数码相机的定位2008年全国大学生数学建模A题一等奖

1 数码相机的定位数码相机的定位 摘要摘要 本文运用相机标定模型确定了相机像平面的像坐标 利用本质矩阵标定双 目相机 快速找出了相机的相对位置关系 利用 MATAB 软件和图像处理进行 编程求解 通过对图像的预处理和灰度质心法对模型进行了验证 得出模型的 精度 针对问题一 根据数码相机的特点 提出了一个新的标定方法 建立相机 标定模型 确定了靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标 为问题二的计算 提供了一个好的算法 针对问题二 我们利用问题一建立的模型和方法运用 MATLAB 编程精确的计 算了靶标上五个圆的圆心在像平面上的像坐标 ABCDE x86 2453110 8411168 2104155 171273 2152 y50 009950 797652 6354134 09100 2646 针对问题三 我们引入了灰度质心法及像差模型对前述问题的模型的稳定 性和坐标值精度进行检验后 发现两种模型的中心坐标值的误差值在 0 3 个像 素区间内 说明前述模型的计算结果的精度很高 通过像差模型得出其径向畸 变系数趋于无穷小 认为前述模型有很好的稳定性 针对问题四 我们提出了一种改进的的立体摄像机标定方法 通过双目匹 配点 线性地求解本质矩阵 快速找出摄像机的相对位置关系 关键词 关键词 双目定位 系统定标 灰度质心法 像差模型 本质矩阵 2 1 问题重述 数码相机定位在交通监管 电子警察 等方面有广泛的应用 所谓数码相 机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置 最常 用的定位方法是双目定位 即用两部相机来定位 对物体上一个特征点 用两 部固定于不同位置的相机摄得物体的像 分别获得该点在两部相机像平面上的 坐标 只要知道两部相机精确的相对位置 就可用几何的方法得到该特征点在 固定一部相机的坐标系中的坐标 即确定了特征点的位置 于是对双目定位 精确地确定两部相机的相对位置就是关键 这一过程称为系统标定 标定的一种做法是 在一块平板上画若干个点 同时用这两部相机照相 分别得到这些点在它们像平面上的像点 利用这两组像点的几何关系就可以得到这 两部相机的相对位置 然而 无论在物平 面或像平面上我们都无法直接得到没有几 何尺寸的 点 实际的做法是在物平面上 画若干个圆 称为靶标 它们的圆心就是 几何的点了 而它们的像一般会变形 如 图 1 所示 所以必须从靶标上的这些圆的 像中把圆心的像精确地找到 标定就可实 现 图 1 靶 标上圆的像 有人设计靶标如下 取 1 个边长为 100mm 的正方形 分别以四个顶点 对 应为 A C D E 为圆心 12mm 为半径作圆 以 AC 边上距离 A 点 30mm 处的 B 为圆心 12mm 为半径作圆 用一位置固定的数码相机摄得其像 请你 们 1 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标 这里坐标系原点取在该相机的光学中心 x y 平面平行于像平面 2 对由图 2 图 3 分别给出的靶标及其像 计算靶标上圆的圆心在像平面 上的像坐标 该相机的像距 即光学中心到像平面的距离 是 1577 个像 素单位 1 毫米约为 3 78 个像素单位 相机分辨率为 1024 768 3 设计一种方法检验你们的模型 并对方法的精度和稳定性进行讨论 4 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法 2 模型假设 1 假设拍摄靶标的像的数码照相机的光学系统在制造和安装过程中产生的各种 畸变误差很小 可忽略不计 2 假设拍摄靶标的相机的焦距是固定的 且相机的焦距等于像距 3 设像面中心相对光轴与像面的焦点在 方向和 方向的偏移为 0 4 假设像面的倾斜程度为 0 3 3 符号说明 问题一 世界坐标系坐标的表示 www XYZ 图像坐标系的坐标表示 x y 像坐标系的坐标表示 u v 光心坐标系坐标表示 ccc X Y Z 焦距f 3 3 阶的旋转矩阵R 位移向量t 图像坐标系原点在像素坐标系中的横坐标 0 u 图像坐标系原点在像素坐标系中的纵坐标 0 v 像素坐标系在方向相邻像素间的距离dxX 像素坐标系在方向相邻像素间的距离dyY 数码相机的内部参数矩阵N 数码相机的外部参数矩阵M 数码相机的投影矩阵Q 问题二 靶标上 A 圆圆心在成像平面上对应的像素坐标 A O 靶标上 B 圆圆心在成像平面上对应的像素坐标 B O 靶标上 C 圆圆心在成像平面上对应的像素坐标 c O 靶标上 D 圆圆心在成像平面上对应的像素坐标 D O 靶标上 D 圆圆心在成像平面上对应的像素坐标 E O 靶标上 A 圆圆心在成像平面上对应的像坐标 A O 靶标上 B 圆圆心在成像平面上对应的像坐标 B O 靶标上 C 圆圆心在成像平面上对应的像坐标 c O 4 靶标上 D 圆圆心在成像平面上对应的像坐标 d O 靶标上 E 圆圆心在成像平面上对应的像素坐标 E O 问题三 i 表示坐标点底数 表示第 i 个质点的位置坐标 i x i y n 表示图像的像素个数 表示第 i 个像素的坐标 ii x y 表示第 i 个像素的灰度值 ii p x y 表示第 i 个质点的质量 i m x0 y0 表示全部 n 个离散质点的重心坐标 注 问题四的符号说明已在问题中给出 4 问题分析 计算机视觉是一门新兴的学科 随着计算机硬件 软件 图像采集 处理 技术的迅速发展 计算机视觉的理论和技术已被广泛地应用于医学图像处理 机器人技术 文字识别 工业检测 军事勘察 地面勘察和现场检测等 计算 机视觉在多种测量中的应用是一种定量分析系统 有确定的精度要求 一般运 用于现场不可到达 现场复杂不便直接测量 保留现场状态以便测量 补测和 事后重构现场等场合 这主要是由于数码相机有如下几个特点 有较多像素的 CCD 可以根据测量的需要选择不同的像素大小 可直接与计算机进行通讯 可选定多种焦距进行顶焦距拍摄 上述特点 给图像采集和图像处理带来了许 多方便之处 在应用计算机视觉的测量系统中 无论是采用摄像机还是数码相机作为原 始 图像的采集设备 都必须进行系统标定 系统标定是应用计算机视觉进行现场 测量和图像处理的第一步 也是关键的一步 标定矩阵的精度直接影响到最终 的测量精度 我们运用数码相机成像的几何模型 并将次模型分解成内 外参 数矩阵 根据数码相机的特点 提出了一种新的标定方法 这种方法是先求解 有较高精度的内部参数矩阵 在此基础上再来求解外部参数矩阵 由此获得高 精度的内 外参数矩阵 5 5 模型的建立与求解模型的建立与求解 5 15 1 问题一问题一 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标 这 里坐标系原点取在该相机的光学中心 x y 平面平行于像平面 5 1 15 1 1 问题的分析问题的分析 本题要求我们通过建立合适的模型以确定靶标上的圆的圆心在相机平面的 像的像坐标 数码相机是将空间三维图像转换为平面二维图像的传感设备 我 们先建立空间三维物体坐标点与二维图像坐标点的对应关系 建立数码相机的 几何模型 通过此模型可以求出空间特征点的图像坐标值 相机的定标主要是 确定数码相机的内外参数 外部参数用来把目标的世界坐标系转换为数码相机 坐标系 内部参数用来确定数码相机的内部几何与光学系统 5 1 25 1 2 模型的建立和求解模型的建立和求解 数码相机图像拍摄实际上是一个光学成像过程 可以将此过程分为三个步 骤 隶属于四个坐标系 这四个坐标系分别为 1 世界坐标系 根据自然环境所选定的坐标系 坐标值用表示 www XYZ 2 图像坐标系 坐标原点在 CCD 图像平面的中心 X 轴 Y 轴分别为平行 于图像平面的俩条垂直边 坐标值用 x y 表示 3 像素坐标系 坐标系在 CCD 图像平面的左上角 X 轴 Y 轴分别平行于 图像坐标系的 X 轴和 Y 轴 坐标值用 u v 来表示 且为离散的整数值 4 光心坐标系 以相机的光心为坐标系点 X 轴 Y 轴分别为平行于图像 坐标系的 X 轴和 Y 轴 相机的光轴为 Z 轴 坐标值用表示 ccc X Y Z 3 个步骤是分别将世界坐标系中的信息转换到光心光标系 再有光心坐标 系转换到图像坐标系 最后有图像坐标系转换到像素坐标系 光学光学成像的理论模型为针孔模型 根据这个模型有光心坐标系向图像 坐标系的过程符合中心影射或透视投影 可用齐次坐标与矩阵表示 000 000 10010 1 c c c c X xf Y Zyf Z 其中 是光心坐标系中空间点 P 的坐标 是对应图像坐标系 ccc X Y Z x y 6 中 P 点的坐标 f 是相机的焦距 可用齐次坐标与矩阵到光心坐标系的转换关 系为 01 11 cw w T cw XX YcRtY ZZ 其中 R 为旋转矩阵 t 为位移向量 元素为 0 的列向量 由图像坐0T 标到像素坐标系的转换关系为 0 0 1 0 01 10011 udxux vdyvy 其中 是图像坐标系圆点在像素坐标系中的坐标 dx dy 分别是 0 0 u v 像素坐标系在 X 方向和 Y 方向相邻像素间的距离 将式代入的 0 0 00 0 0 01 10010 1 w w c T w X ufdxu RtY Zvfdyv Z 可将式简化成 1 11 ww ww c ww XX u YY ZvNMQ ZZ N 为式 4 右边地 1 项即相机的内部参数矩阵 M 为式 4 右边第 2 项即相机外 部参数 Q 为投影矩阵 5 25 2 问题二的分析问题二的分析 5 2 15 2 1 问题分析 问题分析 本题要求我们利用问题一建立的模型或方法来精确计算靶标上五个圆的圆 心在靶标图上的像的坐标 由相机的像距及相机的分辨率等信息估计出相机的 内部参数 然后基于圆的特征性质以及透视投影的光学原理在靶标和其像上采 集六对坐标点 代入模型计算出投影矩阵后便可计算靶标上圆的圆心的像点坐 标 7 5 2 25 2 2 问题求解问题求解 具体计算过程如下 首先建立相应坐标系 使靶标及其像图坐标化 如图 5 1 所示 对于靶标建立如下的三维坐标体系 靶标上所有点的世界坐标为 0 w Z mm w Y mm w X 0 图 5 1 世界三维坐标系 对于靶标在像平面的像图 建立如图二维坐标系 为了高精度提取像图上与靶标上点对应的点的坐标值 将图像网格化处理 13mm 100mm 12mm w Z 8 图 5 2 图像像素坐标图 我们在 A B C D 五个圆像上采集六对点的坐标值 其中在 A B C D 上采 一个点 E 上采集俩个点 六对点的坐标在附录中给出 然后将六对点代入模型求得参数如下 f 417 1958 dx 0 2646 dy 0 2646 0 01290050 002100500 9599005 0 00040050 012800502 2348005 0 00000 000000 0042005 eee Qeee e 1 5767e 00305120 0 1 5767e 0033840 0010 N 1 21730 19430 19830 0 03911 22120 12450 0000 0 00000 00000 00240 M 已知靶标上 A B C D E 圆的圆心坐标为 A 13 113 B 43 113 C 113 113 D 113 13 E 13 13 靶标上圆圆心在成像平面上对应的像素坐标为 326 0413 189 0375 A O 9 418 9795 192 0148 B O 635 8352 198 9619 586 5473 506 8640 276 7535 496 9396 C D E O O O 靶标上圆圆心在成像平面上对应的像坐标为 86 2453 50 0099 110 8411 50 7976 168 2104 52 6354 155 1712 134 0910 73 2152 0 2646 A B C D E O O O O O 5 35 3 模型的检验模型的检验 5 3 15 3 1 模型检验的方法说明模型检验的方法说明 由问题一中建立的数码相机像坐标标定的模型 我们通过数码相机的内部 和外部参数计算出了问题二中各圆的像坐标值 但我们并未知道问题二中所计 算得出的像坐标值的精确度到底有多高 以及数码相机的一阶畸变系数的大小 因此我们对问题一中提出的模型得到的像坐标值进行检验 通过对各种传统标 定方法 自标定方法和基于主动视觉的标定方法的学习 我们采用了一种灰度 质心法和像差模型相结合检验的数学检验方法 要使用灰度质心模型对前述问题的模型进行检验 首先 我们在 matlab 下 对题目所给图骗进行了灰度处理 灰度处理程序见附件三 其次 通过其他方 式确定图像中圆或者椭圆的内中心点附近的像素点坐标值 最后即可运用灰度 模型进行求解 5 3 25 3 2 灰度质心法灰度质心法 在高等数学中 我们都知道平面上 n 个离散的质点 它们的质量重心坐标 可以表示为 1 1 1 0 n ii i n i i m x x m 10 2 1 1 0 n ii i n i i m y y m 考虑到圆或者椭圆的中心对称性 其密度均匀的圆或者椭圆上的中心是重合的 其中将 1 2 式中的点质量用点的灰度值替换 质量重心变成了灰度重心 由此圆形或者椭圆形光斑的中心也可以通过求取光斑在像平面上上网灰度重心 来得到 原始图像结果在 matlab 中进行灰度处理后 把其明暗对比度加深 得到被 测特征点成像的特征区域成圆形或者椭圆形的光斑 设各圆形或者椭圆形光斑 所占像素数量为 于是灰度质心法计算各圆形或者椭圆形光斑中心的nNM 坐标可表示为 3 1 1 n iii i n ii i x p x y x p x y 4 1 1 n iii i n ii i y p x y y p x y 根据上面的模型 第一中方式我们采用的是 通过一种计算机软件对图像 的像素坐标进行多点的坐标取值 根据这些坐标值运用 matlab 软件编程 程序见 附件三 求出其图像中心点在像素坐标系的值 然后运用灰度质心法中 3 4 关系式 把各像素坐标值带入相应的程序中 求出畸变下的像素坐标值 求的 各图像的像素坐标值如下表所示 表 5 1 各圆和椭圆图像的像素坐标 ABCDE X325 1000418 8000641 3529584 0714282 7000 Y189 2632195 1500207502 8571502 8500 注 表中个坐标值的单位是像素 其对应的像坐标值有题目所购的换算关系的出 表 5 2 各图像的像坐标值 ABCDE Xc86 0053110 7937169 6701110 793774 7884 Yc50 069651 627054 7619133 0291133 0310 注 表中个坐标值的单位是毫米 从表中 我们经过与问题二中求解的值进行对比可以得出 问题一中所建 立的模型的求解的值精度较高 但在摄像机模型中全面考虑的话 我们还需要引入镜头产生的径向畸变和 且想畸变在摄像机摄像过程中对成像效果的影响 因此我们建立了一个关于畸 11 变参数求解的模型 像差数学模型 其数学表达式如下 5 2 22 13 32 4 xddddd XkkXYk X Y p 6 24 22 12 2 34 3 yddddd Y kkk X YkXY p 式中 22 dd XY xudyud XXYY 畸变坐标 xy 径向畸变系数1 2k k 切向畸变系数3 4kk 由上述数学关系式 我们通过在 matlab 下编程 程序见附件三 的到了各畸变 系数的值 下表所示 表 5 3 径向 切向畸变系数 k1k2k3k4 Inf Inf 2 5289e 006 1 4292e 006 有上述各表可以知道 通过该模型对像素坐标值和像坐标值以及畸变系数的 计算的到的结果值 和问题一建立模型计算得出的数值进行比较后 得出其精 度很高 像素坐标的各坐标值的误差值 B 在像素点这样一个小区间里 1 3 所以说明摄像机的摄像精度较高 而畸变系数的值较小 有此认为摄像机在不 同角度对物体进行摄像时 其图像的畸变较小 图像不会产生严重失真 通过模型的检验 我们认为问题一的模型适合运用在定点摄像的场所 比 如 公路电子监控 室内摄像的场所 5 45 4 一种改进的立体数码相机标定方法一种改进的立体数码相机标定方法 对于物体上的一个特征点 用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像 分别获得该点在两部相机像平面上的坐标 只要知道两部相机精确的相对位置 就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标 即确定了 特征点的位置 于是根据这一方法我们建立了双目模型并利用本质矩阵标定双 目摄像机 解决了两部固定相机的相对位置 5 4 15 4 1 双目模型的建立双目模型的建立 在双目摄像机系统中 每个摄像机都分别符合图 5 4 1 所描述的成像模型 而通过单个摄像机模型 可以分别知道左 右摄像机的图像点与 3 维世界坐 标的点的对应关系 即及 111fffwwww YXPzyxP 5 12 12 的对应关系已分别知道 而双目标定所需要 112fffwwww YXPzyxP 解决的问题是两个摄像机坐标系之间的对应关系 即Pc1 xc1 yc1 zc1 与 Pc2 xc2 yc2 z c2 之间的转换关系 而由于它们分别属于 3 维直角坐 标系 因此它们之间的转换包含有旋转以及平移的关系 形如 其中 旋转矩阵 R 以及平移向量 T 就是双目标定所要求的内容 图 5 3 双目摄像机模型 5 4 25 4 2 本质矩阵的基本原理本质矩阵的基本原理 1 符号说明 1 对左摄像机成像平面的 2 维坐标 对应于摄像机坐标系 111uuu YXP 的点 将其改写为其次向量的形式 111 uuc YXP 1 f 同理 对右摄像机 T uu fYfXu 1 1111 T uu fYfXu 2 2222 2 把 3 维的世界坐标亦记作齐次向量的形式 T www zyxx 1 3 世界坐标到成像平面的 2维坐标的变换都是线性的 因此可以把左右摄像 机的针孔成像过程写成以下的矩阵形式 其中 A1 A2xAuxAu22 11 都是 34 的矩阵 13 4 为下面讨论方便起见 把 Ai 看作是一个方阵与一个向量的组合 即 和 其中 Mi 是 3的方阵 Ti 是 3 1 的向量 3 5 向量 定义运算 定义表示两个矩阵只相差一个比例因子 即 为实数 不难看出 这样定义的符号 满足交换性和传 递性 2 本质矩阵及其性质 使用符号说明中的记号方法 把左右摄像机成像平面的坐标分别记为向量 形式 文献 9 指出 必然存 在一个 3 3 的方阵 Q 使得矩阵 Q 被称为本质矩阵 如何利用 Q 求解两台摄像机的相对位置呢 下面先考察本质矩阵的性质 定理 1 若左右摄像机的投影矩阵分别是 和 那么相应于这两台摄像机的本质矩阵为 由这个定理知道 本质矩阵 Q 可以分解为一个满秩的方阵 R 与一个反对称 矩阵 S 的乘积 即 以下的定理表明 这样的分解几乎是唯一的 最 多相差一个尺度因子 定理 2 若一个 33 的方阵 Q 能够有两种的分解方法 其中 Si 是非零反对称矩阵 Ri 是满秩的方阵 那么必 然有 并且 如果 那么 是某个 3 维的向量 tSi T atRR 12a 定理 3 若左右摄像机的相对位置固定 A1 A2 和 A1 A2 对应于相同的 本质矩阵 Q 当且仅当存在着一个满秩的 4 4 的方阵 H 使得 P1HP1 且 P2HP2 以上三条定理的详细证明可以参考文献 8 和 9 5 4 35 4 3 利用本质矩阵标定双目摄像机利用本质矩阵标定双目摄像机 上一节的定理反映了一个事实 两台摄像机的相对位置关系与本质矩阵几 14 乎是等价的 即给定了两台摄像机的相对位置关系 R 和 T 就给定了本质矩阵 Q 两台摄像机的旋转平移关系 R 和 T 也几乎确定了 最多像差一个比例常数 因子 几乎 的意思就是 R 和 T 的确定关系还需要标定一个比列因子 K 有参考文献 给出了一个方便的通过 Q 求解 R 和 T 的方法 即先把 Q 进行特征值分解的 根据上街定理 1 得到 T QUDV T RUGV T tVZV 其中 而 t 是把平移矩阵 T 的三个元素看成 向量 如此 我们确定了旋转矩阵和平移关系的基本形势 R T 而 R T 与 R T 相差一个比列因子 k 即 R kR T kT k 的标定可以借助世界坐标中已知距离 的两个点和 wwww Pxyz wwww pxyz 5 4 45 4 4 本质矩阵的求解本质矩阵的求解 本小节给出一种新的本质矩阵的求解方法 与已有的算法相比 新方法显 得更为容易理解和实现 本质矩阵 Q 的定义本身就是求解的依据 假设是左右眼匹 配点坐标构成的向量 记和 满足 展开 得 5 4 1 其中 q11 q12 q13 q33 为矩阵 Q 的九个元素 也是要求接的未知数 一般地 可以带入九个匹配点的坐标组成方程组来求解 但根据线性代数理论 这是一个齐次方程组 当系数矩阵的行列式为零时 有无穷多解 若找到一个 特解 Q0 那么通解的形式是 Q 下面我们只需要找到这样的一个特解 Q0 0 Q 令 q33 1 则 5 4 1 变为 5 4 2 则方程组不再是齐次的 而存在唯一的解 下面是用最小二乘法来求得方程组 的解 在左右眼找到 N 个匹配点和 i 1 k N 代入式 5 4 2 得到 15 一个过约束方程组 其中 A 是的系数矩阵 q q11 q12 q13 q33 是一个的解向量 过约束方程组 的解 如此 就求得了 Q 的一个特解 Q0 Q 这里 是一个特定的常数 0 Q 它的确定可以结合 5 4 3 的待定常数 k 一起进行 5 4 55 4 5 具体标定步骤具体标定步骤 1 利用传统的方法分别对左右两台摄像机的内部参数进行标定 控制点通 过精确打印的靶标图案提取 该图案沿着平行于光轴方向多次放置 精确记下 各次放置的位置 2 把已完成单目标定的两台摄像机安装到时间系统中 固定 3 分别在左右影像中确立匹配像素度 列出方程 并按照 5 4 3 和 5 4 4 接 触本质矩阵 Q 匹配点的位置没有严格要求 但力求均匀分布 同时 因为方程 的求解用了最小二乘法 所以匹配点的数量越多 方程的解越精确 为了精确 的在图像上提取匹配点 建议使用一种被广泛采用的类似于靶标的图案的摆放 位置 控制点的分布根据两台摄像机的基线长度而定 尽可能的遍布摄像机的 公共视角 4 根据 5 4 3 的原理求出两台摄像机的相对位置 R 和 T 待定比列因子 k 5 最后 标定比列因子 k 具体做法是先设定两个表定点 测出他们的距离 d0 其次 通过 R 和 T 求出其在摄像机坐标系下的距离 d 因为 R 和 T 是 k 的线 性函数 所以 d 也是 k 的线性函数 即 解一个一次的线性方程 dk f k k0 即可得到比例因子 k 6 模型的评价与改进 参考文献 参考文献 附件 附件 1 问题二的 MATLAB 算法程序 f 417 1958 焦距 dx 0 2646 水平方向上的点距 16 dy 0 2646 垂直方向上的点距 u0 512 v0 384 Zc 417 1958 A 322 146 1 462 190 1 677 209 1 574 536 1 287 462 1 242 502 1 像素坐标值 B 13 125 0 1 55 113 0 1 125 113 0 1 113 1 0 1 13 25 0 1 1 13 0 1 与像素坐标相 对应的世界坐标值 Q Zc A B 系数的确定 D1 Q 13 113 0 1 43 113 0 1 113 113 0 1 113 13 0 1 13 13 0 1 417 1958 像素坐 标的个像素坐标值 D Q 13 113 0 1 43 113 0 1 113 113 0 1 113 13 0 1 13 13 0 1 417 1958 3 78 像坐标中各坐标点的值 D1 326 0413 418 9795 635 8352 586 5473 276 7535 189 0375 192 0148 198 9619 506 8640 496 9396 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 D 86 2543 110 8411 168 2104 155 1712 73 2152 50 0099 50 7976 52 6354 134 0910 131 4655 0 2646 0 2646 0 2646 0 2646 0 2646 2 灰度质心法的 MATLAB 程序 灰度处理附件三 1 a imread 1 jpg a rgb2gray a imhist a 256 imshow a b imadjust a 0 255 150 255 figure imshow b figure imhist b 256 方式一附件三 2 A X 305 319 334 348 286 303 320 336 353 283 303 319 336 351 303 319 333 399 319 3 33 K length X Pxy 1 Sx sum X Pxy XA Sx K Pxy Y 158 159 159 159 175 166 167 190 190 190 190 192 206 207 209 209 223 223 224 17 Sy sum Y Pxy N length Y Ya Sy N Pxy XA 325 1000 YA 189 2632 B X 416 429 398 415 429 449 384 401 415 432 449 385 399 415 430 447 401 416 444 4 22 Y 159 159 173 176 176 175 190 189 192 190 189 207 207 207 207 209 223 221 223 2 31 K length X Pxy 1 Sx sum X Pxy XB Sx K Pxy Sy sum Y Pxy N length Y YB Sy N Pxy XB 418 8000 YB 195 1500 C X 638 653 624 639 655 672 608 622 639 655 670 607 622 638 653 622 639 653 642 Y 177 176 192 190 190 191 206 209 209 206 206 223 224 223 221 240 240 240 248 K length X Pxy 1 Sx sum X Pxy XC Sx K Pxy Sy sum Y Pxy N length Y YC Sy N Pxy XC 641 3529 YC 207 D X 573 605 607 560 576 591 608 560 574 591 608 557 576 591 Y 478 478 478 494 495 495 497 512 511 511 511 526 526 528 K length X Pxy 1 18 Sx sum X Pxy XD Sx K Pxy Sy sum Y Pxy N length Y YD Sy N Pxy XD 584 0714 YD 502 8571 E X 272 288 305 255 369 388 305 319 254 269 288 303 269 286 320 Y 478 480 477 495 495 497 494 495 511 509 509 511 528 526 497 K length X Pxy 1 Sx sum X Pxy XE Sx K Pxy Sy sum Y Pxy N length Y YE Sy N Pxy XE 282 7000 YE 502 8500 X1 325 1000 418 8000 641 3529 418 8000 282 7000 3 78 Y1 189 2632 195 1500 207 502 8500 502 8571 3 78 X1 86 0053 110 7937 169 6701 110 7937