七年级上册数学知识点归纳

1 第一章第一章 有理数有理数 一 一 知识要点知识要点 本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分 有理数的概念可以利用数轴来认识 理解 同时 利用数轴又可以把这些概念串在一起 有理数的运算是全章的重点 在具体运算时 要注意四个方面 一是运算法则 二是运算律 三是运算顺序 四是近似计算 基础知识基础知识 1 正数 position number 大于 0 的数叫做正数 2 负数 negation number 在正数前面加上负号 的数叫做负数 3 0 既不是正数也不是负数 4 有理数 rational number 正整数 负整数 0 正分数 负分数都可以写成分数的形式 这样的数称 为有理数 5 数轴 number axis 通常 用一条直线上的点表示数 这条直线叫做数轴 数轴满足以下要求 1 在直线上任取一个点表示数 0 这个点叫做原点 origin 2 通常规定直线上从原点向右 或上 为正方向 从原点向左 或下 为负方向 3 选取适当的长度为单位长度 6 相反数 opposite number 绝对值相等 只有负号不同的两个数叫做互为相反数 7 绝对值 absolute value 一般地 数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值 记做 a 由绝对值的定义可得 a b 表示数轴上 a 点到 b 点的距离 一个正数的绝对值是它本身 一个负数的绝对值是它的相反数 0 的绝对值是 0 正数大于 0 0 大于负数 正数大于负数 两个负数 绝对值大的反而小 8 有理数加法法则 1 同号两数相加 取相同的符号 并把绝对值相加 2 绝对值不相等的异号两数相加 取绝对值较大的加数的符号 并用较大的绝对值减去较小的绝对值 互为相反数的两个数相加得 0 3 一个数同 0 相加 仍得这个数 加法交换律 有理数的加法中 两个数相加 交换加数的位置 和不变 表达式 a b b a 加法结合律 有理数的加法中 三个数相加 先把前两个数相加或者先把后两个数相加 和不变 表达式 a b c a b c 9 有理数减法法则 减去一个数 等于加这个数的相反数 表达式 a b a b 10 有理数乘法法则 两数相乘 同号得正 异号得负 并把绝对值相乘 任何数同 0 相乘 都得 0 2 乘法交换律 一般地 有理数乘法中 两个数相乘 交换因数的位置 积相等 表达式 ab ba 乘法结合律 三个数相乘 先把前两个数相乘 或者先把后两个数相乘 积相等 表达式 ab c a bc 乘法分配律 一般地 一个数同两个的和相乘 等于把这个数分别同这两个数相乘 再把积相加 表达式 a b c ab ac 11 倒数 1 除以一个数 零除外 的商 叫做这个数的倒数 如果两个数互为倒数 那么这两个数的积等于 1 12 有理数除法法则 两数相除 同号得负 异号得正 并把绝对值相除 0 除以任何一个不等于 0 的数 都得 0 13 有理数的乘方 求 n 个相同因数的积的运算 叫做乘方 乘方的结果叫做幂 power an中 a 叫做底 数 base number n 叫做指数 exponent 根据有理数的乘法法则可以得出 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 正数的任何次幂都是正数 0 的任何正整数次幂都是 0 14 有理数的混合运算顺序 1 先乘方 再乘除 最后加减 的顺序进行 2 同级运算 从左到右进行 3 如有括号 先做括号内的运算 按小括号 中括号 大括号依次进行 15 科学技术法 把一个大于 10 的数表示成 a 10n的形式 其中 a 是整数数位只有一位的数 即 0 a0 a b 4 做商法 a b 1 b 0 a b 第二章第二章 整式的加减总复习整式的加减总复习 3 知识点定义 1 单项式 对数字和若干个字母施行有限次乘法运算 所得的代数式叫做单项式 单独一个数或一个字母也是单项式 2 系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 3 单项式的次数 一个单项式中 所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 4 多项式 几个单项式的和叫做多项式 5 多项式的项 在多项式中 每个单项式叫做多项式的项 6 是常数项 6 常数项 多项式中 不含字母的项叫做常数项 7 多项式的次数 多项式里 次数最高的项的次数 就是这个多项式的次数 8 降幂排列 把一个多项式 按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来 叫做把多项式按这个字母降幂排列 9 升幂排列 把一个多项式 按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来 叫做把多项式按这个字母升幂排列 10 整式 单项式和多项式统称整式 11 同类项 所含字母相同 并且相同字母的次数也相同的项 叫做同类项 常数项都是同类项 12 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项 叫做合并同类项 合并同类项的法则是 4 同类项的系数相加 所得的结果作为系数 字母和字母的指数不变 13 去括号法则 括号前是 号 把括号和它前面的 号去掉 括号里各项都不变符号 括号前是 号 把括号和它前面的 号去掉 括号里各项都改变符号 例 a b 2c e 2d a b 2c e 2d 14 添括号法则 添括号后 括号前面是 号 括到括号里的各项都不变符号 添括号后 括号前面是 号 括到括号里的各项都改变符号 例 m 2x y z 5 m 2x y z 5 15 整式的加减 整式加减的一般步骤 1 如果遇到括号 按去括号法则先去括号 2 合并同类项 16 代数式的恒等变形一个代数式用另一个与它恒等的表达式去代换 叫做恒等变形 第三章第三章 一元一次方程一元一次方程 综合复习指导综合复习指导 知识点归纳知识点归纳 一 方程的有关概念一 方程的有关概念 1 方程 含有未知数的等式就叫做方程 2 一元一次方程 只含有一个未知数 元 x 未知数 x 的指数都是 1 次 这样的方程叫做一元一次方程 例如 1700 50 x 1800 2 x 1 5x 5 等都是一元一次方程 3 方程的解 使方程中等号左右两边相等的未知数的值 叫做方程的解 注 方程的解和解方程是不同的概念 方程的解实质上是求得的结果 它是一个数值 或几个数值 而 解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程 方程的解的检验方法 首先把未知数的值分别 代入方程的左 右两边计算它们的值 其次比较两边的值是否相等从而得出结论 二 二 等式的性质等式的性质 等式的性质 1 等式两边都加上 或减去 同个数 或式子 结果仍相等 用式子形式表示为 如果 a ba b 那么 那么 a c b ca c b c 2 等式的性质 2 等式两边乘同一个数 或除以同一个不为 0 的数 结果仍相等 用式子形式表示为 如果 a b 那么 ac bc 如果 a b c 0 那么 a c b c 三 移项法则三 移项法则 把等式一边的某项变号后移到另一边 叫做移项 四 去括号法则四 去括号法则 1 括号外的因数是正数 去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同 2 括号外的因数是负数 去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变 5 五 解方程的一般步骤五 解方程的一般步骤 1 去分母 方程两边同乘各分母的最小公倍数 2 去括号 按去括号法则和分配律 3 移项 把含有未知数的项移到方程一边 其他项都移到方程的另一边 移项要变号 4 合并 把方程化成 ax b a 0 形式 5 系数化为 1 在方程两边都除以未知数的系数 a 得到方程的解 x b a 六 用方程思想解决实际问题的一般步骤六 用方程思想解决实际问题的一般步骤 1 审 审题 分析题中已知什么 求什么 明确各数量之间的关系 2 设 设未知数 可分直接设法 间接设法 3 列 根据题意列方程 4 解 解出所列方程 5 检 检验所求的解是否符合题意 6 答 写出答案 有单位要注明答案 七 有关常用应用类型题及各量之间的关系七 有关常用应用类型题及各量之间的关系 1 1 和 差 倍 分问题 和 差 倍 分问题 1 倍数关系 通过关键词语 是几倍 增加几倍 增加到几倍 增加百分之几 增长率 来体 现 2 多少关系 通过关键词语 多 少 和 差 不足 剩余 来体现 2 2 等积变形问题 等积变形问题 等积变形 是以形状改变而体积不变为前提 常用等量关系为 形状面积变了 周长没变 原料体积 成品体积 3 3 劳力调配问题 劳力调配问题 这类问题要搞清人数的变化 常见题型有 1 既有调入又有调出 2 只有调入没有调出 调入部分变化 其余不变 3 只有调出没有调入 调出部分变化 其余不变 4 4 数字问题数字问题 1 要搞清楚数的表示方法 一个三位数的百位数字为 a 十位数字是 b 个位数字为 c 其中 a b c 均为整数 且 1 a 9 0 b 9 0 c 9 则这个三位数表示为 100a 10b c 6 2 数字问题中一些表示 两个连续整数之间的关系 较大的比较小的大 1 偶数用 2n 表示 连续的 偶数用 2n 2 或 2n 2 表示 奇数用 2n 1 或 2n 1 表示 5 工程问题工程问题 工程问题中的三个量及其关系为 工作总量 工作效率 工作时间 6 行程问题 行程问题 1 行程问题中的三个基本量及其关系 路程 速度 时间 2 基本类型有 相遇问题 追及问题 常见的还有 相背而行 行船问题 环形跑道问题 7 商品销售问题商品销售问题 有关关系式 商品利润 商品售价 商品进价 商品标价 折扣率 商品进价 商品利润率 商品利润 商品进价 商品售价 商品标价 折扣率 8 8 储蓄问题储蓄问题 顾客存入银行的钱叫做本金 银行付给顾客的酬金叫利息 本金和利息合称本息和 存入银行的时 间叫做期数 利息与本金的比叫做利率 利息的 20 付利息税 利息 本金 利率 期数 本息和 本金 利息 利息税 利息 税率 20 第四章第四章 图形认识初步图形认识初步 知识点归纳知识点归纳 一 一 多姿多彩的图形多姿多彩的图形 1 从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形几何图形 2 点 线 面 体 A 点 线和线相交的地方 B 线 面和面相交的地方 线可分为直线 射线 线段 C 体 正方体 长方体 圆柱 球等都是几何体 几何体简称体 D 面 包围着体的是面 面可分为平的面 曲的面 二 二 直线 射线 线段直线 射线 线段 7 1 两点确定一条直线 2 当两条不同的直线有一个公共点时 我们就称这两条直线相交相交 这个公共点叫做它们的交点交点 3 两点之间 线段最短 4 连接两点间的线段的长度 叫做这两点的距离距离 三 三 角角 1 有且只有一个角 2 把一个周角 360 等分 每一份就是一度度的角 记做 1 把 1 度的角 60 等分 每一份叫做 1 分分的角 记作 1 把 1 分的角 60 等分 每一份叫做 1 秒秒的角 记作 1 3 角的运算 1 周角 360 1 平角 180 1 60 1 60 4 角的平分线 A 从一个角的顶点引出一条射线 把这个角分成两个相等的角 这条射线叫做 这个角的角平分线 B 角平分线上的一点到角的两边距离相等 四 线段 射线和直线的联系与区别四 线段 射线和直线的联系与区别 联系 线段 射线 直线是部分与整体的关系 线段向一方无限延长形成了射线 向两个方 向无限延长得到了直线 直线上的两点和它们之间的部分组成线段 直线上的一点及其一旁的部 分是射线 射线反向延长得直线 区别 名称 延伸情况有 无长短 图示表示法端点个数作图描述备注 线段 不可延伸 有 长短 线段 a 或线 段 AB BA 2 个连结 AB A B 两点 无序 射线 向一个方向 延伸 无长短 射线 AB1 个 以 A 为端点 作射线 AB A B 两点 有序 端点在 前 射线上一 点在后 直线 向两个方向 延伸 直线 l 或直 线 AB BA 无端点 过 A B 两 点作直线 AB A B 两点 无序 第一章第一章 基础训练基础训练 选择题选择题 1 下列运算中正确的是 A 2 2 B 32 27 C 3 3 D 32 9 8 2 下列各判断句中错误的是 A 数轴上原点的位置可以任意选定 B 数轴上与原点的距离等于 1 7 3个单位的点有两个 C 与原点距离等于 2 的点应当用原点左边第 2 个单位的点来表示 D 数轴上无论怎样靠近的两个表示有理数的点之间 一定还存在着表示有理数的点 3 a b是有理数 若a b且 ab 下列说法正确的是 A a一定是正数 B a一定是负数 C b一定是正数 D b一定是负数 4 两数相加 如果比每个加数都小 那么这两个数是 A 同为正数 B 同为负数 C 一个正数 一个负数 D 0 和一个负数 5 两个非零有理数的和为零 则它们的商是 A 0 B 1 C 1 D 不能确定 6 一个数和它的倒数相等 则这个数是 A 1 B 1 C 1 D 1 和 0 7 如果 a a 下列成立的是 A a 0 B a0 或 a 0 D a 或 34 43 17 根据生活经验 对代数式作出解释 ab 18 某城市按以下规定收取每月的煤气费 用气不超过 60 立方米 按每立方米 0 8 元收费 如果超过 60 立 方米 超过部分每立方米按 1 2 元收费 已知某户用煤气 x 立方米 x 60 则该户应交煤气费 元 20 观察下列单项式 0 3x2 8x3 15x4 24x5 按此规律写出第 13 个单项式是 三 解答题三 解答题 共 60 分 21 12 分 化简 1 2 1 4 4 mnmn 22 37 43 2xxxx 3 2 xyyyyx 11 22 8 分 化简求值 1 其中 522 2 624 22 aaaa1 a 2 3 1 2 3 2 1 2 2 1 22 babaa 其中 3 2 2 ba 23 6 分 已知 求 123 2 aaA235 2 aaBBA32 24 6 分 如图所示 一扇窗户的上部是由 4 个扇形组成的半圆形 下部是边长相同的 4 个小正方形 请计 算这扇窗户的面积和窗框的总长 26 6 分 某商店有两个进价不同的计算器都卖了元 其中一个盈利 60 另一个亏本 20 在这次买卖中 这家a 商店是赚了 还是赔了 赚了或赔了多少 27 7 分 试至少写两个只含有字母 的多项式 且满足下列条件 1 六次三项式 2 每一项的系数均为 1xy 或 1 3 不含常数项 4 每一项必须同时含字母 但不能含有其他字母 xy 28 9 分 某农户 2007 年承包荒山若干亩 投资 7800 元改造后 种果树 2000 棵 今年水果总产量为 18000 千克 此水果在市场上每千克售 a 元 在果园每千克售 b 元 b a 该农户将水果拉到市场出售平均每天 出售 1000 千克 需 8 人帮忙 每人每天付工资 25 元 农用车运费及其他各项税费平均每天 100 元 1 分别用 a b 表示两种方式出售水果的收入 2 若 a 1 3 元 b 1 1 元 且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果 请你通过计算说 明选择哪种出售方式较好 3 该农户加强果园管理 力争到明年纯收入达到 15000 元 那么纯收入增长率是多少 纯收入 总 收入 总支出 该农户采用了 2 中较好的出售方式出售 第三章第三章 一元一次方程一元一次方程 填空题填空题 1 在有理数 7 3 4 1 43 1 2 3 0 10 5 1 7321 中 是整数的有 是负 分数的有 2 一般地 设 a 是一个正数 则数轴上表示数 a 的点在原点的 边 与原点的距离是 个单位长度 表示数 a 的点在原点的 边 与原点的距离是 个单位长度 3 如果一个数是 6 位整数 用科学记数法表示它时 10 的指数是 用科学记数法表示一个 n 位整 数 其中 10 的指数是 4 实数 a b c 在数轴上的位置如图 化简 a b b c c a a 12 5 绝对值大于 1 而小于 4 的整数有 其和为 6 若 a b 互为相反数 c d 互为倒数 则 a b 3 3 cd 4 7 1 2 3 4 5 6 2001 2002 的值是 8 若 a 1 2 b 2 0 那么 a b 9 平方等于它本身的有理数是 立方等于它本身的有理数是 10 用四舍五入法把 3 1415926 精确到千分位是 用科学记数法表示 302400 应记为 近似数 3 0 精确到 位 11 正数 a 的绝对值为 负数 b 的绝对值为 12 甲乙两数的和为 23 4 乙数为 8 1 甲比乙大 13 在数轴上表示两个数 的数总比 的大 用 左边 右边 填空 14 数轴上原点右边 4 8 厘米处的点表示的有理数是 32 那么 数轴左边 18 厘米处的点表示的有理 数是 15 温度由 下降 后 结果可记为 16 1 3 的相反数是 绝对值是 倒数是 三 强化训练强化训练 1 计算 1 2 3 2002 2003 2 已知 15 4 4 15 4 4 8 3 3 8 3 3 3 2 2 3 2 2 222 若b a b a 2 1010 a b 均为整数 则 a b 3 观察下列等式 你会发现什么规律 2 2131 2 3142 2 4153 请将你发现的规 律用只含一个字母 n n 为正整数 的等式表示出来 4 已知 0 b b a a 则 ba ba 5 已知a是整数 523 2 aa 是一个偶数 则 a 是 奇 偶 6 已知 1 2 3 31 32 33 17 33 求 1 3 2 6 3 9 4 12 31 93 32 96 33 99 的值 7 在数 1 2 3 50 前添 或 并求它们的和 所得结果的最小非负数是多少 请列出算式解 答 8 如果规定符号 的意义是 a b ab a b 求 2 3 4 的值 9 已知 x 1 4 y 2 2 4 求 x y 的值 10 投资股票是一种很重要的投资方式 但股市的风云变化又牵动了股民的心 例 某股民在上星期五买进某种股票 500 股 每股 60 元 下表是本周每日该股票的涨跌情况 单位 元 星期一二三四五 13 每股涨跌 4 4 5 1 2 5 6 1 星期三收盘时 每股是多少元 2 本周内最高价是每股多少元 最低价是多少元 3 已知买进股票是付了 1 5 的手续费 卖出时需付成交额 1 5 的手续费和 1 的交易费 如果在 星期五收盘前将全部股票一次性地卖出 他的收益情况如何 4 以买进的股价为 0 点 用折线统计图表示本周该股的股价情况 典型例题典型例题 一 一元一次方程的有关概念一 一元一次方程的有关概念 例 1 一个一元一次方程的解为 2 请写出这个一元一次方程 二 一元一次方程的解二 一元一次方程的解 例 2 若关于的一元一次方程的解是 则的值是 x 23 1 32 xkxk 1x k A B 1 C D 0 2 7 13 11 三 一元一次方程的解法三 一元一次方程的解法 例 3 如果 那么等于 2005200 520 05x x A 1814 55 B 1824 55 C 1774 45 D 1784 45 例 4 x 1 3 3 3 2 3 3 2 1 2 四 一元一次方程的实际应用四 一元一次方程的实际应用 例 5 某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅 经过测试 同时开放 1 个大餐厅 2 个小餐厅 可供 1680 名学生就餐 同时开放 2 个大餐厅 1 个小餐厅 可供 2280 名学生就餐 1 求 1 个大餐厅 1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐 2 若 7 个餐厅同时开放 能否供全校的 5300 名学生就餐 请说明理由 例 6 工艺商场按标价销售某种工艺品时 每件可获利 45 元 按标价的八五折销