【高中数学名师精华荟萃总结】《解析几何大题》专题突破

专题突破解析几何（学生版） 一、轨迹问题 二、求值 三、最值（范围）问题 四、定点、定位、定值问题 五、存在性问题恒成立与有解问题一、 轨迹问题问题一：利用直接法求轨迹方程直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.具体步骤为通过建立适当的坐标系，设点、列式、化简从而得出轨迹方程1、 线段与互相垂直平分于点，动点满足，求动点的轨迹方程问题二：利用定义法求轨迹方程当动点的轨迹满足某种曲线的定义时，就可由曲线的定义直接写出轨迹方程2.，为动点，、为定点，且满足条件，求动点的轨迹方程.3.已知动圆与两定圆和都外切，求动圆圆心的轨迹方程问题三：利用转移法求轨迹方程动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，这时我们可以用动点坐标来表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫相关点法。转移法 (也称代入法,相关点法): 转移法求轨迹方程的步骤：（1）设两个动点坐标为，其中动点在已知曲线上，动点为所求轨迹上的点；（2）寻找两个动点之间的关系，把用表示；将用表示的代入已知曲线方程，整理即得所求4.已知点为圆上的一个动点，点的坐标为，试求线段中点的轨迹方程问题四：利用待定系数法求轨迹方程待定系数法求轨迹方程的步骤：(1)设出所求的曲线方程；(2)求出字母参数；(3)代入所设5.在面积为的中，建立适当坐标系，求以为焦点且过的椭圆方程问题五：参数法求轨迹方程6.设椭圆方程为,过点的直线交椭圆于两点,是坐标原点,点满足.当绕点旋转时，求： 动点的轨迹方程7、（2011安徽理）设，点的坐标为，点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足，求点的轨迹方程8(2013四川) 已知椭圆：的两个焦点分别为，且椭圆经过点（）求椭圆的离心率；（）设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程9、如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。求轨迹的方程；10、（2011湖北理）平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上，两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线求曲线的方程，并讨论的形状与值的关系二、求值求值问题的解决离不开方程思想，解析几何问题中怎样引入参数比较好，怎样列方程，怎样消去参数比较简便，这几乎是每道解析题都要考虑的问题.例.（2015全国文20）已知过点且斜率为的直线与圆：交于两点.（）求的取值范围；（）若 =12，其中0为坐标原点，求MN.1、（2010全国）设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列（1）求的离心率；（2）设点满足，求的方程2、椭圆：的离心率为，且过点求椭圆的方程；设直线：与椭圆交于两点，为坐标原点，若直角三角形，求的值3、（2011年天津20）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值.4、在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的焦点在y轴上，且抛物线上的点P(x0，4)到焦点F的距离为5斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点（）求抛物线C的标准方程，及抛物线在P点处的切线方程；（）若AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M，N两点（M，N位于直线l两侧），当四边形AMBN为菱形时，求直线l的方程5、已知椭圆C：的两个焦点分别为F1(-,0)，F2(,0)，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直（）求椭圆C的方程；（）过点M（1，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值6、（2010北京理科）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.()求动点P的轨迹方程；()设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。三、最值（范围）问题函数思想、构建不等式在处理最值，范围问题中经常用到.1、设是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值2.已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上.右焦点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程.（2）设直线与椭圆相交于不同的两点,.当时，求的取值范围.3已知椭圆的对称轴为坐标轴,且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,又点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线的方向向量为,若直线与椭圆交于、两点,求面积的最大值.4、已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值5、在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为， 为椭圆的上顶点，且.（）求椭圆的标准方程；（）已知直线：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示. （）证明：;（）求四边形的面积的最大值.6、已知椭圆C1：的离心率为，直线：y=x+2与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆C1的方程；（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；（3）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值7、已知椭圆的一个焦点为，离心率为过焦点的直线与椭圆交于两点，线段中点为，为坐标原点，过，的直线交椭圆于两点（）求椭圆的方程；（）求四边形面积的最大值8、（2011北京理）已知椭圆：过点作圆的切线交椭圆于、两点.（1）求椭圆的焦点坐标和离心率；（2）将表示为的函数，并求的最大值.9.设、分别是椭圆的左、右焦点.（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.10、已知椭圆C的左，右焦点坐标分别为,离心率是。椭圆C的左，右顶点分别记为A,B。点S是椭圆C上位于轴上方的动点，直线AS,BS与直线分别交于M,N两点。（）求椭圆C的方程；（）求线段MN长度的最小值；11、设椭圆的左、右顶点分别为，点P在椭圆上且异于两点，为坐标原点.（）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；（）若，证明：直线的斜率满足.四、定点、定位、定值问题1、直线所经过的定点坐标为_2、已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，（1）分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由3、 在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和求轨迹的方程；当时，求与的关系，并证明直线过定点4、已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M(0,2)是椭圆的一个顶点，F1MF2是等腰直角三角形(1)求椭圆的方程；(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1k28，证明：直线AB过定点.5、已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切求椭圆C的方程；设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；在的条件下，证明直线与轴相交于定点6、已知，椭圆以过点，两个焦点为(1)求椭圆的方程；(2)是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值代入整理，得，所以直线与轴相交于定点7、（2015全国文20）已知椭圆的离心率为,点在C上.（I）求C的方程；（II）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.8、已知椭圆短轴的一个端点，离心率过作直线与椭圆交于另一点，与轴交于点（不同于原点），点关于轴的对称点为，直线交轴于点求椭圆的方程；求的值9、如图，已知椭圆的焦点是、，过作互相垂直的两条直线、，交椭圆于、两点，交椭圆于、两点，且（1）求椭圆的方程;（2）求证为定值.10已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，求证为定值11、设椭圆的焦点在轴上.（）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；（）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上。12、已知曲线.（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，直线与直线交于点，求证：，三点共线.13、（2015北京文）已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点（）求椭圆的离心率；（）若垂直于轴，求直线的斜率；（）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由五、存在性问题恒成立与有解问题1.已知椭圆：的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点，当的斜率为时，坐标原点到的距离为 （1）求，的值；（2）上是否存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的的坐标与的方程；若不存在，说明理由。2.过的直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使得总被轴平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由3、（2015全国理）在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线(0)交与M,N两点，（）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？说明理由。4、（2015北京理）已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点（）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由5、【2012江西理21】已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x，y）满足.(1)求曲线C的方程；(2)动点Q（x0，y0）（-2x02）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D,E，且QAB与PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值。若不存在，说明理由。恒成立问题6、已知椭圆:的右焦点为，且点在椭圆上.（）求椭圆的标准方程；（）已知动直线过点，且与椭圆交于，两点.试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.7、 设，点在轴的负半轴上，点在轴上，且，（1）当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；（2）若，是否存在垂直轴的直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由8 已知的三边长成等差数列，若点的坐标分别为（）求顶点的轨迹的方程；（）线段的延长线交顶点C的轨迹于点，当且点在轴上方时，求线段垂直平分线的方程9、 已知椭圆经过点，离心率为，动点.（）求椭圆的标准方程；（）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值.拓展（切线问题、角分线问题、对称问题）10、椭圆的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.()求椭圆的方程; ()点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,设的角平分线交 的长轴于点,求的取值范围;()在()的条件下,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,若