中考数学复习VIP

1 实数和代数式实数和代数式 一 重点 难点提示 一 重点 难点提示 1 相反数 实数 a 的相反数是 a 零的相反数是零 1 a b 互为相反数a b 0 2 在数轴上表示相反数的两点关于原点对称 2 绝对值 a 3 算术根 1 正数 a 的正的 n 次方根叫 a 的 n 次算术根 零的算术根仍是 0 2 实数的三个非负性 a 0 a2 0 0 a 0 4 科学记数法 把一大于 10 的数记成 a 10n的形式 其中 1 an 6 乘法公式 a b a b a2 b2 a b 2 a2 2ab b2 7 零指数和负整数指数 规定 a0 1 a 0 a p a 0 且 p 为正整数 2 8 二次根式的主要性质 1 2 a a 0 2 a 注意 根式的化简相当于绝对值的化简 所以应养成化简时加绝对值的习惯 先完成 这种转化 不易出错 3 a 0 b 0 4 b 0 a 0 二 重点例题分析二 重点例题分析 例 1 解答下列各题 1 已知 a 8 b 2 a b b a 求 a b 的值 2 已知 a 0 b a 试用 将 a b a b 连结起来 解 1 a 8 a 8 b 2 b 2 又 a b b a b a 0 b a 因此 b 取 2 a 取 8 或 b 取 2 a 取 8 当 b 2 a 8 时 a b 8 2 6 当 b 2 a 8 时 a b 8 2 10 2 b a a0 A 在原点右边 b a 表示 B 到原点的距离大于 A 到原点的距离 再依相反数的概念找出 a b 所对应的 点 如图所示 显然有 b a a0 b a 的条件 那么 a 2 a 2 b 3 b 3 从小到大的顺序为 3 2 2 3 即 b a a0 a 0 原式 a a a a 说明 这道题隐含着条件 a 0 是解此题的关键 而 a0 时 方程有两个不相等的实数根 x1 x2 当 0 时 方程有两个相等的实数根 x1 x2 当 0 时 方程没有实数根 4 若一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两个实数根为 x1 x2 则 x1 x2 x1x2 注意两 根的和是的相反数 以 x1 x2为根的一元二次方程是 x2 x1 x2 x x1x2 0 5 不等式的解法 解一元一次不等式和解一元一次方程类似 不同的是 一元一次不等 式两边同乘以 或除以 同一个负数时 不等号的方向必须改变 6 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况见下表 不等式组 a2x 得 x 2 8 解不等式 x 得 x 1 所以不等式组的解集是 24x 2 得 x 1 解不等式 得 x 2 所以不等式组的解集是 2 x 1 所以不等式组的整数解是 2 1 0 例 3 已知方程 m 2 m 2 x 4 0 是关于 x 的一元二次方程 求 m 的值 并求 此方程的两根 分析 根据一元二次方程的定义 未知数 x 的最高次数是 2 而且二次项的系数不能为 0 所以 m2 2 2 且 m 2 0 于是可求 m 的值 进而求得方程的解 解 1 依题意 得 m2 2 2 且 m 2 0 m 2 且 m 2 m 2 2 把 m 2 代入原方程 整理得 x 5 2 1 x 5 1 x1 4 x2 6 9 例 4 已知 x 是实数 且 x2 3x 2 那么 x2 3x 的值为 A 1 B 3 或 1 C 3 D 1 或 3 误解 设 x2 3x y 则原方程可变为 y 2 即 y2 2y 3 0 y1 3 y2 1 x2 3x 3 或 1 故选 B 剖析 因为 x 为实数 所以要求 x2 3x 3 和 x2 3x 1 有实数解 当 x2 3x 3 时 即是 x2 3x 3 0 此时 32 4 1 30 方程有实数解 即 x 是实数 符合题设 故 x2 3x 1 正确答案 选 A 说明 此题由解分式方程衍变而来 大大增加了错误机会 解题时 若忽视 实数 这个题 设条件 将求得的值不加检验直接写出 则前功尽弃 例 5 解下列方程 1 1 2 x2 x 1 0 分析 1 宜用去分母法解 2 宜用换元法 可设 x2 x y 将原方程变为 y 1 0 先求出 y 再求出 x 解 1 原方程即为 1 去分母 得 x 2 4x 2 x 2 x 2 x 2 整理 得 x2 3x 2 0 x1 1 x2 2 经检验 x 1 是原方程的根 x 2 是增根 原方程的根是 x 1 10 2 设 x2 x y 则原方程可变为 y 1 0 y2 y 6 0 y1 3 y2 2 当 y 3 时 x2 x 3 x2 x 3 0 此方程无实数根 当 y 2 时 x2 x 2 x2 x 2 0 x1 2 x2 1 经检验 x1 2 x2 1 都是原方程的根 原方程的根是 x1 2 x2 1 例 6 若方程组的解 x 与 y 相等 则 a 的值等于 A 4 B 10 C 11 D 12 分析 先解方程组 再将求得的解代入方程 ax a 1 y 3 中 便可求得 a 的值 解 解方程组 得 把代入 ax a 1 y 3 得 a a 1 3 解之 得 a 11 故选 C 例 7 已知关于 x 的方程 k 2 x2 2 k 1 x k 1 0 且 k 3 1 求证 此方程总有实数根 2 当 方程有两实数根 且两实数根的平方和等于 4 时 k 的值等于多少 分析 本题没有指明关于 x 的方程的类型 要分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨 论 1 证明 当 k 2 方程为一元一次方程 2x 3 0 显然有实根 11 当 k 2 时 方程为一元二次方程 且 2 k 1 2 4 k 2 k 1 4 3 k k 3 3 k 0 即 0 此时一元二次方程有实数根 综合 知 原方程总有实数根 2 设方程的两实根为 x1 x2 则 x1 x2 x1x2 由题设 x12 x22 4 即 x1 x2 2 2x1x2 4 2 2 4 整理 得 k2 5k 4 0 k1 1 k2 4 k 3 k 1 例 8 商场出售的 A 型冰箱每台售价 2190 元 每日耗电量为 1 度 而 B 型节能冰箱每台售 价虽比 A 型冰箱高出 10 但每日耗电费却为 0 55 度 现将 A 型冰箱打折出售 打一折后的 售价为原价的 问商场至少打几折 消费者购买才合算 按使用期为 10 年 每年 365 天 每度电 0 40 元计算 说明 不等式应用题 是近年来应用题的发展新动向 去年有多处地区中考题目中有不等 式的应用题 它和方程应用题目一样 先认真审题 并能利用所设的未知数表示各种关系 不 同的就是关系不是相等 而要根据题目表述为相应的不等关系 本题的关键在于对 合算 一词的理解 以及如何将 合算 转化为数学 式子 实际上 所谓 合算是指两种冰箱十年后的总耗资小 对于本题目就是 A 型冰箱十年的总耗资小于 B 型冰箱 得到不等关系 解 设商场将 A 型冰箱打 x 折出售 则消费者购买 A 型冰箱需耗资 2190 365 10 1 0 4 元 购买 B 型冰箱需耗资 2190 1 10 365 10 0 55 0 4 元 12 依题意 得 2190 365 10 1 0 4 2190 1 10 365 10 0 55 0 4 解不等式 得 x 8 因此 商场应将 A 型冰箱至少打八折出售 消费者购买才合算 例 9 某园林的门票每张 10 元 一次使用 考虑到人们的不同需求 也为了吸引更多的游客 该园林除保留原来的售票方法外 还推出了一种 购买个人年票 的售票方法 个人年票从购买 日起 可供持票者使用一年 年票分 A B C 三类 A 类年票每张 120 元 持票者进入园 林时 无需再用门票 B 类年票每张 60 元 持票者进入该园林时 需再购买门票 每次 2 元 C 类年票每张 40 元 持票者进入该园林时 需要购买门票 每次 3 元 1 如果你只选择一种购买门票的方式 并且你计划在一年中用 80 元花在该园林的门票 上 试通过计算 找出可使进入该园林的次数最多的购票方式 2 求一年中进入该园林至少超过多少次时 购买 A 类年票比较合算 析解 本考题仍为 合算 问题 只是形式略有不同 涉及到列不等式组解实际应用问题 1 因为 8030 13 所以 一年中进入该园林至少超过 30 次时 购买 A 类年票比较合算 例 10 某工程由甲 乙两队合做 6 天完成 厂家需付甲 乙两队共 8700 元 乙 丙两队合 作 10 天完成 厂家需付乙 丙两队共 9500 元 甲 丙两队合做 5 天完成全部工程的 厂家 需付甲 丙两队共 5500 元 1 求甲 乙 丙各队单独完成全部工程各需多少天 2 若工 期要求不超过 15 天完成全部工程 问可由哪队单独完成此项工程花钱最少 请说明理由 分析 本例属工作量为 1 的工程问题 要注意下列三个关系式 1 工作效率 工作时间 1 2 工作效率 3 工作时间 这类问题的等量关系是 部分 工作量之和 1 解 1 设甲队单独做 x 天完成 乙队单独做 y 天完成 丙队单独做 z 天完成 则 解之 得 2 设甲队做一天应付给 a 元 乙队做一天应付 b 元 丙队做一天应付给 c 元 则有 解方程组 得 10a 8000 元 15b 9750 元 由甲队单独完成此工程花钱最少 答 1 甲队单独做 10 天完成 乙队单独做 15 天完成 丙队单独做 30 天完成 2 由 甲队单独完成此项工程花钱最少 三角形与相似形三角形与相似形 一 新课标对这部分知识的要求一 新课标对这部分知识的要求 1 命题与证明命题与证明 1 了解证明的含义 理解证明的必要性 通过具体的例子 了解定义 命题 定理的含义 会区分命题的条件 题设 和结论 14 结合具体例子 了解逆命题的概念 会识别两个互逆命题 并知道原命题成立其逆命题 不一定成立 通过具体的例子理解反例的作用 知道利用反例可以证明一个命题是错误的 通过实例 体会反证法的含义 掌握用综合法证明的格式 体会证明的过程要步步有 据 2 掌握以下基本事实 作为证明的依据 一条直线截两条平行直线所得的同位角相等 两条直线被第三条直线所截 若同位角相等 那么这两条直线平行 若两个三角形的两边及其夹角 或两角及其夹边 或三边 分别相等 则这两个三角形全 等 全等三角形的对应边 对应角分别相等 3 利用 2 中的基本事实证明下列命题 平行线的性质定理 内错角相等 同旁内角互补 和判定定理 内错角相等或同旁内角 互补 则两直线平行 三角形的内角和定理及推论 三角形的外角等于不相邻的两内角的和 三角形的外角大 于任何一个和它不相邻的内角 直角三角形全等的判定定理 角平分线性质定理及逆定理 三角形的三条角平分线交于一点 内心 垂直平分线性质定理及逆定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点 外心 三角形中位线定理 等腰三角形 等边三角形 直角三角形的性质和判定定理 平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形的性质和判定定理 2 三角形 三角形 了解三角形有关概念 内角 外角 中线 高 角平分线 会画出任意三角形的角平 分线 中线和高 了解三角形的稳定性 探索并掌握三角形中位线的性质 15 了解全等三角形的概念 探索并掌握两个三角形全等的条件 了解等腰三角形的有关概念 探索并掌握等腰三角形的性质 1 和一个三角形是等腰三 角形的条件 2 了解等边三角形的概念并探索其性质 了解直角三角形的概念 探索并掌握直角三角形的性质 3 和一个三角形是直角三角形 的条件 4 体验勾股定理的探索过程 会运用勾股定理解决简单问题 会用勾股定理的逆定理判定 直角三角形 注注 1 等腰三角形的两底角相等 底边上的高 中线及顶角平分线三线合一 2 有两个角相等的三角形是等腰三角形 3 直角三角形的两锐角互余 斜边上的中线等于斜边一半 4 有两个角互余的三角形是直角三角形 尺规作图尺规作图 完成以下基本作图 作一条线段等于已知线段 作一个角等于已知角 作角的平分线 作线段的垂直平分线 利用基本作图作三角形 已知三边作三角形 已知两边及其夹角作三角形 已知两角及 其夹边作三角形 已知底边及底边上的高作等腰三角形 探索如何过一点 两点和不在同一直线上的三点作圆 了解尺规作图的步骤 对于尺规作图题 会写已知 求作和作法 不要求证明 3 图形的相似图形的相似 了解比例的基本性质 了解线段的比 成比例线段 通过建筑 艺术上的实例了解黄金 分割 通过具体实例认识图形的相似 探索相似图形的性质 知道相似多边形的对应角相等 对应边成比例 面积的比等于对应边比的平方 了解两个三角形相似的概念 探索两个三角形相似的条件 了解图形的位似 能够利用位似将一个图形放大或缩小 16 通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似 利用图 形的相似解决一些实际问题 如利用相似测量旗杆的高度 通过实例认识锐角三角函数 sinA cosA tanA 知道 30 45 60 角的三角函数值 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值 由已知三角函数值求它对应的锐角 运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题 4 图形与坐标 图形与坐标 1 认识并能画出平面直角坐标系 在给定的直角坐标系中 会根据坐标描出点的位置 由点的位置写出它的坐标 2 能在方格纸上建立适当的直角坐标系 描述物体的位置 3 在同一直角坐标系中 感受图形变换后点的坐标的变化 4 灵活运用不同的方式确定物体的位置 二 例题 二 例题 例例 1 已知 如图 ABC 中 AB AC AD 为 BC 边上的中线 E 为 AD 上任意一点 点 M 在 AC 上 点 N 在 AB 上 且 BN CM 求证 EM EN 证明 AB AC AD 为 BC 边上的中线 AD 为 BAC 的平分线 DAB DAC 角平分线定义 BN CM AB AC AB NB AC MC 即 AN AM 在 ANE 和 AME 中 ANE AME SAS NE ME 全等三角形对应边相等 例例 2 求证 等腰三角形两腰上的高线相等 已知 如图 AB AC BE AC CF AB 求证 BE CF 证明 17 BE AC CF AB AEB AFC 90 垂直定义 在 AEB 和 AFC 中 AEB AFC AAS BE CF 例例 3 已知 在 Rt ABC 中 AD BC 交 BC 于点 D E 是 AC 的中点 ED 的延长线交 AB 的延长线于 F 求证 DF2 FB FA 分析 要证 DF2 FB FA 即要证 故可找相应的三角形相似即可 只需证 DFB AFD 而 F F 只需要证 1 2 即可 证明 CAB 90 AD BC 1 CAD C CAD 1 C 又 E 是 AC 的中点 ED AC CE 3 C 又 2 3 2 C 1 2 又 F F DFB AFD 即 DF2 FB FA 例例 4 如图 BAC 90 AD BC 于 D E 是 AC 的中点 ED 的延长线交 AB 的延长线于 点 F 求证 分析 欲证 从 左 右 看 可得 ABC 与 ADF 很明显 它们不相似 18 再从 上 下 看 下面得 ACF 上面两条线段 AB DF 不在同一个三角形中 因此 需要寻 找过渡比 由于条件中有直角三角形及斜边上的高这个基本图形 所以有 因此 可以尝试选用 的过渡比 证明 ADC 90 AE CE DE CE C 1 1 2 C 2 BAC 90 AD BC ABD CAD 3 C 2 3 F F FBD FDA 由 可得 例例 5 如图 5 4 6 已知 AD 是 ABC 的角平分线 EF 垂直平分 AD 交 BC 的延长线于 E 交 AD 于 F 求证 DE2 BE CE 图 5 4 6 分析 由于 DE2 BE CE 中的三条线段在同一条直线上 因此 要考虑比例式中哪一条线 段可用它的等量代换 由于 EF 垂直平分 AD 于是有 AE DE 故只要证 AE2 BE CE 即证 即可 由此可考虑证 AEB CEA 证明 连结 AE EF 垂直平分 AD AE DE DAE 4 3 DAE 2 1 2 3 4 1 B 4 1 B 3 19 BEA AEC BEA AEC AE2 BE CE 故 DE2 BE CE 例例 6 图 18 5 4 中 AOB 沿 x 轴向右平移 3 个单位之后 得到 A O B 三个顶点的坐标 有什么变化呢 解 AOB 的三个顶点的坐标是 A 2 4 O 0 0 B 4 0 平移之后的 A O B 对应的顶点是 A 5 4 O 3 0 B 7 0 沿 x 轴向右平移之后 三个顶点的纵坐标都没有改变 而横坐标都增加了 3 例 例 1 过点 C 画出直线 l 的垂线 1 如果点 C 不在直线上 应采取怎样的步骤 过点 C 画出直线 l 的垂线 2 如果点 C 在直线上 试过点 C 画出直线 l 的垂线 1 如果点 C 不在直线上 作法 1 任取一点 M 使点 M 和点 C 在的两侧 2 以 C 点为圆心 以 CM 长为半径画弧 交于 A B 两点 3 分别以 A B 两点为圆心 以大于 1 2AB 长为半径画弧 两弧相交于 D 点 4 过 C D 两点作直线 CD 所以 直线 CD 就是所求作的 2 如果点 C 在直线上 作法 1 以 C 点为圆心 任意长为半径画弧 交于 A B 两点 3 分别以 A B 两点为圆心 以大于 1 2AB 长为半径画弧 两弧相交于 E F 点 4 过 E F 两点作直线 EF 所以 直线 EF 就是所求作的 三角形和相似形三角形和相似形 一 重点 难点提示 一 重点 难点提示 1 三角形全等的证题思路 20 2 等腰三角形的性质与判定 判定 性质 等腰三角形 1 有两边相等 2 等角对等边 3 三线合一 的逆定理 1 有两腰相等 两底角相等 2 三线合一 定理 3 轴对称图形 有一条对称轴 等边三角形 1 三边都相等 2 三角都相等 3 一角为 60 的等腰三角形 1 三边相等 三角相等 2 内心和外心重合 3 轴对称图形 有三条对称轴 提示 三线合一 的应用是等腰三角形的重点 要多加练习 有时要做辅助线 底边上的 高 以便使用这个性质 3 Rt 知识注意问题 1 勾股定理常要用到 2 各边之间的关系 由 ABC ACD CBD 得 CD2 AD BD AC2 AD AB BC2 BD AB 3 直角三角形中线定理也是常用到而许多同学容易忘记的 如图 由 C 90 D 为 AB 中点 得 CD AD BD AB 21 4 相似三角形常用基本图形 这两种图形中比例线段的相互转化要迅速准确 二 例题分析 二 例题分析 例 1 如图 A 32 B 45 C 38 则 DFE A 120 B 115 C 110 D 105 说明 首先 在 BDC 中可求出 BDC 的度数 其次 由于 BDC 是 AFD 的一个外角 故可求出 AFD 的度数 最后利用 AFD 与 DFE 的互补性求得 DFE 的度数 选 B 例2 如图 已知 ABC 中 AB AC 10 BD 是 AC 边上的高线 DC 2 则 BD 等于 A 4 B 6 C 8 D 2 解 DC 2 AC 10 AD AC DC 8 BD 6 选 B 说明 三角形中的高线常与直角三角形的有关性质联系在一起 有时解题时即通过作高线 构造直角三角形 例 3 等腰三角形一腰上的高与腰长之比为 1 2 则等腰三角形顶角为 A 30 B 60 C 150 D 30 或 150 22 分析 如图所示 在等腰 ABC 中 CD 为腰 AB 上的高 CD AB 1 2 由于 AC AB CD AC 1 2 在 Rt ADC 中 DAC 30 则 有 BAC 30 与 150 说明 涉及到与三角形的高有关的问题时 要注意分类讨论 本例分 锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情形来考虑 例 4 ABC 中 AC 5 中线 AD 7 则 AB 边的取值范围是 A 1 AB 29 B 4 AB 24 C 5 AB 19 D 9 AB 19 分析 如图 延长中线 AD 至 E 使 DE AD 则 AE 14 在 AEC 中 9 CE 19 又可 证 DEC DAB 得 CE AB 所以 9 ABOE 1 求点 D 的坐标 2 如果点 F 是 AC 的中点 判断点 8 20 是否在过 D F 两点的 直线上 并说明理由 分析 画出符合题意的示意图 1 由根与系数的关系可知 OC OE 12 又因 CE 5 OC OE 在 Rt COE 中 结合勾股定理得 OC 4 OE 3 由矩形性质及翻折图形全等 可知 DA AB OC 4 过点 D 作 DM OA 于 M 易证 OCE MDE MAD 利用线段的比例关系 可得 DM OE 3 EM OE OM OE EM 3 第四象限内的点 D 为 2 由 OCE MAD 故 AM OC 4 所以 OA OM MA 8 则 A C 两点坐标分别为 8 0 0 4 利用三角形中位线性质可求出 F 点坐标为 4 2 又知点 D 坐标 于是可得直线 DF 的解析式为 y x 24 32 当 x 8 时 8 24 20 y 则点 8 20 在过 D F 两点的直线上 函数总复习 函数总复习 函数研究的是变量数学 它较之常量数学能更深刻地反映客观世界中量与形的关系 从而 使函数成为近代数学中很多分支的基础 函数与代数中的代数式 方程 不等式等基础知识有 密切的联系 用函数的观点能更透彻地理解和灵活地运用这些基础知识 函数的内容中蕴含着 丰富的数学思想因素 有利于培养辩证唯物主义观点 一 用函数概念与性质解题 一 用函数概念与性质解题 用函数概念与性质解题 例 1 已知一次函数 y 3a 2 x 1 b 求字母 a b 的取值范围 使得 1 y 随 x 的增大而增大 2 函数图象与 y 轴的交点在 x 轴的下方 3 函数的图象过第 1 2 4 象限 解 a b 的取值范围应分别满足 1 由一次函数 y kx b k 0 的性质可知 当 k 0 时 函数值 y 随 x 的增大而增大 即 3a 2 0 a 且 b 取任何实数 2 函数图象与 y 轴的交点为 0 1 b 交点在 x 轴的下方 即 a b 1 3 函数图象过第 1 2 4 象限 则必须满足 说明 下面是 y kx k 0 y kx b k 0 的图象的特点和性质的示意图 如图 1 当 k 0 时 y 随 x 的增大而增大 当 b 0 时 图象过一 二 三象限 当 b 0 时 是正比例函数 当 b 0 33 时 图象过一 三 四象限 当 y x 时 图象过一 三象限 且是它的角平分线 由 于常数 k b 不同 可得到不同的函数 k 决定直线与 x 轴交角的大小 b 决定直线与 y 轴交点的位置 由 k 定向 由 b 定点 同样 如图 2 是 k 0 的各种情况 请指出它 们的图象的特点和性质 本题反映了这些性质的应用 例2 在平面直角坐标系中 点 A 的坐标是 4 0 点 P 是第一象限内的直线 y 6 x 上 的点 O 是坐标原点 如图所示 1 P 点坐标设为 x y 写出 OPA 的面积 S 的关系式 2 S 与 y 具有怎样的函数关系 写出这函数中自变量 y 的取值范围 3 S 与 x 具有怎样的函数关系 写出自变量 x 的取值范围 4 如果把 x 看作 S 的函数时 求这个函数解析式 并写出这函数中自变量取值范围 5 当 S 10 时 求 P 的坐标 6 在直线 y 6 x 上 求一点 P 使 POA 是以 OA 为底的等腰三角形 分析 函数的概念中 有两个变量 要分清对应关系 哪一个字母是函数 哪一个是自变 量 比如 把 x 看作 S 的函数 时 对应关系为用 S 表示 x 其中 S 是自变量 x 是函数 解 1 过 P 点作 x 轴的垂线 交于 Q S OPA OA PQ 4 y 2y 2 S 与 y 成正比例函数 即 S 2y 自变量 y 的取值范围是 0 y 6 3 y 6 x S 2y 2 6 x 12 2x S 2x 12 成为一次函数关系 自变量 x 的取值范围是 0 x 6 4 把 x 看作 S 的函数 34 将 S 2x 12 变形为 x 即这个函数的解析式为 x 6 自变量 S 的取值范围是 0 S0 的图象 直线 PB 是一次函数 y 2x m m n 的图象 1 用 m n 表示出 A B P 点的坐标 2 若点 Q 是 PA 与 y 轴的交点 且四边形 PQOB 的面积是 AB 2 试求 P 点的坐标 并写出直线 PA 与 PB 的解析式 分析 由 1 易得 P 点坐标的表达式 要确定 P 点坐标 需求出 m n 的值 关键是将四 边形 PQOB 的面积 AB 的长用 m n 的代数式表示 得到关于 m n 的方程 四边形 PQOB 是 一般四边形 其面积可通过三角形面积的和差表示 这是解这类问题的基本策略 解 1 A n 0 B 0 P 2 连接 PO 则依题意 m 0 n 0 38 S POB OB yp S POQ OQ xp n S四边形 PQOB S POB S POQ AB 2 解得 m 2 n 1 故 P 点坐标为 直线 PA 的解析式是 y x 1 直线 PB 的解析式是 y 2x 2 说明 在求三角形的面积时 如果利用底与高的积的一半这个公式 尽可能使底边处在与 x 轴或 y 轴平行的位置上 如有底边在 x 轴或 y 轴上则更好 如若不能满足以上条件 则可设 法利用图形面积的和差去完成转化 例 4 已知 如图 直线 L 经过 A 4 0 和 B 0 4 两点 它与抛物线 y ax2在第一 象限内交于点 P 又知 AOP 的面积为 求 a 的值 分析 欲求 a 的值 需求出二次函数的图象与直线 L 的交点 P 的坐标 为此 先求直线 L 的解析式 由 AOP 的面积是 且 OA 4 故可求出 P 点的纵坐标 代入到直线的解析式中 则横坐标也可求出 由于点 P 在 y ax2的图象上 代入到 y ax2可求 a 值 解 设直线的解析式为 y kx b 则 解得 k 1 b 4 直线 L 的解析式是 y x 4 设 P 点的坐标为 m n S AOP OA 4 39 4 n n 点 P 在直线 L 上 m 4 得 m 故 P 点的坐标为 P 点在抛物线上 将 m n 代入到 y ax2 得 a 2 a 说明 如果题目中有三角形的面积 要注意结合图形观察顶点的横坐标与纵坐标 对于此 题来说 由于 AOP 的底边 OA 的长已知 因此 P 点的纵坐标即为 AOP 中 OA 边上的高 解题点拨 解题点拨 在直角坐标系中的几何图形 往往可以和函数图象结合起来 通过函数解析式 利用函数性质寻找解题的途径 它即可以解决一些数值计算问题 又能推理论证 把平面几何 图形的问题放在坐标系中 与函数知识相结合 需要用数形结合的方法来解 函数总复习 二 函数总复习 二 函数及其图象 一章的内容 是中考命题重点考查的内容之一 近几年来各省市的考题 中 考查本单元内容的分值 平均占到 18 左右 例 1 1 下列函数中 自变量 x 的取值范围为 x 2 的是 A y B y C y D y 2 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李 如果超过规定 则需要购买 行李票 行李费用 y 元 是行李重量 x 千克 的一次函数 其图象如图所示 则 y 与 x 之间的 函数关系式是 自变量 x 的取值范围是 析解 函数自变量的取值范围包括两方面的内容 第一要使函数解析式本身有意义 切忌 盲目化简 第二要符合实际问题的需要 对于第 1 小题 可直接从题中所提供的四个函数中 分别确定出自变量 x 的取值范围 A 为 x 2 B 为 x 2 C 为 2 x 2 D 为 40 其公共解集为 x 2 故应选 D 对于第 2 小题 观察可知一次函数的图象经过 60 6 80 10 两点 可设 y ax b 则有 解得 y x 6 令 y 0 则 x 30 根据图象知 自变量 x 的取值范围是 x 30 例 2 1 已知直角坐标系内 点 P 的纵坐标是横坐标的 3 倍 请写出过点 P 的一次函数 的解析式 至少三个 贵州贵阳 2 某函数具有下列两条性质 图象关于原点 O 成中心对称 当 x 0 时 函数值 y 随自变量 x 的增大而减小 请举一例 用解析式表示 江苏连云港 3 已知二次函数 y x2 bx c 的图象过点 A c 0 且关于直线 x 2 对称 则这个二次函数 的解析式可能是 只要求写出一个可能的解析式 湖北荆州 析解 三个小题都是确定函数的解析式 且有一个共同特点 所确定的解析式都是开放型 的 解答这类题 一定要抓住所求函数解析式具有的条件或性质来思考 1 设点 P 的坐标为 a 3a 过点 P 的一次函数的解析式为 y kx b k 0 取 a 1 把 P 1 3 代入 y kx b 得 k 3 b 令 b 1 则 k 2 y 2x 1 令 b 2 则 k 1 y x 2 令 b 4 则 k 1 y x 4 可见仅取 a 1 满足条件的一次函数的解析式就有无数个 2 根据所学的几个函数的图象特征 可知在一 三象限的反比例函数具有所述的性质 如 y y 等 3 依题意 得 解得 41 y x2 4x 3 或 y x2 4x 例 3 由于被墨水污染 一道数学题仅能见到如下文字 已知二次函数 y x2 bx c 的图象过点 1 0 求证 这个二次函数的图象关于直线 x 2 对称 根据现有信息 题中的二次函数图象不具有的性质是 A 过点 3 0 B 顶点是 2 2 C 在 x 轴上截得的线段长是 2 D 与 y 轴的交点是 0 3 江苏盐城 析解 本题的迷惑性在于部分题设条件被墨水污染 既已污染不能复原 说明并不影响问 题的解答 应果断弃之 另辟蹊径 其实 可将结论中 二次函数的图象关于 x 2 对称 也作为已知条件 所以 从而易求得二次函数的解析式 y x2 4x 3 由此 逐一验证选择题项 只有 B 不成立 例 4 聊城市委 市政府为进一步改善投资环境和居民的生活环境 并吸引更多的人来聊城 观光旅游 决定古运河城区段实施二期开发工程 现需要 A B 两种花砖共 50 万块 全部由某 砖瓦厂完成此项生产任务 该厂现有甲种原料 180 万千克 乙种原料 145 万千克 已知生产 1 万块 A 砖 用甲种原料 4 5 万千克 乙种原料 1 5 万千克 造价 1 2 万元 生产 1 万块 B 砖 用甲种原料 2 万千克 乙种原料 5 万千克 造价 1 8 万元 1 利用现有原料 该厂是否能按要求完成任务 若能 按 A B 两种花砖的生产块数 有哪 几种生产方案 请你设计出来 以万块为 1 个单位且取整数 2 试分析你设计的几种生产方案哪种的总造价最低 最低造价是多少 析解 如何利用现有原料 按规定要求完成生产任务 使造价控制在最底限度内 是生产 经营者追求的主要的经济效益指标 命题者出于考查学生的社会活动能力 有意设计这样的考 题 其目的是让学生进行科学决策 如本考题 首先让考生明确在现有原料数量的范围内安排 A B 两种花砖的生产块数 这 样安排就不允许超过甲 乙两种原料所需数量 故可设安排生产 A 砖 x 万块 则生产 B 砖为 50 x 万块 依题意 便得不等式组 解得 30 x 32 42 因为题中隐含着 x 为整数 所以 x 只能取 30 31 32 相应地 50 x 的值为 20 19 18 故相对应形成三种生产方案 这是第 1 问的解题思路 对于第 2 问需建立造价与砖块数的函数关系式 设总造价为 y 万元 依题意 得 y 1 2x 1 8 50 x 0 6x 90 此一次函数 y 随 x 的增大而减小 要使总造价最低 x 只能取 32 所以最低造价为 0 6 32 90 70 8 万元 例 5 某公司生产的 A 种产品 它的成本是 2 元 售价是 3 元 年销售量为 100 万件 为了 获得更好的效益 公司准备拿出一定的资金做广告 根据经验 每年投人的广告费是 x 十万元 时 产品的年销售量将是原销售量的 y 倍 且 y 是 x 的二次函数 它们的关系如下表 x 十万元 0 1 2 y 1 1 5 1 8 1 求 y 与 x 的函数关系式 2 如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费 试写出年利润 S 十万元 与广告费 x 十万元 的函数关系式 3 如果投入的年广告费为 10 30 万元 问广告费在什么范围内 公司获得的年利润随 广告费的增大而增大 析解 近年来 取材于利润问题的应用题比较普遍 解答此类应用题 重在构建函数模型 解 1 设二次函数的解析式为 y ax2 bx c 由关系表 得 解得 因此 所求函数的解析式是 y x2 x 1 2 根据题意 得 S 10y 3 2 x x2 5x 10 注意 单位统一成十万元 43 3 S x2 5x 10 x 2 因为图象开口向下 对称轴为 x 又由于 1 x 3 所以当 1 x 2 5 时 S 随 x 的增大而增大 故当广告费在 10 25 万元之间 公司获得的年利润随广告费的增大而增大 例 6 已知二次函数 y 4x2 mx m2 m 当 m 取任一实数值时 它的图象都是一条抛 物线 1 甲同学说 当 m 取任何不同的实数值时 所对应的这些抛物线都是完全相同的形状 乙同学说 m 取不同的实数值时 所对应的抛物线的形状也不相同 你认为谁的说法正确 为 什么 2 若 m 1 m 2 时 所对应的抛物线的顶点分别为 A B 请你求出直线 AB 的解析式 并说明 无论 m 取任何实数值所对应的抛物线的顶点总在直线 AB 上 3 当 y 值恒大于零时 试求 m 的取值范围 析解 第 1 问是一道评述题 可以把所给的二次函数解析式化为 y 4x2 mx m2 m 4 x 2 m 因为抛物线的形状 只与二次项的系数有关 所以当 m 取任何不同的实数值时 对应的这 些抛物线都与抛物线 y 4x2有完全相同的形状 因此 可断定甲同学的说法是正确的 对于第 2 问 将 m 1 m 2 代入顶点坐标 得到两个顶点 A B 易求得直线 AB 的解析式为 y x 抛物线的顶点为 将顶点坐标直接代入即可 验证 第 3 问 利用抛物线的图象分布规律 知其抛物线的开口向上 故要使 y 的值恒大于零 抛物线与 x 轴必无交点 这说明必须有 0 也就是 m2 4 4 m2 m m0 当 m 0 时 y 的值恒大于零 解直角三角形解直角三角形 44 一 知识点精讲 一 知识点精讲 1 同角三角函数的关系 sin2 cos2 1 tan cot 1 tan cot 2 解直角三角形 1 直角三角形角的关系 A B 90 2 直角三角形边的关系 a2 b2 c2 3 直角三角形的边角关系 sinA cosB sinB cosA tanA cotB tanB cotA 3 应用问题 1 仰角 俯角的概念 如图 1 所示 在测量时 视线与水平线所成的角中 视线在水平线上方的叫仰角 在水平 线下方的叫俯角 2 坡度 坡比 坡角的概念 如图 2 所示 我们通常把坡面的铅直高度 h 和水平宽度 L 的比叫做坡度 或叫坡比 用 字母 i 表示 即 i tan 这里 是坡面与水平面的夹角 这个角叫坡角 45 二 例题分析 二 例题分析 例 1 已知 sin cos 且 0 45 则 cos sin 的值为 A B C D 解 0 sin cos sin 0 cos sin 故 选 A 说明 三角函数的计算除了要熟记特殊三角函数值外 还应熟练运用 sin2 cos2 1 tan cot 1 互余角的三角函数关系 锐角范围内三角函数值随角度的增减规律等 例 2 若锐角 A 满足 tan A cot A 2 则 tan2A cot2A 解 tanA cotA 2 tanA 2 tan2A 2tanA 1 0 tanA 1 A 是锐角 tanA 1 cotA 1 tan2A cot2A 1 2 1 2 6 说明 利用同角关系 tan cot 1 转化已知条件 可以求出 tan 或 cot 问题容易解决 方法二 将等式 tanA cotA 2 两边平方 得到 tan2A cot2A 2 4 所以 tan2A cot2A 6 若能通过变形得到所求内容 方法相对简单 例 3 已知 ABC 的两边长 a 3 c 5 且第三边长 b 为关于 x 的一元二次方程 x2 4x m 0 的 两个正整数根之一 求 sinA 的值 分析 这个题目是三角和方程的综合题目 利用方程的根为正整数 可以求出 b 46 解 设 x1 x2是关于 x 的方程 x2 4x m 0 的两个正整数根 x1 x2 4 x1 1 x2 3 或 x1 x2 2 或 x1 3 x2 1 b 只能取 1 2 3 2 br 圆心距为 d 若关于 x 的方程 x2 2rx R d 2 0 有相 等的两实数根 则两圆的位置关系是 A 一定内切 B 一定外切 C 相交 D 内切或外切 析解 1 2 小题从正反两方面考查了直线与圆的位置关系 3 小题着重考查了 圆与圆的位置关系 对于第 1 小题 有两种情形 其一 以 C 为圆心 R 为半径的圆与斜边 AB 相切 易求 出 R 2 4 其二 以点 C 为圆心 R 为半径的圆与斜边 AB 相交于一点 那么半径 R 应满足 AC R BC 即 3r R r d 或 R r d 51 说明两圆的位置关系是外切或内切 故应选 D 例 3 计算 1 已知圆的面积为 81 cm2 其圆周上一段弧长为 3 cm 那么这段弧所对 圆心角的度数是 2 如图 AB CD 是 O 的直径 O 的半径为 R AB CD 以 B 为圆心 以 BC 为 半径作 则与围成的新月形的面积为 平方单位 A 1 R2 B R2 C 1 R2 D R2 析解 1 先由圆的面积 可求出其半径 R 9cm 又知圆周上一段弧长 l 3 cm 由扇形的 弧长公式 l 得 n 60 所以圆心角为 60 2 把不规则图形分割成几个规则的图形 是求阴影部分面积的常规思路 但其分割方法 一般不惟一 S阴影 ACED S O S弓形 CED S弓形 CED S扇形 BCED S BCD S扇形 BCED R2 S BCD 2R R R2 S阴影 ACED R2 R2 R2 R2 故应选 B 例4 已知 O 的半径 OA 1 弦 AB AC 的长分别是 求 BAC 的度数 解 如图所示 作 OD AB OE AC 则 AD AE OA 1 在 Rt ODA 中 cos OAD 52 OAD 45 在 Rt OAE 中 cos OAE OAE 30 当 AC AB 位于 OA 两侧时 有 BAC OAB OAE 75 当 AC AB 位于 OA 同侧时 有 BAC OAB OAE 15 说明 有关弦长 弦心距的问题 往往需要作垂直于弦的直径 半径或弦心距 利用垂 径定理平分弦以及半径 弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的 例5 已知 如图所示 ABC 内接于 O BAC 的平分线交 O 于点 D 交 O 的切线 BF 于点 F B 为切点 求证 1 BD 平分 CBF 2 AB BF AF CD 证明 1 AD 平分 BAC 1 2 BF 切 O 于点 B 3 1 又 2 4 3 4 即 BD 平分 CBF 2 在 DBF 和 BAF 中 3 1 F F DBF BAF 即 AB BF AF BD 1 2 BD CD AB BF AF CD 说明 证明三角形相似 常常通过圆内 外的角进行转化 例 6 如图 AD 是 ABC 外角 EAC 的平分线 AD 与三角形的外接圆交于点 D AC BD 相交于点 P 求证 1 DBC 为等腰三角形 2 AB BD BP PC 证明 1 AD 是 EAC 的平分线 EAD DAC EAD 是圆内接四边形 ABCD 的外角 53 EAD DCB 又 DAC DBC DCB DBC DBC 是等腰三角形 2 在 ABP 和 DCP 中 BAP CDP APB DPC ABP DCP AB DC PB PC 又 BD DC AB BD PB PC 说明 当遇到四边形内接于圆时 应考虑圆的内接四边形的性质定理 它是证明角相等或 互补的常用依据之一 例 7 如图 AB 为 O 的直径 C 为 O 上一点 AD 和过 C 点的切线相交于点 D 和 O 相交于点 E 若 AC 平分 DAB 1 求证 ADC 90 2 若 AB 2r AD r 求 DE 的长 1 证明 连结 OC CD 是 O 的切线 OC CD OA OC 1 2 2 3 1 3 AD OC AD CD 即 ADC 90 2 解 连结 BC 则 ACB 90 由 1 得 Rt ABC Rt ACD AC2 AB AD 2r r r2 又 CD2 AC2 AD2 r2 且 CD2 DE AD DE r 54 说明 证明一条直线是圆的切线 通常选择 1 到圆 心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 2 经过半径的 外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 而涉及切线问题 时 应灵活运用切线的性质 通常连结切点和圆心 例 8 如图 O1与 O2相交于 A B 两点 过点 A 作 O2的切线 CF 交 O1于 C 直线 CB 交 O2于 D 直线 DA 交 O1于 E 连 CE 求证 1 CAE 是等腰三角形 2 DA DE CD2 CE2 证明 1 连结 AB CA 是 O2的切线 FAD ABD 又 ABD E E FAD EAC CAE 是等腰三角形 2 CA2 CB CD DA DE BD DC CA2 DA DE CB CD BD DC CD2 又 CA CE DA DE CD2 CE2 说明 两圆相交时 公共弦是重要的辅助线 一条公共弦 使弦切角与圆周角之间 圆内 接四边形的外角与内角之间的关系得以沟通 常见的辅助线还有 两圆相切 作公切线 例9 已知 如图 在直角坐标系中 以 y 轴上的点 C 为圆心 1 为半径的圆与 x 轴相切于 原点 O 点 P 在 x 轴的负半轴上 PA 切 O 于点 A AB 为 C 的直径 PC 交 OA 于点 D 1 求证 PC OA 2 若点 P 的坐标为 2 0 求直线 AB 的解析式 3 若点 P 在 x 轴的负半轴上运动 原题的其他条件不变 设点 P 的坐标为 x 0 四边形 POCA 的面积为 S 求 S 与点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式 4 在 3 的情况下 分析并判断是否存在这样的一点 P 使 S四边形 POCA S AOB 若存 在 直接写出点 P 的坐标 不写过程 若不存在 简要说明理由 55 析解 这是一道坐标几何题 融合了函数 四边形 圆等有关知识 其综合性极强 1 易从 PO PA 与 C 相切 推出 PA PO APC OPC PC OA 2 可设直线 AB 的解析式为 y kx b 作 BE x 轴于 E 由 OC 1 OP 2 可得 PC CDO COP 则 CD 又 OB OA PC OA OB PC 又 AC CB OB 2CD 由 BOE CPO 得 即 BE OE B 点坐标为 又 C 0 1 解得 k b 1 y x 1 3 易求出