是 l 3 32 它们的和为 1 3 32 所以所有 360 约数的和为 1 3 32 2y 5w 我们再来确定关于质因数 2 的约数 可以是 l 2 22 23 它们的和为 1 2 22 23 所以 所有 360 约数的和为 1 3 32 1 2 22 23 5w 最后确定关于质因数 5 的约数 可以是 1 5 它们的和为 1 5 所以所有 360 的约数的 和为 1 3 32 1 2 22 23 1 5 于是 我们计算出值 13 15 6 1170 所以 360 所有约数的和为 1170 评注评注 我们在本题中分析了约数个数 约数和的求法 下面我们给出一般结论 I 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后 将每个质因数的指数 次数 加 1 后 所得的乘积 如 1400 严格分解质因数后为 23 52 7 所以它的约数有 3 1 2 1 1 1 4 3 2 24 个 包括 1 和它自身 约数的和是在严格分解质因数后 将 M 的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘 所得到的积 如 21000 23 3 53 7 所以 21000 所有约数的和为 1 2 22 23 1 3 1 5 52 53 1 7 74880 2 2 一个数是 5 个 2 3 个 3 6 个 5 1 个 7 的连乘积 这个数有许多约数是两位数 那么在这些 两位数的约数中 最大的是多少 分析与解分析与解 设这个数为 A 有 A 25 33 56 7 99 3 3 11 98 2 7 7 97 均不是 A 的约数 而 96 25 3 为 A 的约数 所以 96 为其最大的两位数约数 3 3 写出从 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数 分析与解分析与解 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后 将每个质因数的指数将每个质因数的指数 次数次数 加加 1 1 后所得的乘积后所得的乘积 如 1400 严格分解质因数后为 23 52 7 所以它的约数有 3 1 2 1 1 1 4 3 2 24 个 包括 1 和它自身 如果某个自然数有奇数个约数 那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个 这样它们 加 1 后均是奇数 所得的乘积才能是奇数 而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方 数 即完全平方数完全平方数 除除 0 0 外外 有奇数个约数有奇数个约数 反过来反过来 有奇数个约数的数一定是完全平方数 有奇数个约数的数一定是完全平方数 由以上分析知 我们所求的为 360 630 之间有多少个完全平方数 18 18 324 19 19 361 25 25 625 26 26 676 所以在 360 630 之间的完全平方数 为 192 202 212 222 232 242 252 即 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数为 361 400 441 484 529 576 625 4 4 今有语文课本 42 册 数学课本 112 册 自然课本 70 册 平均分成若干堆 每堆中这 3 种课 本的数量分别相等 那么最多可分多少堆 分析与解分析与解 显然堆数是 42 的约数 是 112 的约数 是 70 的约数 即为 42 112 70 的 公约数 有 42 112 70 14 所以 最多可以分成 14 堆 5 5 加工某种机器零件 要经过三道工序 第一道工序每名工人每小时可完成 6 个零件 第二道 工序每名工人每小时可完成 10 个零件 第三道工序每名工人每小时可完成 15 个零件 要使 加工生产均衡 三道工序最少共需要多少名工人 分析与解分析与解 为了使生产均衡 则每道工序每小时生产的零件个数应相等 设第一 二 三道工序上分别有 A B C 个工人 有 6A 10B 15C k 那么 k 的最小值为 6 10 15 的最小公 倍数 即 6 10 15 30 所以 A 5 B 3 C 2 则三道工序最少共需要 5 3 2 10 名工人 6 6 有甲 乙 丙 3 人 甲每分钟行走 120 米 乙每分钟行走 100 米 丙每分钟行走 70 米 如果 3 个人同时同向 从同地出发 沿周长是 300 米的圆形跑道行走 那么多少分钟之后 3 人又可 以相聚 分析与解分析与解 设在 x 分钟后 3 人再次相聚 甲走了 120 x 米 乙走了 lOOx 米 丙走了 70 x 米 他们 3 人之间的路程差均是跑道长度的整数倍 即 120 x 100 x 120 x 70 x lOOx 70 x 均是 300 的倍数 那么 300 就是 20 x 50 x 30 x 的公约 数 有 20 x 50 x 30 x 300 而 20 x 50 x 30 x x 20 50 30 lOx 所以 x 30 即在 30 分钟后 3 人又可以相聚 7 7 3 条圆形跑道 圆心都在操场中的旗杆处 甲 乙 内 3 人分别在里圈 中圈 外圈沿同 样的方向跑步 开始时 3 人都在旗杆的正东方向 里圈跑道长千米 中圈跑道长千米 外 1 5 1 4 圈跑道长千米 甲每小时跑 3千米 乙每小时跑 4 千米 丙每小时跑 5 千米 问他们同时 3 8 1 2 出发 几小时后 3 人第一次同时回到出发点 分析与解分析与解 甲跑完一圈需小时 乙跑一圈需小时 丙跑一圈需 112 3 5235 11 4 416 则他们同时回到出发点时都跑了整数圈 所以经历的时间为 的倍数 即 33 5 840 2 35 1 16 3 40 它们的公倍数 而 213 35 16 40 2 1 3 35 16 4 6 6 1 所以 6 小时后 3 人第一次同时回到出发点 评注 求一组分数的最小公倍数 先将这些分数化为最简分数 将分子的最小公倍数作为 新分数的分子 将分母的最大公约数作为新分数的分母 这样得到的新分数即为所求的最小 公倍数 求一组分数的最大公约数 先将这些分数化为最简分数 将分子的最大公约数作为新分 数的分子 将分母的最小公倍数作为新分数的分母 这样得到的新分数即为所求的最大公约 数 8 8 甲数和乙数的最大公约数是 6 最小公倍数是 90 如果甲数是 18 那么乙数是多少 分析与解分析与解 有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积 有它们 的最大公约数与最小公倍数的乘积为 6 90 540 则乙数为 540 18 30 9 9 A B 两数都仅含有质因数 3 和 5 它们的最大公约数是 75 已知数 A 有 12 个约数 数 B 有 10 个约数 那么 A B 两数的和等于多少 分析与解分析与解 方法一方法一 由题意知 A 可以写成 3 52 a B 可以写成 3 52 6 其中 a b 为整数且只含质因子 3 5 即 A 31 x 52 y B 31 m 52 n 其中 x Y m n 均为自然数 可以为 0 由 A 有 12 个约数 所以 1 x 1 2 y 1 2 x 3 y 12 所以 对应 A 为 31 2 52 675 31 1 52 1 1125 或 21 01 xx yy 0 4 x y 或 31 0 52 4 46875 由 B 有 10 个约数 所以 1 m 1 2 n l 2 m 3 n 10 所以 对应 B 0 2 m n 为 31 0 52 2 1875 只有 675 1875 75 所以 A 675 B 1875 那么 A B 两数的和为 675 1875 2550 方法二方法二 由题中条件知 A B 中有一个数质因数中出现了两次 5 多于一次 3 那么 先假 设它出现了 N 次 3 则约数有 2 1 N 1 3 N 1 个 12 与 10 其中只有 12 是 3 的倍数 所以 3 N 1 12 易知 N 3 这个数是 A 即 A 33 52 675 那么 B 的质数中出现了一次 3 多于两次 5 则出现了 M 次 5 则有 1 1 M 1 2 M 1 10 M 4 B 3 54 1875 那么 A B 两数的和为 675 1875 2550 10 10 有两个自然数 它们的和等于 297 它们的最大公约数与最小公倍数之和等于 693 这两个 自然数的差等于多少 分析与解分析与解 设这两数为 a b 记 a a b q1 b a b q2 它们的和为 a b a b ql a b q2 a b q1 q2 297 它们的最大公约数与最小公倍数的和为 a b a b a b qlq2 a b a b qlq2 1 693 且 q1 q2 1 综合 知 a b 是 297 693 的公约数 而 297 693 99 所以 a b 可以是 99 33 1l 9 3 1 a b 99 则 q1 q2 3 qlq2 1 7 即 qlq2 6 2 3 无满足条件的第一种情况 ql q2 a b 33 则 q1 q2 9 q1q2 1 21 即 q1q2 20 22 5 则 ql 5 q2 4第二种情况 时满足 a a b q1 33 5 165 b a b q2 33 4 132 则 a b 165 132 33 a b 11 则 q1 q2 27 q1q2 1 63 即 qq2 62 2 31 无满足条件第三种情况 的 q1 q2 一一验证第四种情况 第五种情况 第六种情况没有满足条件的 q1q2 所以 这个两个自然数的差为 33 11 11 两个不同自然数的和是 60 它们的最大公约数与最小公倍数的和也是 60 问这样的自 然数共有多少组 分析与解分析与解 设这两数为 a b 记 a a b q1 b a b q2 它们的和为 a b a b q1 a b q2 a b ql q2 60 它们的最大公约数与最小公倍数的和为 a b a b a b q1q2 a b a b q1q2 1 60 且 q1 q2 1 联立 有 ql q2 q1q2 1 即 ql q2 qlq2 1 ql 1 1 q2 0 所以 ql 1 或 q2 1 即说明一个数是另一个数的倍数 不妨记 a kb k 为非零整数 有 即确定 则 k 确定 则 kb 即 a 60 60 abkbb a bbabkb a b 160kb 确定 60 的约数有 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 这 11 个 b 可以等于 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 这 10 个数 除了 60 因为如果 6 60 则 k 1 1 而 k 为非零整数 对应的 a b 有 10 组可能的值 即这样的自然数有 10 组 进一步 列出有 a b 为 58 2 57 3 56 4 55 5 54 6 50 10 48 12 45 15 40 20 30 30 评注 如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和 那么这两个数 存在倍数关系 1212 3 个连续的自然数的最小公倍数是 9828 那么这 3 个自然数的和等于多少 分析与解分析与解 若三个连续的自然数中存在两个偶数 那么它们的最小公倍数为三个数 乘积的一半 若三个连续的自然数中只存在一个偶数 那么它们的最小公倍数为三个数的乘积 则当 a a 1 a 2 中有 2 个偶数时 a a 1 a 2 9828 2 当 a a 1 a 2 中有 1 个偶数时 a a 1 a 2 9828 对 9828 分解质因数 9828 2 2 3 3 3 7 13 我们注意 13 是其最大的质因数 验 证不存在 3 个连续的自然数的积为 9828 则这三个自然数的积只能是 9828 2 此时这三个数中存在两个偶数 有 9828 2 2 2 2 3 3 3 7 13 13 2 26 有 26 27 28 三个数的积为 9828 2 所以这三个连续的自然数为 26 27 28 其中有两个偶数 满足题意 所以 这三个数的和为 26 27 28 81 评注评注 我们知道两个连续的自然数互质 而两个互质的数的公倍数等于它们的积 即 0 b a b 记这 3 个连续的自然数为 a a 1 a 2 有 a a 1 a 2 a a 1 a 1 a 2 a a 1 a 1 a 2 a a 1 a 1 a 2 a 1 a a 2 因为 a a 2 同奇同偶 当 a a 2 均是偶数时 a a 2 的最大公约数为 2 则它们的最小公倍数为 2 2 aa 当 a a 2 均是奇数时 a a 2 互质 则它们的最小公倍数为 a a 2 所以 a 1 a a 2 2 1 2 12 aa aa aaaa 为偶数 为奇数 即 a a 1 a 2 为 a a 1 a 2 或 12 2 a aa 若三个连续的自然数中存在两个偶数 那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半 若 三个连续的自然数中只存在一个偶数 那么它们的最小公倍数为三个数的乘积 1313 甲 乙两数的最小公倍数是 90 乙 丙两数的最小公倍数是 105 甲 丙两数的最小公 倍数是 126 那么甲数是多少 分析与解分析与解 对 90 分解质因数 90 2 3 3 5 因为 5126 所以 5甲 即甲中不含因数 5 于是乙必含因数 5 因为 2105 所以 2乙 即乙中不含因数 2 于是甲必含 2 2 因为 9105 所以 9乙 即乙最多含有一个因数 3 当乙只含一个因数 3 时 乙 3 5 15 由 甲 乙 90 2 32 5 则甲第一种情况 2 32 18 当乙不含因数 3 时 乙 5 由 甲 乙 90 2 32 5 则甲 2 32 18 第一种情况 综上所需 甲为 18 评注评注 两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子 并且这些质因数的个数为两数中此质 因数的最大值 如 a 2 33 52 7 b 23 32 5 7 11 则 A B 的最小公倍数含有质因子 2 3 5 7 11 并 且它们的个数为 a b 中含有此质因子较多的那个数的个数 即依次含有 3 个 3 个 2 个 1 个 1 个 即 a b 23 33 52 7 11 1414 a b c 是 3 个整数 a b c 的最大公约数是 15 a b 的最大公约数是 75 a b 的 最