数学选修2-3 第二章离散型随机变量解答题精选

1 数学选修 2 3 第二章离散型随机变量解答题精选 1 人忘记了电话号码的最后一个数字 因而他随意地拨号 假设拨过了的号码不再重复 试求下列事件的概率 1 第次拨号才接通电话 3 2 拨号不超过次而接通电话 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 解 设 第 次拨号接通电话 i A i1 2 3i 1 第次才接通电话可表示为于是所求概率为3 321 AAA 10 1 8 1 9 8 10 9 321 AAAP 2 拨号不超过次而接通电话可表示为 于是所求概率为3 112123 AA AA A A 112123 P AA AA A A 112123 P AP A AP A A A 1919813 10109109810 2 出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗 假设他在各交通岗到红灯这一事件是 相互独立的 并且概率都是 3 1 1 求这位司机遇到红灯前 已经通过了两个交通岗的概率 2 求这位司机在途中遇到红灯数 的期望和方差 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 1 因为这位司机第一 二个交通岗未遇到红灯 在第三个交通岗遇到红灯 所以 27 4 3 1 3 1 1 3 1 1 P 2 易知 3 1 6 B 2 3 1 6 E 3 4 3 1 1 3 1 6 D 3 奖器有个小球 其中个小球上标有数字 个小球上标有数字 现摇出个小1082253 球 规定所得奖金 元 为这个小球上记号之和 求此次摇奖获得奖金数额的数学3 期望 解 设此次摇奖的奖金数额为元 当摇出的个小球均标有数字时 326 当摇出的个小球中有个标有数字 1 个标有数字时 32259 当摇出的个小球有 个标有数字 个标有数字时 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3122512 所以 15 7 6 3 10 3 8 C C P 15 7 9 3 10 1 2 2 8 C CC P 15 1 12 3 10 2 2 1 8 C CC P 77139 6 912 1515155 E 答 此次摇奖获得奖金数额的数字期望是元 5 39 2 4 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 某学生语 数 英三科考试成绩 在一次考试中排名全班第一的概率 语文为 0 9 数学为 英语为 问一次考试中0 80 85 三科成绩均未获得第一名的概率是多少 恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少 解 分别记该生语 数 英考试成绩排名全班第一的事件为 A B C 则 0 9 0 8 0 85P AP BP C CPBPAPCBAP 1 1 1 1 0 9 1 0 8 1 0 85 0 003 P AP BP C 答 三科成绩均未获得第一名的概率是 0 003 P A B CA B CA B C P A B CP A B CP A B C P AP BP CP AP BP CP AP BP C 1 1 1 1 0 9 0 8 0 850 9 1 0 8 0 850 9 0 8 1 0 85 0 329 P A P B P CP AP B P CP A P BP C 答 恰有一科成绩未获得第一名的概率是0 329 5 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 如图 两点之间有条网线并联 它们能通过的最大信息量分别为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 A B61 1 2 2 3 4 现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 I 设选取的三条网线由到可通过的信息总量为 当时 则保证信息畅ABx6x 通 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 求线路信息畅通的概率 II 求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 解 I 4 11 6 6321411 3 6 1 2 1 2 C CC xP 4 3 10 1 20 3 4 1 4 1 6 10 1 20 2 9 9432 20 3 8 8422431 4 1 20 5 7 7 322421 xP xP xP xP II 20 3 5 5221311 10 1 4 4211 xPxP 线路通过信息量的数学期望 5 6 10 1 9 20 3 8 4 1 7 4 1 6 20 3 5 10 1 4 答 I 线路信息畅通的概率是 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 II 线路通过信息量的数学期望是 4 3 6 5 6 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 三个元件 正常工作的概率分别为将它们中某两个元件并联后再和第三 123 T T T 4 3 4 3 2 1 元件串联接入电路 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 在如图的电路中 电路不发生故障的概率是多少 三个元件连成怎样的电路 才能使电路中不发生故障的概率最大 请画出此 时电路图 并说明理由 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 记 三个元件正常工作 分别为事件 则 123 T T T 123 A A A 4 3 4 3 2 1 321 APAPAP 不发生故障的事件为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 231 AA A 不发生故障的概率为 32 15 2 1 4 1 4 1 1 1 132 1311321 APAPAP APAAPAAAPP 4 如图 此时不发生故障的概率最大 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 证明如下 图 1 中发生故障事件为 123 AA A 不发生故障概率为 32 21 1 3213213212 APAPAPAPAAPAAAPP 21 PP 图 2 不发生故障事件为 同理不发生故障概率为 132 AA A 321 PPP 7 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 要制造一种机器零件 甲机床废品率为 而乙机床废品率为 而它们0 050 1 的生产是独立的 从它们制造的产品中 分别任意抽取一件 求 1 其中至少有一件废品的概率 2 其中至多有一件废品的概率 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 设事件 从甲机床抽得的一件是废品 从乙机床抽得的一件是废品 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 A B 则 0 05 0 1P AP B 1 至少有一件废品的概率 145 0 90 0 95 0 1 1 1 BPAPBAPBAP 2 至多有一件废品的概率 995 0 9 095 0 1 095 0 9 005 0 BABABAPP 8 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 甲乙两人独立解某一道数学题 已知该题被甲独立解出的概率为 被甲或乙解出的0 6 概率为 1 求该题被乙独立解出的概率 2 求解出该题的人数的数学期望和0 92 方差 解 1 记甲 乙分别解出此题的事件记为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 A B 设甲独立解出此题的概率为 乙为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 P 2 P 则 12 0 6 P APP BP 121212 22 22 1 1 1 1 0 92 0 60 60 92 0 40 320 8 2 0 0 4 0 20 08 1 0 6 0 20 4 0 80 44 2 0 6 0 80 48 P ABP A BPPPPPP PP PP PP AP B PP A P BP A P B PP AP B 则即 的概率分布为 5 0 12 P0 080 440 48 4 096 1 36 2 4 01728 0 0704 0 1568 0 48 0 4 12 44 0 4 11 08 0 4 10 4 196 0 44 0 48 0 244 0 108 0 0 22 222 EED D E 或利用 9 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 某保险公司新开设了一项保险业务 若在一年内事件发生 该公司要赔偿元 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设Ea 在一年内发生的概率为 为使公司收益的期望值等于的百分之十 公司应要求顾客Epa 交多少保险金 解 设保险公司要求顾客交元保险金 若以 表示公司每年的收益额 则是一个x 随机变量 其分布列为 xxa P 1p p 因此 公司每年收益的期望值为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 Expxa pxap 为使公司收益的期望值等于的百分之十 只需 即 a0 1Ea 0 1xapa 故可得 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 0 1 xa p 即顾客交的保险金为 时 可使公司期望获益 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 0 1 a p 0 1a 10 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 有一批食品出厂前要进行五项指标检验 如果有两项指标不合格 则这批食品不能出 厂 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 已知每项指标抽检是相互独立的 且每项抽检出现不合格的概率都是 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 0 2 1 求这批产品不能出厂的概率 保留三位有效数字 2 求直至五项指标全部验完毕 才能确定该批食品是否出厂的概率 保留三位有效数字 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 1 这批食品不能出厂的概率是 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 514 5 1 0 80 80 20 263PC 2 五项指标全部检验完毕 这批食品可以出厂的概率是 13 14 0 2 0 80 8PC 五项指标全部检验完毕 这批食品不能出厂的概率是 13 24 0 2 0 80 2PC 由互斥事件有一个发生的概率加法可知 五项指标全部检验完毕 才能确定这批 产品是否出厂的概率是 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 13 124 0 2 0 80 4096PPPC 11 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 高三 1 班 高三 2 班每班已选出 3 名学生组成代表队 进行乒乓球对抗赛 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 比赛规则是 按 单打 双打 单打 顺序进行三盘比赛 代表队中每名队员至少参 加一盘比赛 不得参加两盘单打比赛 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 已知每盘比赛双方胜出的概率均为 2 1 根据比赛规则 高三 1 班代表队共可排出多少种不同的出场阵容 高三 1 班代表队连胜两盘的概率是多少 6 解 I 参加单打的队员有种方法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 3 A 参加双打的队员有种方法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 2 C 所以 高三 1 班出场阵容共有 种 12 1 2 2 3 CA II 高三 1 班代表队连胜两盘 可分为第一盘 第二盘胜或第一盘负 其余 两盘胜 所以 连胜两盘的概率为 8 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 12 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 袋中有大小相同的 个白球和个黑球 从中任意摸出个 求下列事件发生的