量子力学典型例题分析解答

量子力学例题 第二章 一 求解一位定态薛定谔方程一 求解一位定态薛定谔方程 1 1 试求在不对称势井中的粒子能级和波函数 解 薛定谔方程 当 故有 利用波函数在 处的连续条件 由 处连续条件 由 处连续条件 给定一个 n 值 可解一个 为分离能级 2 2 粒子在一维 势井中的运动 求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数 解 体系的定态薛定谔方程为 当 时 对束缚态 解为 在 处连续性要求 将 代入得 又 相应归一化波函数为 归一化波函数为 3 3 分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为 求束缚态的能级所满足的方程 解 束缚态下粒子能量的取值范围为 当 时 当 时 薛定谔方程为 令 解为 当 时 令 解为 当 时 薛定谔方程为 令 薛定谔方程为 解为 由 波函数满足的连续性要求 有 要使 有非零解 不能同时为零 则其系数组成的行列式必须为零 计算行列式 得方程 例题 主要类型 1 算符运算 2 力学量的平均值 3 力学量几率分布 一 有关算符的运算 1 证明如下对易关系 1 2 3 4 5 证 1 2 3 一般地 若算符 是任一标量算符 有 4 一般地 若算符 是任一矢量算符 可证明有 5 0 同理 2 证明哈密顿算符为厄密算符 解 考虑一维情况 为厄密算符 为厄密算符 为实数 为厄密算符 为厄密算符 3 已知轨道角动量的两个算符 和 共同的正交归一化本征函数完备集为 取 试证明 也是 和 共同本征函数 对应本征值 分别为 证 是 的对应本征值为 的本征函数 是 的对应本征值为 的本征函数 又 可求出 二 有关力学量平均值与几率分布方面 1 1 证明 是 的一个本征函数并求出相应的本 征值 2 求 x 在 态中的平均值 解 即 是 的本征函数 本征值 2 设粒子在宽度为 a 的一维无限深势阱中运动 如粒子的状态由波函数 描写 求粒子能量的可能值相应的概率及平均值 解 宽度为 a 的一维无限深势井的能量本征函数 注意 是否归一化波函数 能量本征值 出现 的几率 出现 的几率 能量平均值 另一做法另一做法 3 3 一维谐振子在 时的归一化波函数为 所描写的态中式中 式中 是谐振子的能量本征函数 求 1 的数值 2 在 态中能量的可能值 相应的概率及平均值 3 时系统的波函数 4 时能量的可能值相应的概率及平均值 解 1 归一化 2 3 时 所以 时 能量的可能值 相应的概率 平均值同 2 4 4 设氢原子处于状态 求氢原子的能量 角动量平方以及角动量 z 分量的可能值 这些可能值出现的几率和这些力学量 的平均值 解 能量本征值 能量本征态 当 n 2 时 本征值为的 出现的几率为 100 可能值为 出现的几率分别为 5 5 在轨道角动量 和 共同的本征态 下 试求下列期望值 1 2 解 三 测不准关系 1 粒子处于状态 式中 为常数 求粒子的动量的平均值 并计算 测不准关系 解 先归一化 1 动量平均值 2 3 附 常用积分式 1 2 3 第四章 例题例题 1 1 力学量的矩阵表示 力学量的矩阵表示 由坐标算符的归一化本征矢 及动量算符 构造成算符 和 试分别 1 求 和 在态 下的期望值 2 给出 和 的物理意义 解 1 设态矢 已归一化 粒子位置几率密度 2 利用 化到坐标表象 又 上式 2 2 试证明 由任意一对以归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符 1 是厄密算符 2 有 3 的本征值为 0 和 1 证 1 厄密算符的定义 为厄密算符 2 已归一化 3 由 的本征值方程 又 即 本题主要考查厄密算符概念 本征值方程 狄拉克符号的应用 3 3 分别在坐标表象 动量表象 能量表象中写出一维无限深势井中 宽度 基态粒子的波函数 本题主要考查波函数在具体表象中的表示 解 所描述的状态 基态波函数 1 在 x 表象 2 动量表象 3 能量表象 同样一个态在不同表象中的表示是不同的 不同的表象是从不同侧面来进行描 述的 4 4 取 和 的共同表象 在 角动量空间中写出 的 矩阵 本题主要考查算符矩阵的求法 解 的共同本征函数为 在 空间 1 同样 2 利用 利用正交归一条件 同样 3 利用 矩阵 矩阵 5 5 已知体系的哈密顿量 试求出 1 体系能量本征值及相应的在 所在的表象的正交归一化的本征矢组 2 将 对角化 并给出对角化的么正变换矩阵 解 1 久期方程 解之 设正交归一的本征矢 对应于 本征矢 归一化 对应归一本征矢 同样 即为 的本征函数集 2 对角化后 对角元素即为能量本 转换矩阵为 6 6 证明 将算符矩阵 对角化的转换矩阵的每一列对应于算符的一个本征 函数矢量 证 算符的本征矢 则 F 算符在自身表象中为一对角矩阵 对另一表象力学量的本征矢 的本征矢 7 7 为厄密算符 求算符 的 本征值 在 A 表象下求算符 的矩阵表示 解 设 的本征值为 本征函数为 则 又 同理算符 的本征值也为 在 A 表象 算符 的矩阵为一对角矩阵 对角元素为本征值 即 设 利用 B 为厄密算符 即 又 取 第五章 例题 重点 微扰论 1 1 一根长为 无质量的绳子一段固定于支点 另一端系质量为的 质点 在重力作用 下 质点在竖直平面内摆动 i 在小角近似下 求系统能级 ii 求由于小角近似的误差产生 的基态能量的一级修正 解 i 势能 系统的哈密顿量 在小角近似下 ii 若不考虑小角近似 又 利用公式 同样 2 2 一维谐振子的哈密顿量为 假设它处于基态 若在加上一个弹力 作用 使用微扰论计算 对能量的一级修正 并与严格解比较 解 i 又 ii 严格解 发生了变化 3 3 已知体系的能量算符为 其中 为轨道的角动 量算符 1 求体系能级的精确值 2 视 项为微扰项 求能级至二级近似值 解 i 精确解 令 并在 平面上取方向 与 z 轴的夹角为 则 与 相互对易 它们的本征值分别为 体系能级为 ii 微扰法 的精确解为 本征函数 本征能量 按微扰论 利用了公式 能量二级修正为 在二级近似下 4 4 三维谐振子 能量算符为 试写出能级和能量本征 函数 如这振子又受到微扰 的作用 求最低的两个能级的微扰修 正 并和精确值比较 解 1 设 的能量本征函数为 代入方程 2 基态的微绕修正 对基态 波函数 基态能级的零级 无简并 能量的二级修正 唯一不等于零的矩阵元为 3 第一激发态 三度简并 计算 不为零的矩阵元为 久期方程 可求出能量的一级修正 4 精确解 令 基态 第一激发态 5 5 设粒子的势能函数 是坐标的 n 次齐次函数 即 试用变分法证明 在束缚态下 动能 T 及势能 V 的平均值满 足下列关系 维里定理 证 设粒子所用的态用归一化波函数 描写 则 取试态波函数为 由归一化条件 当 时 试态波函数即是粒子所处的束缚态波函数 应在 时 取极值 6 6 氢原子处于基态 加上交变电场 电离能 用微扰论一级近 似计算氢原子每秒离几率 解 解这一类问题要搞清楚三个要素 初态末态是什么 微扰矩阵元 初态 氢原子基态 末态 自由状态 为能量为 在单位立体角的末态密度 微扰 7 7 转动惯量为 I 电偶极矩为 D 的平面转子 置于均匀场强 E 沿 x 方向 中 总能量算符 成为 为旋转角 从 x 轴算起 如果电场很强 很小 求 基态能量近似值 解 方法一方法一 与一位谐振子的能量本征方程 比较 有 方法二方法二 用变分法变分法 取归一化的试探波函数 所得结果与方法二一致 8 8 设在 表象中 的矩阵表示为 其中 试用微扰论求能级二级修正 解 在 表象中 第六章第六章 例题例题 1 有关泡利矩阵的一些关系的证明 注意应用一些已知结论 1 2 3 4 设 则 证 1 2 3 4 2 证明 并利用此结论求 本征值 证 设 的本征函数为 则 又 3 设为 常数 证明 证 将 展开成 的幂级数 有 为偶数 为奇数 上式 4 求自旋角动量在任意方向 方位角为 的投影的本征值及本征矢 在 表象 解 在 表象中 在 表象中的矩阵表示为 设 的本征值为 相应本征矢为 本征方程为 解久期方程 将 代入本征方程 由归一化条件 对应的本征矢为 同样 对应的本征矢为 通过本题讨论我们发现 的本征值为 自旋算符 在任意方向上的分量 的本征值 也是 也进一步推广 对任一种角动量算符 如有 的本征值为 的本征值为 则 在任意方向上的分量 的本征值的可能值 也为 5 有一个定域电子 不考虑轨道运动 受均匀磁场作用 磁场指向正 方向 磁作用势为 设 时电子的自旋向上 即 求 时 的平均值 解 设自旋函数 在表象中 体系的哈密顿算符可表示为 则自旋态所满足的薛定谔方程为 同理 又 自旋 再由 即 6 在自旋态 中 求 解 同理 7 已知电子的态函数为 其中 已归一化 求 1 同时测量 为 为 的几率 2 电子自旋向上的几率 3 和 平均值 解 首先验证态函数是否归一化 erfwfff1 同时测量 为 为 的几率 电子自旋向上的几率 8 考虑由两个相同粒子组成得体系 设可能的单粒子态为 试求体系的可能态数 目 分三种情况讨论 1 粒子为玻色子 2 粒子为费米子 3 粒子为经典粒子 解 玻色子构成的系统 系统态函数必须是对称的 a 如两个粒子处于同一单粒子态 共三种 b 如两个粒子处于不同一单粒子态 对称的波函数为 共三种 因而 对玻色子可能态数为六种 费米子构成的系统 系统态函数必须是反对称的 全同费米子不能处于同一态上 泡利原理 反对称波函数的形式只能是 共三种 对经典粒子 全同粒子是可区分的 粒子体系波函数没有对称性要求 波函数形式只要求 都可以 的有三种 的有六种的共九种 9 试写出自旋 的两个自由电子所构成的全同体系的状态波函数 解 自旋 的两电子构成的是费米子体系 体系