高考文科立体几何证明专题

1 图 4 G E F A B C D 图 5 D G B F C A E 立体几何专题立体几何专题 1 如图 4 在边长为 1 的等边三角形中 分别是边上的点 ABC D E AB AC 是的中点 与交于点 将沿折起 得到如图 5ADAE FBCAFDEGABF AF 所示的三棱锥 其中 ABCF 2 2 BC 1 证明 平面 DEBCF 2 证明 平面 CF ABF 3 当时 求三棱锥的体积 2 3 AD FDEG F DEG V 解析 1 在等边三角形中 ABCADAE 在折叠后的三棱锥中 ADAE DBEC ABCF 也成立 平面 DEBC DE BCF 平面 平面 BC BCF DE BCF 2 在等边三角形中 是的中点 所以 ABCFBCAFBC 1 2 BFCF 在三棱锥中 ABCF 2 2 BC 222 BCBFCFCFBF BFCFFCFABF 平面 3 由 1 可知 结合 2 可得 GECFGEDFG 平面 1 11 1 11313 3 23 2 3323324 F DEGE DFG VVDG FG GF 解析 这个题是入门级的题 除了立体几何的内容 还考查了平行线分线段成比例这个 2 平面几何的内容 2 如图 5 所示 在四棱锥 P ABCD 中 AB平面 PAD ABCD PD AD E 是 PB 的中点 F 是 DC 上的点且 DF AB PH 为PAD 中 AD 边上的高 2 1 1 证明 PH平面 ABCD 2 若 PH 1 AD FC 1 求三棱锥 E BCF 的体积 2 3 证明 EF平面 PAB 解 1 ABCDPH PAD PADAB PAD 平面所以 平面 面又 中的高为 AADAB ABPH PH ADPH PH 2 过 B 点做 BG GCDBG 垂足为 连接 HB 取 HB 中点 M 连接 EM 则 EM 是的中位线BPH ABCD 1 平面知 由 PH ABCD平面 EM BCF平面 即 EM 为三棱锥底面上的高 BCF E BGFC 2 1 S BCF 2 2 21 2 1 2 1 2 1 PH 12 2 2 1 2 2 3 1 3 1 EMSV BCFBCFE 3 3 取 AB 中点 N PA 中点 Q 连接 EN FN EQ DQ NFNEN FNAB NADF AB 2 1 DF EN PABEN PAD PADAB PAD 是距形四边形 又 的中位线是又 平面 平面 平面 ENAB PA PAAB PA CDCDAB 3 如图 已知三棱锥 A BPC 中 AP PC AC BC M 为 AB 中点 D 为 PB 中点 且 PMB 为正三角形 求证 DM 平面 APC 求证 平面 ABC 平面 APC 若 BC 4 AB 20 求三棱锥 D BCM 的体积 NEFAB NNENF NFAB NADF ABEF NEFEF NEFAB 平面 是距形四边形 平面又 平面 4 4 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 其棱长为 2 O 是底 ABCD 对角线的交点 求证 1 C1O 面 AB1D1 2 A1C 面 AB1D1 3 若 M 是 CC1的中点 求证 平面 AB1D1 平面 MB1D1 5 如图 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面 AD PA 2 CD 2 E F 分别是 2 AB PD 的中点 1 求证 AF 平面 PCE 2 求证 平面 PCE 平面 PCD 3 求四面体 PEFC 的体积 D1 O D BA C1 B1 A1 C M 5 6 如图 已知在三棱柱 ABC A1B1C1中 AA1 平面 ABC AC BC M N P Q 分别是 AA1 BB1 AB B1C1的中点 1 求证 平面 PCC1 平面 MNQ 2 求证 PC1 平面 MNQ 7 如图 在棱长为 2 的正方体中 1111 DCBAABCD 分别为 的中点 EF 1 DDDB 1 求证 平面 EF 11D ABC 2 求证 EFCB1 6 8 右图为一简单集合体 其底面 ABCD 为正方形 平面 PD ABCD 且 2 ECPD2PDADEC 1 画出该几何体的三视图 2 求四棱锥 B CEPD 的体积 3 求证 平面 BEPDA 9 如图所示 四棱锥PABCD 中 底面ABCD为正方形 PD 平面ABCD 2PDAB E F G分别为PC PD BC的中点 1 求证 EFPGC面 2 求证 EFGPA面 3 求三棱锥PEFG 的体积 P A B C D E 7 3 解 由已知得 是ABP 的中位线MD 2 分 APMD APCAPAPCMD面面 4 分 APCMD面 为正三角形 D 为 PB 的中点 PMB 5 分 PBMD 6 分 PBAP 又 7 分PPCPBPCAP PBCAP面 PBCBC面 BCAP 又 9 分AAPACACBC APCBC面 平面 ABC 平面 APC 10 分ABCBC面 是三棱锥 M DBC 的高 且 MD 11 分PBCMD面 MD5 3 又在直角三角形 PCB 中 由 PB 10 BC 4 可得 PC 12 分2 21 于是 13 分 1 2 BCDBCP SS 2 21 14 分 D BCM V 710 3 1 ShV DBCM 4 证明 1 连结 设 11 AC 11111 ACB DO 连结 是正方体 1 AO 1111 ABCDABC D 是平行四边形 11 A ACC 且 11 ACAC A 11 ACAC 又分别是的中点 且 1 O O 11 AC AC 11 OCAO A 11 OCAO 是平行四边形 11 AOC O 面 面 111 C OAO AO A 11 AB D 1 C O 11 AB D 8 面 5 分 1 C O A 11 AB D 2 面 1 CC 1111 ABC D 11 CCB D 又 1111 ACB D 1111 B DACC 面 111 ACB D 即 同理可证 11 ACAB 又 1111 D BABB 面 9 分 1 AC 11 AB D 3 设 B1D1的中点为 N 则 AN B1D1 MN B1D1 则 363MNANAM 222 ANMNAMAMNRT 是 11 ANMNANB D 面M 也可以通过定义证明二面角是直二面角 14 分 1111 AB DB D 面面M 5 解 1 证明 设 G 为 PC 的中点 连结 FG EG F 为 PD 的中点 E 为 AB 的中点 FG CD AECD 1 2 1 2 FG AE AF GE GE 平面 PEC AF 平面 PCE 2 证明 PA AD 2 AF PD 又 PA 平面 ABCD CD 平面 ABCD PA CD AD CD PA AD A CD 平面 PAD AF 平面 PAD AF CD PD CD D AF 平面 PCD GE 平面 PCD GE 平面 PEC 9 平面 PCE 平面 PCD 3 由 2 知 GE 平面 PCD 所以 EG 为四面体 PEFC 的高 又 GF CD 所以 GF PD EG AF GF CD 2 1 22 S PCF PD GF 2 1 2 得四面体 PEFC 的体积 V S PCF EG 1 3 2 2 3 6 证明 1 AC BC P 为 AB 的中点 AB PC 又 CC1 AA1 AA1 平面 ABC CC1 平面 ABC CC1 AB 又 CC1 PC C AB 平面 PCC1 由题意知 MN AB 故 MN 平面 PCC1 MN 在平面 MNQ 内 平面 PCC1 平面 MNQ 2 连接 AC1 BC1 BC1 NQ AB MN 又 BC1 AB B 平面 ABC1 平面 MNQ PC1在平面 ABC1内 PC1 平面 MNQ 解 1 证明 连接 AF 则 AF 2 DF 2 22 又 AD 4 DF2 AF2 AD2 DF AF 又 PA 平面 ABCD DF PA 又 PA AF A DFPAF DFPF PFPAF 平平面面 平平面面 2 过点 E 作 EH FD 交 AD 于点 H 则 EH 平面 PFD 且 AH AD 1 4 10 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 再过点 H 作 HG DP 交 PA 于点 G 则 HG 平面 PFD 且 AG AP 1 4 平面 EHG 平面 PFD EG 平面 PFD 从而满足 AG AP 的点 G 为所求 1 4 7 证明 1 连接 1 BD 分别为 的中点 则 EF 1 DDDBEF 1 BD 又平面 平面 1 BD 11D ABCEF 11D ABC 平面EF 11D ABC 2 正方体中 平面 则 1111 DCBAABCD AB 11B BCC ABCB1 正方形中 又 B AB 平面 11B BCC 11 BCCB 1 BCAB 1 BC 11D ABC 则平面 CB1 11D ABC 平面 所以 1 BD 11D ABC CB1 1 BD 又 所以EF EF 1 BD CB1 8 解 1 该组合体的主视图和侧视图如右图示 3 分 2 平面 平面PD ABCDPD PDCE 平面平面 ABCDPDCE BC平面 5 分BCCD PDCE 6 分 11 3 23 22 SPDECDC 梯形PD C E 四棱锥 B CEPD 的体积 8 分 11 3 22 33 B CEPDPDCE VSBC 梯形 3 证明 平面 ECPDPD PDA 平面EC PDA EC 平面 10 分PDA 同