导数——平均变化率与瞬时变化率

导数导数 平均变化率与瞬时变化率平均变化率与瞬时变化率 一 教学内容 导数 平均变化率与瞬时变化率 二 本周教学目标 1 了解导数概念的广阔背景 体会导数的思想及其内涵 2 通过函数图象直观理解导数的几何意义 三 本周知识要点 一 平均变化率 1 情境 观察某市某天的气温变化图 2 一般地 函数 f x 在区间 x1 x2 上的平均变化率 平均变化率是曲线陡峭程度的 数量化 曲线陡峭程度是平均变化率 视觉 化 二 瞬时变化率 导数 1 曲线的切线 如图 设曲线 c 是函数的图象 点是曲线 c 上一点作割 线 PQ 当点 Q 沿着曲线 c 无限地趋近于点 P 割线 PQ 无限地趋近于某一极 限位置 PT我们就把极限位置上的直线 PT 叫做曲线 c 在点 P 处的切线 割线 PQ 的斜率为 即当时 无限趋近于点 P 的斜率 2 瞬时速度与瞬时加速度 1 瞬时速度定义 运动物体经过某一时刻 某一位置 的速度 叫做瞬时 速度 2 确定物体在某一点 A 处的瞬时速度的方法 要确定物体在某一点 A 处的瞬时速度 从 A 点起取一小段位移 AA1 求出 物体在这段位移上的平均速度 这个平均速度可以近似地表示物体经过 A 点的 瞬时速度 当位移足够小时 物体在这段时间内的运动可认为是匀速的 所得的平均 速度就等于物体经过 A 点的瞬时速度 我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识 现在已经知道物体做直线 运动时 它的运动规律用函数表示为 s s t 也叫做物体的运动方程或位移 公式 现在有两个时刻 t0 t0 t 现在问从 t0到 t0 t 这段时间内 物体的位 移 平均速度各是 位移为 s s t0 t s t0 t 称时间增量 平均速度 根据对瞬时速度的直观描述 当位移足够小 现在位移由时间 t 来表示 也 就是说时间足够短时 平均速度就等于瞬时速度 现在是从 t0到 t0 t 这段时间是 t 时间 t 足够短 就是 t 无限趋近 于 0 当 t 0 时 位移的平均变化率无限趋近于一个常数 那么称这个常数为物体在 t t0的瞬时速度 同样 计算运动物体速度的平均变化率 当 t 0 时 平 均速度无限趋近于一个常数 那么这个常数为在 t t0时的瞬时 加速度 3 导数 设函数在 a b 上有定义 若无限趋近于 0 时 比值 无限趋近于一个常数 A 则称 f x 在 x 处可 导 并称该常数 A 为函数在处的导数 记作 几何意义是曲线上点 处的切线的斜率 导函数 导数 如果函数在开区间内的每点处都有导数 此时对于每一个 都对应着一个确定的导数 从而构成了一个新 的函数 称这个函数为函数在开区间内的导函数 简称导数 也可记作 典型例题典型例题 例例 1 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙 t s 后容器甲中水的体积 单位 计算第一个 10s 内 V 的平均变化率 解 解 在区间 0 10 上 体积 V 的平均变化率为 即第一个 10s 内容器甲中水的体积的平均变化率为 例例 2 已知函数 分别计算在区间 3 1 0 5 上函数及的平均变化率 解 解 函数在 3 1 上的平均变化率为 在 3 1 上的平均变化率为 函数在 0 5 上的平均变化率为 在 0 5 上的平均变化率为 例例 3 已知函数 分别计算函数在区间 1 3 1 2 1 1 1 1 1 001 上的平均变化率 解 解 函数在区间 1 3 上的平均变化率为 函数在 1 2 上的平均变化率为 函数在 1 1 1 上的平均变化率为 函数在 1 1 001 上的平均变化率为 例例 4 物体自由落体的运动方程 s s t gt2 其中位移单位 m 时间单 位 s g 9 8 m s2 求 t 3 这一时段的速度 解 解 取一小段时间 3 3 t 位置改变量 s g 3 t 2 g 32 6 t t 平均速度g 6 t 当 t 无限趋于 0 时 无限趋于 3g 29 4 m s 例例 5 已知质点 M 按规律 s 2t2 3 做直线运动 位移单位 cm 时间单位 s 1 当 t 2 t 0 01 时 求 2 当 t 2 t 0 001 时 求 3 求质点 M 在 t 2 时的瞬时速度 分析 分析 s 即位移的改变量 t 即时间的改变量 即平均速度 当 t 越小 求出的越接近某时刻的速度 解 解 4t 2 t 1 当 t 2 t 0 01 时 4 2 2 0 01 8 02 cm s 2 当 t 2 t 0 001 时 4 2 2 0 001 8 002 cm s 3 t0 4t 2 t 4t 4 2 8 cm s 例例 6 曲线的方程为