随机变量及分布列习题

实用文档 文案大全 随机变量及分布列随机变量及分布列 1 已知随机变量 2 0 XN 若 2 P Xa 则 2 P X 的值为 A 1 2 a B 2 a C 1 a D 1 2 a 2 已知随机变量 若 则的值为 A 0 4 B 0 2 C 0 1 D 0 6 3 已知 则的值为 A 10 B 7 C 3 D 6 4 集装箱有标号为 1 2 3 4 5 6 且大小相同的 6 个球 从箱中一次摸出两个球 记下号码并放回 如果两 球号码之积是 4 的倍数 则获奖 若有 4 人参与摸奖 恰好有 3 人获奖的概率是 A B C D 5 甲袋中放有大小和形状相同的小球若干 其中标号为 0 的小球为 1 个 标号为 1 的小球 2 个 标号为 2 的小球 2 个 从袋中任取两个球 已知其中一个的标号是 1 则另一个标号也是 1 的概率为 6 设随机变量服从正态分布 则 7 某人通过普通话二级测试的概率是 他连线测试 3 次 那么其中恰有 1 次通过的概率是 A B C D 8 从 1 2 3 4 5 6 7 中任取两个不同的数 事件为 取到的两个数的和为偶数 事件为 取到的两 个数均为奇数 则 A B C D 9 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析 决定从全班25位女同学 15位男同学中随机 抽取一个容量为8的样本进行分析 如果按性别比例分层抽样 求样本中男生 女生人数分别是多少 随机抽取8位同学 数学成绩由低到高依次为 60 65 70 75 80 85 90 95 物理成绩由低到高依次为 72 77 80 84 88 90 93 95 若规定90分 含90分 以上为优秀 记 为 这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数 求 的分布列和数学期望 10 某品牌汽车的4S店 对最近 100 份分期付款购车情况进行统计 统计情况如下表所示 已知分 9 期 付款的频率为 0 4 该店经销一辆该品牌汽车 若顾客分 3 期付款 其利润为 1 万元 分 6 期或 9 期付 款 其利润为 2 万元 分 12 期付款 其利润为 3 万元 付款方式分 3 期分 6 期分 9 期分 12 期 频数 2020 ab 实用文档 文案大全 1 若以上表计算出的频率近似替代概率 从该店采用分期付款购车的顾客 数量较大 中随机抽取 3 为顾客 求事件A 至多有 1 位采用分 6 期付款 的概率 P A 2 按分层抽样方式从这 100 为顾客中抽取 5 人 再从抽取的 5 人中随机抽取 3 人 记该店在这 3 人身 上赚取的总利润为随机变量 求 的分布列和数学期望 E 11 某公司有 A B C D E五辆汽车 其中 A B两辆汽车的车牌尾号均为 1 C D两辆汽车的车牌尾号均 为 2 E车的车牌尾号为 6 已知在非限行日 每辆车可能出车或不出车 A B E三辆汽车每天出车的 概率均为 1 2 C D两辆汽车每天出车的概率均为 2 3 且五辆汽车是否出车相互独立 该公司所在地区汽 车限行规定如下 车牌尾号0 和 51 和 62 和 73 和 84 和 9 限行日星期一星期二星期三星期四星期五 1 求该公司在星期一至少有 2 辆汽车出国的概率 2 设X表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和 求X的分布列及期望 12 拖延症总是表现在各种小事上 但日积月累 特别影响个人发展 某校的一个社会实践调查小组 在对该校学生进行 是否有明显拖延症 的调查中 随机发放了 110 份问卷 对收回的 100 份有效问卷 进行统计 得到如下2 2 列联表 有明显拖延症无明显拖延症合计 男 352560 女 301040 合计 6535100 按女生是否有明显拖延症进行分层 已经从 40 份女生问卷中抽取了 8 份问卷 现从这 8 份问卷中 再随机抽取 3 份 并记其中无明显拖延症的问卷的份数为X 试求随机变量X的分布列和数学期望 若在犯错误的概率不超过P的前提下认为无明显拖延症与性别有关 那么根据临界值表 最精确 的P的值应为多少 请说明理由 附 独立性检验统计量 2 2 n adbc K abcdacbd 其中nabcd 独立性检验临界值表 2 0 P Kk 0 250 150 100 050 025 0 k 1 3232 0722 7063 8415 024 13 某高校数学系 2016 年高等代数试题有 6 个题库 其中 3 个是新题库 即没有用过的题库 3 个是 实用文档 文案大全 旧题库 即至少用过一次的题库 每次期末考试任意选择 2 个题库里的试题考试 1 设 2016 年期末考试时选到的新题库个数为 求 的分布列和数学期望 2 已知 2016 年时用过的题库都当作旧题库 求 2017 年期末考试时恰好到 1 个新题库的概率 14 某市举行的 国际马拉松赛 举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动 抽奖盒中装有 6 个大小相同的小球 分别印有 快乐马拉松 和 美丽绿城行 两种标志 摇匀后 参加者每次从盒中 同时抽取两个小球 取出后不再放回 若抽到的两个球都印有 快乐马拉松 标志即可获奖 并停止取 球 否则继续抽取 第一次取球就抽中获一等奖 第二次取球抽中获二等奖 第三次取球抽中获三等奖 没有抽中不获奖 活动开始后 一位参赛者问 盒中有几个印有 快乐马拉松 的小球 主持人说 我只知道第一次从盒中同时抽两球 不都是 美丽绿城行 标志的概率是 1 求盒中印有 快乐马拉松 小球的个数 2 若用表示这位参加者抽取的次数 求的分布列及期望 15 为创建全国文明城市 某区向各事业行政单位征集 文明过马路 义务督导员 从符合条件的 600 名 志愿者中随机抽取 100 名 按年龄作分组如下 20 25 25 30 30 35 35 40 40 45 并得到如下频率分布直方图 求图中的值 并根据频率分布直方图统计这 600 名志愿者中年龄在 30 40 的人数 在抽取的 100 名志愿者中按年龄分层抽取 10 名参加区电视台 文明伴你行 节目录制 再从这 10 名志愿者中随机选取 3 名到现场分享劝导制止行人闯红灯的经历 记这 3 名志愿者中年龄不低于 35 岁的 人数为 求的分布列及数学期望 16 一家医药研究所 从中草药中提取并合成了甲 乙两种抗 病毒 的药物 经试验 服用甲 乙 两种药物痊愈的概率分别为 现已进入药物临床试用阶段 每个试用组由 4 位该病毒的感 染者组成 其中 2 人试用甲种抗病毒药物 2 人试用乙种抗病毒药物 如果试用组中 甲种抗病毒药物 治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数 则称该组为 甲类组 1 求一个试用组为 甲类组 的概率 2 观察 3 个试用组 用表示这 3 个试用组中 甲类组 的个数 求的分布列和数学期望 17 某班为了提高学生学习英语的兴趣 在班内举行英语写 说 唱综合能力比赛 比赛分为预赛和决 赛 2 个阶段 预赛为笔试 决赛为说英语 唱英语歌曲 将所有参加笔试的同学 成绩得分为整数 满 分 100 分 进行统计 得到频率分布直方图 其中后三个矩形高度之比依次为 4 2 1 落在的人 数为 12 人 实用文档 文案大全 求此班级人数 按规定预赛成绩不低于 90 分的选手参加决赛 已知甲乙两位选手已经取得决赛资格 参加决赛的 选手按抽签方式决定出场顺序 i 甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率 ii 记甲乙二人排在前三位的人数为 求的分布列和数学期望 18 2017 年 1 月 1 日 作为贵阳市打造 千园之城 27 个示范性公园之一的泉湖公园正式开园 元旦期 间 为了活跃气氛 主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放 现从到公园游览的市民中随机抽取了 60 名男生和 40 名女生共 100 人进行调查 统计出 100 名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女 生比例情况 具体数据如图表 1 根据条件完成下列2 2 列联表 并判断是否在犯错误的概率不超过 1 的情况下愿意接受挑战与性别有关 愿意不愿意总计 男生 女生 总计 2 水上挑战项目共有两关 主办方规定 挑战过程依次进行 每一关都有两次机会挑战 通过第一关 后才有资格参与第二关的挑战 若甲参加每一关的每一次挑战通过的概率均为 1 2 记甲通过的关数为X 求X 的分布列和数学期望 参考公式与数据 2 0 P Kk 0 10 050 0250 01 实用文档 文案大全 0 k 2 7063 8415 0246 635 2 2 n adbc K abcdacbd 19 在某校组织的 共筑中国梦 竞赛活动中 甲 乙两班各有 6 名选手参赛 在第一轮笔试环节中 评委将他 们的笔试成绩作为样本数据 绘制成如图所示的茎叶图 为了增加结果的神秘感 主持人故意没有给出甲 乙两 班最后一位选手的成绩 知识告知大家 如果某位选手的成绩高于 90 分 不含 90 分 则直接 晋级 1 求乙班总分超过甲班的概率 2 主持人最后宣布 甲班第六位选手的得分是 90 分 乙班第六位选手的得分是 97 分 请你从平均分和方差的角度来分析两个班的选手的情况 主持人从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取 2 个 记抽取到 晋级 选手的总人数为 求的分布列及数 学期望 20 一个袋中装有大小相同的球 10 个 其中红球 8 个 黑球 2 个 现从袋中有放回地取球 每次随机取 1 个 求 1 连续取两次都是红球的概率 2 如果取出黑球 则取球终止 否则继续取球 直到取出黑球 取球次数最多不超过 4 次 求取球次数的概 率分布列及期望 21 甲乙两人下棋比赛 规定谁比对方先多胜两局谁就获胜 比赛立即结束 若比赛进行完 6 局还没有分出胜负 则判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛 比赛过程中 每局比赛甲获胜的概率为 乙获胜的概率为 每局比赛相互独立 求 1 比赛两局就结束且甲获胜的概率 2 恰好比赛四局结束的概率 3 在整个比 赛过程中 甲获胜的概率 22 若随机变量 2 2 3XN 且 1P XP Xa 则 5 21 xaax x 展开式中 3 x项的系数是 23 在某项测试中 测量结果服从正态分布 若 则 24 某班有 50 名学生 一次数学考试的成绩 服从正态分布 已知 估计该班学生数学成绩 在 120 分以上的有 人 实用文档 文案大全 25 某厂生产的零件尺寸服从正态分布 N 25 0 032 为使该厂生产的产品有 95 以上的合格率 则该厂生产的零 件尺寸允许值的范围为 26 已知正态总体的数据落在区间 3 1 里的概率和落在区间 3 5 里的概率相等 那么这个正态总体的数学 期望为 27 若随机变量 的分布列如下表 01x P 1 5 p 3 10 且 E 1 1 则 D 28 设 p 为非负实数 随机变量 X 的概率分布为 X012 P 1 2 p p 1 2 则 E X 的最大值为 D X 的最大值为 29 12 个同类型的零件中有 2 个次品 抽取 3 次进行检验 每次抽取一个 并且取出不再放回 以 表示取出次 品的个数 则 的期望值 E 参考答案参考答案 1 A 解析 由题意有正态密度函数的图象关于直线0 x 对称 正态密度函数的图象与x 轴围成的面积为1 所以有 1 2 2 1 2 P XP Xa 选A 2 B 解析 故选 B 3 A 解析 由题意得 故选 A 4 B 解析 获奖的概率为 记获奖的人数为 所以 4 人中恰好有 3 人获奖的概率为 故选 B 实用文档 文案大全 5 解析 记 一个标号是 为事件 另一个标号也是 为事件 所以 6 解析 依题意有 7 A 解析 次独立重复实验 恰好发生一次的概率为 点睛 本题主要考查独立重复试验和二项分布的知识 独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的 各次之间相互独立的一种试验 在这种试验中每一次试验只有两种结果 即要么发生 要么不发生 且任何一次 试验中发生的概率都是一样的 二项分布在次独立重复试验中 设事件发生的次数为 在每次试验中事件 发生的概率为 那么在次独立重复试验中 事件恰好发生次的概率为 此时称随机变 量服从二项分布 记作 并称为成功概率 8 C 解析 事件 取到的两个数之和为偶数 所包含的基本事件有 事件 取到的两个数均为奇数 所包含的基本事件有 故选 C 9 5 3 详见解析 解析 试题分析 利用分层抽样的特点 等比例抽样 进行求解 写出随机变量的所有可能取值 利用排列组合知识求出每个变量所对应的概率 列表得到分布列 进而求出期望值 试题解析 抽取女生数 25 8 5 40 人 男生数 15 83 40 II 的所有可能取值为0 1 2 26 56 8 8 20 0 56 A A P A 1116 2356 8 8 30 1 56 C C C A P A 26 36 8 8 6 2 56 A A P A 的分布列为 0 12 p 20 56 30 56 6 56 实用文档 文案大全 203063 012 5656564 E 10 1 112 125 2 所以随机变量 的分布列为 567 p 0 30 40 3 5 0 36 0 47 0 36E 万元 解析 试题分析 1 依据题设运用二项分布公式求解 2 借助题设求出随机变量的分布列 再依据数学 期望公式分析求解 1 由题意 100 0 440a 10020204020b 则表中分 6 期付款购车的顾客频率 1 5 p 所以 32 31 112 11 125 P ApCp 2 按分层抽样的方式抽取的 5 人中 有 1 位分 3 期付款 有 3 位分 6 期或 9 期付款 有 1 位分 12 期 付款 随机变量 可能取的值是 5 6 7 则 1132 53 3 5 10 C C P C 1132 53 3 7 10 C C P C 4 6157 10 PPP 所以随机变量 的分布列为 567 p 0 30 40 3 5 0 36 0 47 0 36E 万元 即为所求 11 1 8 9 2 见解析 解析 试题分析 1 记事件A 该公司在星期一至少有2辆车出车 利用独立重复试验的概率的乘法 转 化求解即可 2 X的可能取值为0 1 2 3 4 5 求出概率 得到分布列 然后求解期望即可 试题解析 1 记事件a 该公司在星期一至少有 2 辆车出车 则 32323 11 32 11111121348 11 23232337272729 p ACC 2 X的可能取值为 0 1 2 3 4 5 X的分布列为 X012345 实用文档 文案大全 P 1 72 7 72 19 72 25 72 16 72 4 72012345 7272727272726 E X 12 X的分布列为 X012 P 5 14 15 28 3 28 51533 012 1428284 E X 0 10P 解析 试题分析 分层从 无有明显拖延症 里抽 8 102 40 人 无明显拖延症的问卷的份数为X 随机变量 X 0 1 2 利用 超几何分布 即可得出分布列及其数学期望 根据 独立性检验的基本思想的应用 计算公式可得 2 K的观测值k 即可得出 试题解析 女生中从 有明显拖延症 里抽 8 306 40 人 无有明显拖延症 里抽 8 102 40 人 则随机变量0 1 2X 3 6 3 8 C5 0 C14 P X 21 62 3 8 C C15 1 C28 P X 12 62 3 8 C C3 2 C28 P X X的分布列为 X012 P 5 14 15 28 3 28 51533 012 1428284 E X 由题设条件得 2 2 10035 1025 30 2 930 60 40 65 35 K 由临界值表可知 2 7062 9303 841 0 10P 点晴 本题考查的是超几何分布和独立性检验问题 要注意区分是超几何分布还是二项分布 分层从 无 有明显拖延症 里抽 8 102 40 人 无明显拖延症的问卷的份数为X 0 1 2 利用 超几何分布 即可得出 分布列及其数学期望 根据 独立性检验的基本思想的应用 计算公式可得 2 K的观测值k 即可得出 实用文档 文案大全 13 分布列见解析 解析 试题分析 先确定随机变量所有可能取值 再分别求对应概率 列表可得分布列 最后根据 数学期望公式求期望 按 2016 年时用过的题库分类讨论 2016 年期末考试时取到0个新题库时 2017 年期末考试时恰好到 1 个新题库的概率 2016 年期末考试时取到 1个新题库时 2017 年期末考试时恰好到 1 个新题库的概率 2016 年期 末考试时取到2个新题库时 2017 年期末考试时恰好到 1 个新题库的概率 再根据 2016 年期末考试时取到 个新题库对应概率可得所求概率为 试题解析 的所有可能取值为 0 1 2 设 2016 年期末考试时取到 个新题库 即 为事件 又因为 6 个题库中 其中 3 个是新题库 3 个是旧题库 所以 所以 的分布列为 012 P 的数学期望为 设 从 6 个题库中任意取出 2 个题库 恰好取到一个新题库 为事件 则 2017 年时恰好取到一个新题库 就是事件 而事件互斥 所以 所以 2017 年时恰好取到一个新题库的概率为 点睛 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为 第一步是 判断取值 即判断随机变量的所有可能取值 以及取每个值所表示的意义 第二步是 探求概率 即利用排列组合 枚举法 概率公式 常见的有古典概型公式 几何概型公式 互斥事件 实用文档 文案大全 的概率和公式 独立事件的概率积公式 以及对立事件的概率公式等 求出随机变量取每个值时的概率 第三步是 写分布列 即按规范形式写出分布列 并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否 正确 第四步是 求期望值 一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值 对于有些实际问题中的随机变量 如果能够断定它服从某常见的典型分布 如二项分布 X B n p 则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布 的期望公式 E X np 求得 因此 应熟记常见的典型分布的期望公式 可加快解题速度 14 1 2 详见解析 解析 试题分析 1 运用古典概型的计算公式及对立事件的概率公式求解 2 依据题设条件借 助随机变量的分布列与数学期望公式进行计算求解 试题解析 解 1 设印有 美丽绿城行 的球有个 同时抽两球不都是 美丽绿城行 标志为事件 则同时抽取两球都是 美丽绿城行 标志的概率是 由对立事件的概率 即 解得 2 由已知 两种球各三个 故可能取值分别为 1 2 3 则的分布列为 所以 15 人 见解析 解析 试题分析 I 根据频率分布直方图中矩形面积和为 求得 然后利用相应公式计算相应组 中抽取人数 II 先确定各组人数 根据题意可得 的所有可能取值为 0 1 2 3 依次求出概率即可 试题解析 因为小矩形的面积等于频率 所以 求得 所以这 600 名志愿者中 年龄在 30 40 人数为 人 实用文档 文案大全 用分层抽取的方法从中抽取 10 名志愿者 则年龄低于 35 岁的人数有 人 年龄不低于 35 岁的人数有 人 依题意 的所有可能取值为 0 1 2 3 则 所以 X 的分布列为 P0123 X 数学期望为 16 1 2 详见解析 解析 试题分析 1 依据题设条件运用分类计数原理求解 2 求出随机变量的分布列 再运用 随机变量的数学期望公式求解 试题解析 解 1 设 表示事件 一个试用组中 服用甲种抗病毒药物有效的有 人 表示事件 一个试用组中 服用乙种抗病毒药物有效的有 人 依题意有 所求的概率为 2 的可能值为 0 1 2 3 其分布列为 数学期望 17 I II i ii 分布列见解析 期望为 解析 试题分析 1 借助频率分布直方图中的有效信息进行求解 2 依据题设条件运用古典概 型的计算公式及数学期望的求解公式进行求解 试题解析 解 落在区间的频率是 所以人数 实用文档 文案大全 由 知 参加决赛的选手共 6 人 i 设 甲不在第一位 乙不在最后一位 为事件 则 所以甲不在第一位 乙不在最后一位的概率为 ii 随机变量的可能取值为 0 1 2 随机变量的分布列为 因为 所以随机变量的数学期望为 1 18 1 见解析 2 X 的分布列为 X 012 P 1 4 3 16 9 16 21 16 EX 解析 试题分析 1 根据比例确定人数 填入对应表格 再根据卡方公式计算 2 6 5936 635K 最后对照数据判断结论不成立 2 先确定随机变量可能取法 0 1 2 再分别计算对应概率 可利用对立事件 概率求法求较复杂事件的概率 列表可得分布列 最后根据数学期望公式求期望 试题解析 1 愿意不愿意总计 男生 154560 女生 202040 总计 3565100 实用文档 文案大全 22 2 100 15 2020 45600 6 5936 635 35 65 60 4091 n adbc K abcdacbd 则不能认为在犯错误的概率不超过 1 的情况下愿意接受挑战与性别有关 2 记男生甲第i 次通过第一关为 1 2 i A i 第i 次通过第二关为 1 2 i B i X 的可能取值为 0 1 2 12 1 0 4 P XP A A 111121211212 9 2 16 P XP A BP A B BP A A BP A A B B 193 11 41616 P X X 的分布列为 X 012 P 1 4 3 16 9 16 13921 012 4161616 EX 19 1 2 见解析 解析 试题分析 1 先分别求出甲班前 位选手的总分和乙班前 位选手的总分 由此利用列举法能求出乙 班总分超过甲班的概率 2 分别求出甲 乙两班平均分和方差 由此能求出甲班选手间的实力相当 相差不大 乙班选手间实力悬殊 差距较大 的可能取值为 分别求出相应的概率 由此能求出的分布列和 试题解析 实用文档 文案大全 1 甲班前 5 位选手的总分为 乙班前 5 位选手的总分为 若乙班总分超过甲班 则甲 乙两班第六位选手的成绩可分别为 三种 所以 乙班总分超过甲班的概率为 2 甲班平均分为 乙班平均分为 两班的平均分相同 但甲班选手的方差小于乙班 所以甲班选手间的实力相当 相差不大 乙班选手间实力悬殊 差距较大 的可能取值为 的分布列为 01234 20 1 2 解析 试题分析 1 有放回取 可看作独立重复试验 即每次取出是红球概率一样 都为 再根据概率 乘法公式得连续取两次都是红球的概率 2 先确定随机变量取法 再分别求对应概率 列表可得分布列 最后 根据期望公式求数学期望 试题解析 1 连续取两次都是红球的概率 2 的可能取值为 1 2 3 4 实用文档 文案大全 的概率分布列为 1234 点睛 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为 第一步是 判断取值 即判断随机变量的所有可能取值 以及取每个值所表示的意义 第二步是 探求概率 即利用排列组合 枚举法 概率公式 常见的有古典概型公式 几何概型公式 互斥事件 的概率和公式 独立事件的概率积公式 以及对立事件的概率公式等 求出随机变量取每个值时的概率 第三步是 写分布列 即按规范形式写出分布列 并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否 正确 第四步是 求期望值 一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值 对于有些实际问题中的随机变量 如果能够断定它服从某常见的典型分布 如二项分布 X B n p 则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布 的期望公式 E X np 求得 因此 应熟记常见的典型分布的期望公式 可加快解题速度 21 1 2 3 解析 试题分析 1 根据独立事件同时发生的概率公式求解 2 前两局甲乙各胜一局 最后两局甲胜或 最后两局乙胜分两种情况求概率和即可 3 求出各种情况下甲获胜的概率 然后求和即可 试题