《信号与系统》-ss2_2_2nd

2.5 冲激响应与阶跃响应,一、冲激响应h(t)的定义及其基本概念,任一信号都可分解为矩形窄脉冲的迭加,定义一个矩形窄脉冲(t),激励(t) 响应h(t),对于零状态的LTI系统，讨论,激励e(t) 响应r(t)=?,由时不变,由均匀性,由可加性,当t0时，kt , t d, (t) (t), ,因此，当t 0时，,上述推导过程图解,h(t)实际反映了系统的固有特性，与外界因素无关；,h(t)称为系统的单位冲激响应。,对于LTI系统，只要h(t)确定，系统特性随之确定。,e(t)作用于冲激响应为h(t)的LTI系统，响应为,亦可直接导出,由,二、由微分方程求h(t),n 阶线性常系数微分方程,令 e(t)=(t) 则 r(t)=h(t),(t) 对系统的作用：,由于在 t0+时， (k)(t) =0，方程变为齐次方程，因此h(t) 的形式与齐次解的形式相同。,在0-0+瞬间给系统储存了能量，使系统起始状态变为非零起始状态。所以h(t) 是零状态响应，但具有零输入响应的形式rp(t)=0.,由奇异函数平衡原理，h(t)所包含的各奇异函数 必须与右边的各奇异函数项相平衡。,解的形式 (设特征根为单根)为,h(t)中是否含有(t)及导数项，与n、m 相对大小有关.,当nm时，h(t)不含(t)及其各阶导数；当n=m时，h(t)中应包含(t)；当nm时，h(t)中应包含(t)及其各阶导数。,例1,解：,求特征根,冲激响应,求系统 的冲激响应。,确定系数A1、A2求0+法,，h(t)不包含冲激项,设,代入原方程求出 a=1，b=-2,代入h(t), 得,确定系数A1、A2奇异函数项平衡法,根据系数平衡，得,三、阶跃响应g(t),系统激励项将包含阶跃函数u(t)，所以除齐次解外，还有特解项。,也可根据LTI系统特性，利用h(t)与g(t)关系求g(t)。,阶跃响应g(t) 系统在单位阶跃信号u(t)的激励下 产生的零状态响应。,对于因果系统的积分限：,g(t)是h(t)的积分；,三齐次解法求冲激响应（补充）,左端最高阶导数含有(t)项，(n-1)阶导数中含有u(t)项;可以由此定初始条件,令方程左端系数为1，右端只有一项(t)时,冲激响应为,此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更有优越性。,系统是零状态的,定初始条件,有界函数，在无穷小区间积分为0,积分为1,含(t)项积分不为0,由系统LTI特性，原系统的冲激响应h(t)为 的线性组合。,例2,边界条件代入 式,则由系统的线性时不变特性,解,由齐次解法求h(t),系统框图,X,2,(,),2,2,d,d,t,t,r,(,),t,t,r,d,d,(,),- 4,- 3,总结,冲激响应的定义: (t) 作用下系统的零状态响应。,冲激响应说明：,用变换域(拉氏变换)方法求h(t)和g(t)简捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。,本课程的重点是掌握h(t)、g(t)的基本概念，时域法求解h(t)、g(t)不是本课程的重点。,在时域，