韧带结构对手性超材料弹性波传播带隙的影响

韧带结构对手性超材料弹性波传播带隙的影响韧带结构对手性超材料弹性波传播带隙的影响 韧带结构对手性超材料弹性波传播带隙的影响 苏继龙 福建农 林大学机电工程学院 福州 摘 要 针对手性周期结构超材料 重点研究材料内部微结构韧带的动态特性 对手性超材料中弹性波传播带隙的影响 建立了考虑韧带与节点环之 间弹性联接的韧带固有频率的计算模型 在此基础上 探索弹性波在 手性周期结构超材料中传播带隙的形成机理及其与韧带性能参数和 尺寸之间的关联 结果表明 手性结构中弹性支承韧带的频率比其简 化为两端固支的要低 韧带越短 对弹性支承特性越敏感 超材料中少 数韧带振动的局部化导致的能量耗散是抑制弹性波传播的根源 通过 改变韧带的联接弹性和质量分布可以实现对超材料中弹性波传播特 性的主动调控 关键词 手性结构 超材料 振动与波 TB ADOI j issn 引 言手性功能超材料 由于其独特的光学 电磁以及力学性能 近年来 受到国内外学者的广泛关注 已有很多重要的理论和应用研究成果 随着对弹性波传播特性研究的深入及工程减振降噪的需求 新型 周期结构材料 如声子晶体 隐身超材料等也取得了一系列的研究成 果 特别地 具有周期性格栅的手性材料因其具备独特的几何拓扑 优越的性能质量比 内在的韧带动态特性及其弹性波传播和承载的 可双重设计性 对其进行结构参数优化和弹性波传播带隙的研究目前 已备受关注 图 是典型的六韧带 六角 手性结构超材料的局部示意图 其 中的圆环单元 可空也可填充质量块 称为节点 或节点环 其周边相 切辐射的薄板条状单元称为韧带 Ligament 现有的研究表明 弹性波在手性结构超材料中传播时之所以能够被阻隔而形成弹 性波传播带隙 或产生传播奇异性 本质原因在于波与材料内部周期 分布的微结构 即单个散射体之间的相互作用 当某些频率的弹性波 激励正好引起内部弹性元件的共振 导致能量耗散从而抑制和阻止弹 性波的传播 此时该类材料的能带结构 色散关系 中将会出现所谓的 带隙 图 六韧带手性超材料的局部示意图Fig Schematicdiagramofhexagona lchiralstructuremetamaterial评估手性结构超材料的弹性波传播 与阻隔特性时 带隙区中点频率和带隙的宽度 带宽 是两个关键参量 其决定了一定频率的弹性波是无损传播还是被禁止传播 故带隙特 性的研究是目前手性超材料的一个研究热点 而手性结构 超材料的带隙位置和宽度取决于内部节点和韧带的几何及弹性特性 这是因为手性材料的内部共振耗散主要可视为薄梁的韧带振动 因此 手性超材料内部韧带的频率和模态特征的分析研究对于探索手 性结构超材料带隙的形成机理和演化规律至关重要 目前对手性结构 超材料的带隙结构已有一些的理论和实验研究 同时对手性材料内部 韧带尺寸和特征角等参数对带隙影响的分析模型也有详细的报道 但这些研究的主要方法是直接计算超材料的色散曲线 或者是 利用有限元进行带隙和弹性波衰减模拟分析 没有展现材料内部的微 观结构能量耗散机制 特别是 在现有的基于数值方法的研究中 在讨 论机理时 凡涉及到韧带动态特性及其变形计算时均将其处理为两端 固支梁 结果将导致较大的误差 如前所述 外界振动激励 下 韧带的共振是手性超材料带隙的关键表征量 因此 韧带固有频率 振动特性以及变形计算的精度将直接影响到手性结构超材料的尺 寸和拓扑的优化 材料本身的选取和对带隙主动调控的有效性 本文 首先在考虑韧带与圆形节点环之间的线弹性和扭转支承两种约束要 素的前提下 建立韧带的固有频率计算模型 在此基础上 基于振动局 部化共振耗散 年第 期 卷 基金项目 国家自然科学基金资助项目 福建省百千万人才 工程人选海外研修资助项目 闽人复 号 收到初稿日期 收到修改稿日期 通讯作者 苏继龙 E mail fjsu 作者简介 苏继龙 男 合肥人 教授 博士 主要从事超材料多尺度设计与 研究 原理重点对弹性波传播带隙的形成机理进行分析 并结合有限 元分析进行验证 研究结果可为手性超材料弹性波传播特征的主动设 计和参数调控提供理论参考 手性超材料韧带的频率计算模型图 为节点环和韧带AB 虚线所示 联接及韧带变形图 韧带主要为弯曲变形 而节点环为沿韧带翻滚运 动 且各韧带变形情况相同 考虑到韧带为薄长条状 故将其处 理为两端与节点环弹性联接的欧拉梁 其振动模型如图 所示 图 韧带的薄梁弯曲振动示意图Fig Schematicdiagram ofthinbeambendingofligament图 韧带弹性支承弯曲梁振动力学模型Fig Dynamicsmodelofelastic supportligamentbeam图 中 韧带AB的弯曲振动方程为EI y x m y t 其中 EI为梁截面抗弯刚度 m为单位长度质量 由分离变量法得到韧 带梁振型函数为y x c sin x c cos x c sh x c x 其中 c c 为积分常数 m EI 为韧带梁的固 有圆频率 本文暂考虑两端各自对应的扭簧和线弹簧的弹性系数相同 的情况 即令kr k r k r k k k 其中k r为扭簧弹性系数 k为线弹簧的弹性系数 结合韧带梁两端的边界条 件和振型函数式 可推导出韧带梁的频率方程为 cos x ch x sin x sh x x k r ch x sin x x k r sin x sh x x k cos x si n x k cos x sh x x k r k cos x ch x cos x x k sin x sh x x k r k cos x sin x cos x sh x ch x sin x x k r k cos x cos x ch x ch x sin x sh x x 其中 k r k rl EI k kl EI 式 是关于x l 的超越方程 各韧带的 振动频率与其弹性联接参数以及其自身的尺寸和制备材料相关 须用 数值解法求解各阶特征值 韧带振动特性的关键影响因素为同现有的文献 数据进行比较 在 图 所示的手性结构超材料中选用的制备材料为硬质橡胶 其弹性模 E MPa 密度 为 kg m 韧带的宽度b为 mm 厚度t 为 mm 其长度l分别取为 和 mm 首先检验所建立的弹性联接韧带梁频率模型的正确性 当模型中kr k 时 韧带薄梁相当于两端固支约束 运用Matlab编程对长度l 为 mm的韧带梁计算其前三阶的固有频率 结果分别为 和 Hz 其中的 Hz与文献 在有限元分析中直接采用两端固支欧拉梁频 率公式得到的第一阶固有频率 Hz相吻合 说明频率方程式 是正确的 支承弹性系数大小对韧带频率的影响图 为弹性联接的扭簧和线簧 等效弹性系数等值变化时 对长为l mm的韧带固有频率的影响 并与文献中常见的两端固支梁假设的结果 f 进行比较 从图 可 以看出 节点环与韧带联接的弹性系数在一定的范围内 如图 中在 其小于 N rad N m 情况下 弹性支承与两端固支假设的频率 计算结果差别很明显 采用两端固支假设计算的韧带频率其结果偏大 图 弹性系数的大小对韧带固有频率的影响Fig Curveofnaturalfreque ncychangingwithelas ticitycoefficient 韧带尺寸的敏感度图 为弹性联接的扭簧和线簧弹性系数等值变化 时 对不同尺寸韧带的频率影响程度曲线 可以看出 手性材料的韧带 越短 其频率对弹性支承的影响越敏感 苏继龙 韧带结构 对手性超材料弹性波传播带隙的影响图 韧带频率对弹性支承的敏感度Fig Elasticsupportsensitivityofl igamentnaturalfrequency 手性超材料弹性波带隙的韧带共振机理文献 结果显示弹性波在 六韧带手性超材料中传播时 其在材料内部激起的振动仅出现在少数 或某一根韧带上 也即发生了显著的振动局部化 因此 除了周期结构 如声子晶体 内部单组元局部共振产生带隙的机理之外 这种周期组 元之间的振动耦联导致局部化共振也将是值得关注的新的带隙形成 机理 图 为手性子结构振动的集中参数模型 图 手性子结构振动的集中参数模型Fig Lumpedparametermodelofchir alsubstructurevibrations限于篇幅 本文重点针对手性超材料 分 析当其中某韧带由于加工或其它因素导致其质量与理想的各韧带质 量存在小偏差 称为失谐 时 结构的局部化共振现象 根据Bloch的周 期边界条件理论 以图 所示的参考胞元建立手性结构超材料的振动 模型 因小幅振动时结构动刚度和静刚度差别很小 故暂不考虑刚度 的时变性 且将节点环质量向韧带中点平分 因此该模型以韧带的中 心质量点m描述韧带的振动 图中无量纲化的物理参数分别是 韧带自 身变形刚度k 韧带相互间耦合刚度kc以及节点环对韧带的支承刚度 k s等 对于理想对称结构 其各韧带的质量和刚度均分别相同 其结构 振动特征方程为K M 其中 K 和M 分别为结构总体刚度阵和质量阵 为特征值 为圆频 率 而 为模态振型 如前所述 考虑韧带存在质量失谐 即质量有 小量差异而引起的振动特性变化 式 可改写为 其中 M K 实际分析本韧带结构时 可取上式的特征解 i和 i i N N 为结构总自由度 假设结构中有某一韧带质量存在失谐 即结构的质 量阵由M 变为M m 为一小量 而m 与M 等阶且其中仅对 应失谐韧带位移坐标位置上有质量元素 其余元素为零 此时失谐结 构的特征方程化为M m K 其中的 和 为质量失谐后的频率和模态振型 现研究失谐后 最低频率所对应的第一阶模态振型发生变化 根据摄动理论 失谐后 结构的模态振型 实际上可描述为原有谐调结构模态振型加上 因质量 扰动 引起的变化量 忽略 及以上的高阶小量 即 其中 是一个与原模态振型相关的叠加量 即式 可进一步 可表达为 m m m N N N 其中 i 为原有结构第i阶模态振型中的第 个元素 而m为失谐韧 带的原始质量 由式 可以看出 当第一阶频率与某阶频率相差很 小时 则式 中相应项的分母值则很小 从而导致模态求和中有显 著的增大量的出现 即对应的韧带将发生大幅度振动 设图 中无量 纲化的弹性参数分别为 韧带相互间耦合刚度kc 韧带自身 变形刚度k 节点对韧带的支承刚度为ks 各 韧带质量参数为 m i m i 根据以上参数 假设针对第一号韧带引入了质 量失谐量小量 即质量m变为 m 可建立图 所示结构的刚 度阵和质量阵 固有振动的计算的结果为 对于原有谐调结构 其前六 阶频率为f i f f 第一阶频率对应的模态振型为 保持其它参数不变 仅对材料结构模型中第 号韧带的质量分别引入 和 的质量变化 年第 期 卷 失谐 则其第一阶频率对应的结构模态振型分别为 由式 可知 当 时 第一自由度即第一韧带上的模 态振型量比相邻的第二和第六韧带高出 倍 也即当韧带质量出现小量偏差后 整个结构 个自由度的振 动将被 限制 在局部区域中 如图 所示 图 时各韧带第一阶模态振型Fig Thefirstmodeofdisord ered struc ture由图 可知 各韧带的振型已出现明显的差别 振动被局部化到 少数韧带的 质量 弹簧 共振单元中 出现类似声子晶体中的 局域共振模态 这些 结果与文献 所表现出的情况相一致 为验证以上分析结果 仍选 用硬质橡胶材料 基本参数同频率分析时的文献数据 针对长度 为l mm的多韧带结构进行有限元模态分析 采用 D实体单 元 并通过改变图 中 号韧带单元的质量密度模拟其质量失谐 各 韧带与外围节点的关联用相同材料的弹性大圆环简化模拟 图 为质 量失谐量为 时的六韧带结构的第一阶模态振型的有限 元分析结果 特别注意到 韧带结构第一阶振动频率为 H z 且振动局部化程度很明显 图 质量失谐量 时结构第一阶模态振型Fig Thefirstmode ofmassdisordered structure本文有限元计算结果与 前述韧带频率模型的计算结果及振动向少数韧带局部化的分析结论 相印证 同时也与文献 所反映出的在一定频率的外界激励下 手 性结构的振动衰减效应结构内部与之频率相近的 局域共振模态 被激发 振动被局限于极少数韧带上的分析结果相一致 结 论 手性超材料中弹性波传播带隙由内部的韧带共振频率表征 基于韧带 与节点环弹性联接的韧带振动频率计算模型更能反映其实际动态特 性 联接刚度越小 超材料的带隙低频位置越低 韧带越短 带隙对弹 性支承的影响越敏感 手性超材料韧带的质量偏离其彼此等值时 外界弹性波在材料中激发 的振动明显地向极少数韧带上局部化 进而显著地耗散振动能量 这 是手性超材料弹性波传播带隙形成的一个重要机理 合理选择制备材料并通过改变其微结构中的节点环和韧带的尺寸以 调控韧带支承弹性系数 并结合引入韧带的质量偏差 可以实现手性 超材料弹性波低频带隙和带隙宽度的主动设计和调控 参考文献 LakesR DeformationmechanismsinnegativePoisson sratiomater ials structuralaspects J JournalofMateri alsScience SpadoniA RuzzeneM GonellaS etal Phononicprop ertiesofhexagonalchirallattices J WaveMotion LiuXiaonin HuGengkai HuangGuoliang Wavepropa gation characterizationand designoftwo dimensionalelastihiralmeta posite J JournalofSoundandVibration ZhaoJing LinYi XuRongzhen etal Researchinchiralabsorbingma terials J JournalofFunctionalMaterials z WenQihua ZuoShuguang WeiHuan Locallyresonantelasticwaveban dgapsinflexuralvibrationofmulti oscil latorsbeam J ActaPhysicaSinica XuWeikai LuShaowei MaKeming etal Researchandapplicationpro gressinthefieldofstealthbasedonmeta materials J JournalofFunctionalMaterials BaravelliE RuzzeneM Internallyresonatinglatticesforbandgap generationandlow frequencyvibrationcontrol J JournalofSoundandVibration SpadoniA RuzzeneM Elasto staticmicropolarbehaviorofachiralauxeticlattice J Journal oftheMechanicsandPhysicsofSolids 苏继龙 韧带结构对手性超材料弹性波传播带隙 的影响 LiuXN HuangGL HuGK Chiraleffectinplaneiso tropicmicropolarelasticityanditsapplicationtochirallattices J JournaloftheMechanicsandPhysicsofSol ids PrallD LakesR S PropertiesofachiralhoneybwithaPoisson sratio J InternationalJournalofMe chanicalSciences XuShiyin HuangXiuchang HuaHongxing Studyonthebandstructure ofhexagonalchiralstructures J JournalofShanghaiJiaotongUn iversity BacigalupoA GambarottaL A micropolarmodelfortheanalysisofdispersivewavesinchiralmass in masslattices J FratturaedIntegrit Structurale XiaoFeng HuaHongxing ChenYong etal Influ encesofdesign parametersonunderwaterexplosionshockresistanceofchiralhoney brubbercladding J JournalofVibrationandShock Effectofligamentstructureontheelasticwavepropagationb andgapinchiralmetamaterialsSUJilong CollegeofMechanicalandE lectricalEngineering FujianAgricultureandForestryUniversity Fuzhou China Abstract Ahexagonalchiralcellular metamaterialswastakenforexample thefocuswasputoninvestigati ngthattheeffectofmicrostructureligamentdynamiharacteristics onbandgapofelasticwavepropagationinsuchchiralmetamaterials Firstly amodelofnaturalfrequenciesofligamentwasestablishe dbasedonconsider ingtheelasticsupportsexistingbetweentheligamentandthenode Then theformationmechanism ofelasticwavepropagationbandgapexistinginchiralperiodicstru cturemetamaterialswasexplored Theresultsshowthat paredwith thefixedsupport thenaturalfrequencywaslowerwhentheligamentw aselasticsuppor ted andligamentisshorter itismoresensitivetotheelasticsuppo rt Theformationmechanism ofelasticwavepropagationbandgapwasthatthevibrationwaslocali zedtoasmallnumberofligaments Theresultsim plythatwecanachieveversatilecontrolbandgapstructurebyadjust ingconnectelasticityofligamentsandbychangingtheirmassdistri bution Keywords hexagonalchiralstructure metamaterials vib rationandwave 上接第 页 Thesimulationandresearchwithdefor mationbehaviorandmechanicalpropertiesofstentsinnarrowbloodv esselFENGHaiquan SUNLili HANQingsong LIU Changzeng ZHU Mingxin MechanicalEngineeringCollege InnerMongoliaUniversit yofTechnology Hohhot China Abstract Rateofsteno sisreflectsthelevelofvascularstenosis differentstenosisrate dodifferentimpactonmechanicalpropertiesofvascularstents Go ingsimulationandanalysisusingfiniteelementmethodonfourdif ferentstentsunderthestenosedrateof inve stigateth