数列通项公式的求法ppt课件.ppt

等差数列与差比数列的通项公式 1 类型一 等差数列与等比数列的通项 公式 2 练习 3 类型二 类等差 比 数列 方法 累加 乘 4 一 若数列有形如an 1 an f n 的解析式 而f 1 f 2 f n 的和是可求的 则可用多式累 迭 加法求得an 2011年厦门质检 已知数列 an 中 a1 20 an 1 an 2n 1 n N 则数列 an 的通项公式an 解析 由条件an 1 an 2n 1 n N 即an 1 an 2n 1 得a2 a1 1 a3 a2 3 a4 a3 5 an 1 an 2 2n 5 an an 1 2n 3 以上n 1个式子相加并化简 得an a1 n 1 2 n2 2n 21 答案 n2 2n 21 5 变式探究 1 已知数列 an 中 a1 1 an 1 an 2n 求an 解析 当n 2时 a2 a1 2 a3 a2 22 a4 a3 23 an an 1 2n 1 将这n 1个式子累加起来可得an a1 2 22 2n 1 an a1 2 22 2n 1 1 2 22 2n 1 2n 1 当n 1时 a1适合上式 故an 2n 1 6 二 若数列有形如an f n an 1的解析关系 而f 1 f 2 f n 的积是可求的 则可用多式累 迭 乘法求得an 设 an 的首项为1的正项数列 且 n an 1an 0 求它的通项公式 解析 由题意a1 1 an 0 n 1 2 3 7 方法二 8 9 练习 10 由 整理得 11 12 再用累乘法也可以 13 练习 14 类型五 待定系数法求数列的通项 则可考虑待定系数法设 构造新的辅助数列 是首项为 公比为q的等比数列 求出 再进一步求通项 15 若数列有形如an pan 1 q n 2 p q为常数 pq 0 p 1 的线性递推关系 则可用待定系数法求得an 具体思路 设递推式可化为an 1 A p an A 得an 1 pan p 1 A 与已知递推式比较 解得A 故可将递推式化为an p an 1 构造数列 bn 其中bn an 则bn 1 pbn 即 p 所以 bn 为等比数列 故可求出bn f n 再将bn an 代入即可得an 16 已知数列 an 中 a1 1 an 1 an 1 求an 解析 解法一 数列 bn 为等比数列 又a1 3 2 17 18 点评 1 注意数列解题中的换元思想的运用 如bn an 3 2 对数列递推式an 1 pan q 我们通常将其化为 p 设bn an A 构造数列 bn 为等比数列 19 20 练习 21 四 递推式如an pan 1 rqn n 2 pqr 0 p q r为常数 型的通项的求法 具体思路 1 等式两边同除以qn 22 23 已知数列 an 满足an 4an 1 2n n 2 n N 且a1 2 求an 解析 解法一 an 4an 1 2n 24 解法二 an 4an 1 2n 令an 2n 4 an 1 2n 1 n 2 得an 4an 1 2n 与已知递推式比较得 1 an 2n 4 又a1 22 1 4 an 2n 是首项为4 公比为4的等比数列 an 2n 4 4n 1 an 4n 2n 22n 2n 25 练习 26 变式探究 5 2011年盐城模拟 在数列 an 中 a1 2 an 1 an n 1 2 2n n N 其中 0 求数列 an 的通项公式 解析 由an 1 an n 1 2 2n n N 0 得an 1 an n 1 2n 1 2n 所以数列 an 的通项公式为an n 1 n 2n 27 28 方法二 累加 由 得 29 30 五 递推式如an pan 1 qn r n 2 pq 0 p q为常数 型数列的通项求法具体思路 等价转化为an xn y p an 1 x n 1 y 再化为an pan 1 p 1 xn p 1 y 比较对应系数 解出x y 进而转化为例3的数列 2011年济宁模拟 已知数列 an 中 a1 点 n 2an 1 an 在直线y x上 其中n 1 2 3 求数列 an 的通项 解析 点 n 2an 1 an 在直线y x上 2an 1 an n 31 令an 1 x n 1 y an nx y 可化为2an 1 an xn 2x y 0与 比较系数得x 1 y 2 可化为an 1 n 1 2 an n 2 32 变式探究 6 2010年丰台区模拟 在数列 an 中 a1 2 an 1 4an 3n 1 n N 1 设bn an n 求数列的通项 2 求数列 an 的前n项和Sn 解析 1 由题设an 1 4an 3n 1 得an 1 n 1 4 an n n N bn an n bn 1 an 1 n 1 bn 1 4bn 又b1 a1 1 1 所以数列是首项为1 且公比为4的等比数列 bn 4n 1 33 2 由 1 可知an n 4n 1 于是数列 an 的通项公式为an 4n 1 n 34 七 倒数法求通项 1 对于递推式如an 1 pan qan 1an p q为常数 pq 0 型的数列 求其通项公式 具体思路 两端除以an 1an得 p q 若p 1 则构成以首项为 公差为 q的等差数列 若p 1 转化为例3求解 35 2011年保定摸底 已知数列 an 满足a1 1 n 2时 an 1 an 2an 1an 求通项公式an 解析 an 1 an 2an 1an 36 变式探究 答案 an 37 2 若数列 an 有形如an 1 的关系 求其通项的具体思路是 取倒数后得 即化为例3的数列 求出 再求得an 设数列 an 满足a1 2 an 1 n N 求an 解析 由an 1 取倒数 38 类型六 特征根法求数列通 条件 若 的相邻两项关系式可化为 可用这种方法 其中方程 该数列的特征根 的根称为 一 有两特根 与 可令 构造等比数列 则可 进而求出 等比数列通项公式求出 特征根为0与1 略解 依题意可得该数列特征根为0与1 39 练习 改编 40 构造辅助数列 分析 二 有一根 时 可令 易得是等差数列 求 进而求出 唯一特征根1 解 依题意可得该数列有惟一特征根为1 该题也可以先求出前几项 再猜想归纳出其通项 但要特别注意要用数学归纳法证明 41 练习 42 三 没有特征根 则可由递推关系式得出若干项可判断 是周期数列 43 题型 若数列相邻三项的关系可化为 且方程 有解 则可用待定系数法设 公比的辅助等比数列 构造新的以y为 转化相邻两项处理 若 有两组值 也可得到两个等比数列 分别求其通项 再由方程组求出 44 两种情况一起考虑 即 累加 方程思想 45 分别得到 由 得 46 练习 解析 1 由求根公式 不妨设 2 3