《信号与系统》-信号与系统教案第七章

信 号 与 系 统,第七章拉普拉斯变换连续时间系统的复频域分析信息科学技术学院 光电工程系二零零六年第上学期,第七章 拉普拉斯变换 连续时间系统的复频域分析,7.1 引言问题：许多函数（信号）的傅里叶变换不易得到，或不存在，无法用傅里叶分析法作频域分析；傅里叶分析法一般只能求零状态响应，如何用频域分析法求全响应等？问题的解决复频域分析（工具：拉普拉斯变换）拉普拉斯变换优点：许多不满足绝对可积的信号在进行傅氏变换是受到限制，而拉氏变换却很简单； 对微分方程作拉氏变换变成代数方程时，初始条件也包括进去，从而系统的零状态响应和零输入响应可同时求出；借助于系统的零极点分析可迅速地判断系统的因果稳定性，直观地表示出系统的复频域特性。,7.2拉普拉斯变换,1.拉普拉斯变换的定义 信号x(t)，对于 Fx(t)不存在，而 可以找到一常数，使得 x(t) e-t 绝对可积，有显然，逆变换为 令 则有：,双边拉斯变换定义式考虑实际信号都是有始信号，即t0及0使得下式成立则x(t)增长为指数级的，其拉氏变换在Res的范围一定存在负时域条件： 则x(t)的拉氏变换在Res0,x(t)=0 ）时 ROC=Res=-.,例2. 信号 求其拉氏变换的收敛域。解：右边信号极点s=-,从而 ROC为：Res-.（4）双边信号x(t)的SOC为 左Res右 (且，左0时，x(t)=u(t）. 此时 t0时a0，b0,求x(at-b)u(at-b)的拉氏变换解.一：先时移: x(t-b)u(t-b) e-bs X(s) 尺度变换： x(at-b) u(at-b) (1/a) e-bs/a X(s/a) 二：先尺度变换：x(at) u(at) (1/a) X(s/a) 再时移: x(at-b) u(at-b) (1/a) e-bs/a X(s/a)5.卷积性质,例5.已知求 的拉氏变换。解：6.双边信号时域微分性质,7.单边信号时域微分性质证明：注：单边信号的微分性质反映了拉氏变换后除了sX(s)项外，还自动包含了信号的初始条件，这为拉氏变换法求零输入、零状态、和全响应提供了可能。,8.双边拉氏变换的时域积分性质双边信号：9.单边拉氏变换的时域积分性质单边信号：证明：,10.s域微分性质例6.求 的拉氏变换解：11.时域乘积,12.初值定理 t0时, x(t)=0,t=0时，x(t)不含任何冲激，则注：x(0+)表示当t0时x(t)只能趋近x(0+)，而不能是x(0-)13.终值定理 t0时, x(t)=0,t=0时，x(t)不含任何冲激，则上式的限制条件是：包括虚轴的右边平面sX(s)无极点。, 7.4常用函数的拉氏变换1.单边右向信号的拉氏变换A.指数信号B.阶跃信号C.余弦信号D.正弦信号E.指数调制的正弦和余弦信号,F. 根据s域的微分性质，可求得2. 单边左向信号的拉氏变换 A.指数信号 B.3.冲激信号, 7.5拉普拉氏反变换求拉氏反变化的方法： 常用拉氏变换表P284表7-1； 留数法； 部分分式法。1.常用拉氏变换表见P284 表7-1。2.留数法求L-1,预备知识 (1)留数的定义: 设z0是x(z)的孤立极点，c是x(z)在z0处解析邻域 0|z- z0 |n时，为假分式，就需要用长除法化为多项式与真分式之和。 若m0 求反变换x(t). 解：,分母D(s)有重根时 其中单重根系数按中方法计算： 重根系数按下述方法计算：,例3.求 单边拉氏反变换x(t).解：,分母D(s)含有共轭极点 把此共轭复根时为两个不同的单根求解 保留其二项式形式，并把它写成相应的正弦和余弦的拉氏变换，然后再对X(s)求反变换。例4.解：先算出 ,代入上式比较后得,例.已知解：,7.6连续时间系统的复频域分析法1.微分方程的s域解法（拉氏变换法） 方法：例 7-15 已知电路如图7-8(a)所示。电路的起始状态为零，当开关闭合后，直流电源E接入电路，求电流i(t)。 解：可列出微分方程,2.电路的s域模型解法电路元件的s域模型 时域模型 s域模型,电路的s域模型解法求解过程：例 右图中，求i(t).解：,例2.已知电路如下图所示，us(t)=12V,L=1H,C=1F,R1=3, R2=2, R3=1,原电路已处于稳态。当t=0时，开关K闭合，求K闭合后R3两端电压的零输入响应y1(t)和零状态响应y2(t) 。解: 先求初始值,将电路转化为s域模型，用KCL列方程得：,7.7系统函数与时域响应系统函数的定义 定义式： 系统函数注：h(t)是在时域反映系统的固有性质，而 H(s)是从复频域的角度反映系统的固有性质。 系统的特性与系统函数H(s)的零极点，收敛域紧密相关.,1 .H(s)的零极点与系统的因果性、稳定性 有理函数H(s)可写成： 因果性与极点、收敛域关系,因果LTI系统，h(t)是右边的，即h(t)=0,tPi (最右边的极点）必要条件； 非因果LTI系统， h(t)是左边的， 从而有结论2：系统函数H(s)的ROC: ResPi (最左边的极点），则该系统一定是非因果系统；稳定性与极点、收敛域关系 稳定系统结论3：稳定系统的系统函数H(s)收敛域一定包含虚轴，当系统既稳定右因果时，H(s)的RCO一定是s域中包含虚轴的右边平面，极点在左半平面内。,例7-18 已知一个系统的单位冲激响应为h(t)=e -tu(t),问此系统的因果稳定性。解：ROC是s域包含虚轴的右边平面，该系统为因果稳定系统。例7-19 已知一个系统函数