初中数学二次函数存在性问题总复习试题及解答

初中数学二次函数存在性问题总复习试题初中数学二次函数存在性问题总复习试题 及解答及解答 1 10 广东深圳 如图 抛物线 y ax2 c a 0 经过梯形 ABCD 的四个顶点 梯形的 底 AD 在 x 轴上 其中 A 2 0 B 1 3 1 求抛物线的解析式 2 点 M 为 y 轴上任意一点 当点 M 到 A B 两点的距离之和为最小时 求此时点 M 的坐标 3 在第 2 问的结论下 抛物线上的点 P 使 S PAD 4S ABM成立 求点 P 的坐标 答案 1 因为点 A B 均在抛物线上 故点 A B 的坐标适合抛物线方程 40 3 ac ac 解之得 1 4 a c 故 2 4yx 为所求 2 如图 如图 2 连接 BD 交 y 轴于点 M 则点 M 就是所求作的点 设 BD 的解析式为ykxb 则有 20 3 kb kb 1 2 k b 故 BD 的解析式为2yx 令0 x 则2y 故 0 2 M 3 如图 3 连接 AM BC 交 y 轴于点 N 由 2 知 OM OA OD 2 90AMB 易知易知 BN MN 1 易求2 2 2AMBM 1 2 222 2 ABM S A 设 2 4 P x x 依题意有 2 1 44 2 2 AD x A 即 2 1 444 2 2 x A 解之得 2 2x 0 x 故 符合条件的 P 点有三个 123 2 2 4 2 2 4 0 4 PPP x y M CB D A O 图图 2 x y CB D A O x y N M O P2 P1 B DA P3 C 图图 3 2 10 北京 在平面直角坐标系 xOy 中 抛物线 y x2 x m2 3m 2 4 1 m 4 5m 与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A 点 B 2 n 在这条抛物线上 1 求点 B 的坐标 2 点 P 在线段 OA 上 从 O 点出发向点运动 过 P 点作 x 轴的 垂线 与直线 OB 交于点 E 延长 PE 到点 D 使得 ED PE 以 PD 为斜边在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD 当 P 点运动 时 C 点 D 点也随之运动 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时 求 OP 的长 若 P 点从 O 点出发向 A 点作匀速运动 速度为每秒 1 个单位 同时线段 OA 上 另一 点 Q 从 A 点出发向 O 点作匀速运动 速度为每秒 2 个单位 当 Q 点到达 O 点时 停止 运动 P 点也同时停止运动 过 Q 点作 x 轴的垂线 与直线 AB 交于点 F 延长 QF 到点 M 使得 FM QF 以 QM 为斜边 在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN 当 Q 点运动时 M 点 N 点也随之运动 若 P 点运动到 t 秒时 两个等腰直角三角 形分 别有一条直角边恰好落在同一条直线上 求此刻 t 的值 答案 解 1 拋物线 y x2 x m2 3m 2 经过原点 m2 3m 2 0 解得 4 1 m 4 5m m1 1 m2 2 由题意知 m 1 m 2 拋物线的解析式为 y x2 x 点 B 2 n 在拋 4 1 2 5 物线 y x2 x 上 n 4 B 点的坐标为 2 4 4 1 2 5 2 设直线 OB 的解析式为 y k1x 求得直线 OB 的解析式为 y 2x A 点是拋物线与 x 轴的一个交点 可求得 A 点的 坐标为 10 0 设 P 点的坐标为 a 0 则 E 点的坐标为 a 2a 根据题意作等腰直角三角形 PCD 如图 1 可求 得点 C 的坐标为 3a 2a 由 C 点在拋物线上 得 2a 3a 2 3a 即a2 a 0 解得 a1 a2 0 4 1 2 5 4 9 2 11 9 22 舍去 OP 9 22 依题意作等腰直角三角形 QMN 设直线 AB 的解析式为 y k2x b 由点 A 10 0 点 B 2 4 求得直线 AB 的解析式为 y x 5 当 P 点运动到 t 秒时 两个 2 1 等腰 直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上 有以下三种情况 第一种情况 CD 与 NQ 在同一条直线上 如图 2 所示 可证 DPQ 为等腰直 角三 角形 此时 OP DP AQ 的长可依次表示为 t 4t 2t 个单位 PQ DP 4t t 4t 2t 10 t 7 10 x y O1 1 O A B C D E P y x 图 1 第二种情况 PC 与 MN 在同一条直线上 如图 3 所示 可证 PQM 为等腰直 角三 角形 此时 OP AQ 的长可依次表示为 t 2t 个单位 OQ 10 2t F 点在 直线 AB 上 FQ t MQ 2t PQ MQ CQ 2t t 2t 2t 10 t 2 第三种情况 点 P Q 重合时 PD QM 在同一条直线上 如图 4 所示 此时 OP AQ 的长可依次表示为 t 2t 个单位 t 2t 10 t 综上 符 3 10 合题意的 t 值分别为 2 7 10 3 10 3 10 贵州遵义 如图 已知抛物线 0 2 acbxaxy的顶点坐 标为 Q 1 2 且与y轴交于点 C 3 0 与x轴交于 A B 两 点 点 A 在点 B 的右侧 点 P 是该抛物线上一动点 从点 C 沿抛物线向点 A 运动 点 P 与 A 不重合 过点 P 作 PD y轴 交 AC 于点 D 1 求该抛物线的函数关系式 2 当 ADP 是直角三角形时 求点 P 的坐标 3 在问题 2 的结论下 若点 E 在x轴上 点 F 在抛物线上 问是否存在以 A P E F 为顶点的平行四边形 若存在 求点 F 的坐标 若不存在 请说明理由 答案 解 1 抛物线的顶点为 Q 2 1 设 12 2 xay 将 C 0 3 代入上式 得 1203 2 a 1 a 12 2 xy 即34 2 xxy 2 分两种情况 当点 P1为直角顶点时 点 P1与点 B 重合 如图 令y 0 得034 2 xx 解之得1 1 x 3 2 x E x O A B C y P M Q N F D 图 2 x y O A M C B E D PQ F N 图 3 图 4 y x B OQ P N C D M E F 点 A 在点 B 的右边 B 1 0 A 3 0 P1 1 0 解 当点 A 为 APD2的直角顶点是 如图 OA OC AOC 90 OAD2 45 当 D2AP2 90时 OAP2 45 AO 平分 D2AP2 又 P2D2 y轴 P2D2 AO P2 D2关于x轴对称 设直线 AC 的函数关系式为bkxy 将 A 3 0 C 0 3 代入上式得 b bk 3 30 3 1 b k 3 xy D2在3 xy上 P2在34 2 xxy上 设 D2 x 3 x P2 x 34 2 xx 3 x 34 2 xx 0 065 2 xx 2 1 x 3 2 x 舍 当x 2 时 34 2 xxy 32422 1 P2的坐标为 P2 2 1 即为抛物线顶点 P 点坐标为 P1 1 0 P2 2 1 3 解 由题 2 知 当点 P 的坐标为 P1 1 0 时 不能构成平行四边形 当点 P 的坐标为 P2 2 1 即顶点 Q 时 平移直线 AP 如图 交x轴于点 E 交抛物线于点 F 当 AP FE 时 四边形 PAFE 是平行四边形 P 2 1 可令 F x 1 134 2 xx 解之得 22 1 x 22 2 x F 点有两点 即 F1 22 1 F2 22 1 4 10 湖北黄冈 已知抛物线顶点为 C 1 1 且过原点 O 过抛 2 0 yaxbxc a 物线上一点 P x y 向直线作垂线 垂足为 M 连 FM 如图 5 4 y 1 求字母 a b c 的值 2 在直线 x 1 上有一点 求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标 并 3 1 4 F 证明此时 PFM 为正三角形 3 对抛物线上任意一点 P 是否总存在一点 N 1 t 使 PM PN 恒成立 若存在请求 出 t 值 若不存在请说明理由 答案 1 a 1 b 2 c 0 2 过 P 作直线 x 1 的垂线 可求 P 的纵坐标为 横坐标为 此时 1 4 1 13 2 MP MF PF 1 故 MPF 为正三角形 3 不存在 因为当 t x 1 时 PM 与 PN 不可能相等 同理 当 t x 1 时 5 4 5 4 PM 与 PN 不可能相等 5 10 辽宁丹东 如图 平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH 点H的坐标为 8 0 点N的坐标为 6 4 1 画出直角梯形OMNH绕点O旋转 180 的图形OABC 并写出顶点A B C的坐标 点M的对应点为A 点N的对应点为B 点H的对应点为C 2 求出过A B C三点的抛物线的表达式 3 截取CE OF AG m 且E F G分别在线段CO OA AB上 求四边形BEFG的面积 S与m之间的函数关系式 并写出自变量m的取值范围 面积S是否存在最小值 若存在 请求出这个最小值 若不存在 请说明理由 4 在 3 的情况下 四边形BEFG是否存在邻边相等的情况 若存在 请直接写出 x y O M N 6 4 H 8 0 此时m的值 并指出相等的邻边 若不存在 说明理由 答案 1 利用中心对称性质 画出梯形OABC A B C三点与M N H分别关于点O中心对称 A 0 4 B 6 4 C 8 0 写错一个点的坐标扣 1 分 O M N H A CE F D B 8 6 4 x y 2 设过A B C三点的抛物线关系式为 2 yaxbxc 抛物线过点A 0 4 则抛物线关系式为 4c 2 4yaxbx 将B 6 4 C 8 0 两点坐标代入关系式 得 36644 64840 ab ab 解得 1 4 3 2 a b 所求抛物线关系式为 2 13 4 42 yxx 3 OA 4 OC 8 AF 4 m OE 8 m AGFEOFBECEFGBABCO SSSSS 四边形梯形 OA AB OC AF AGOE OFCE OA 2 1 1 2 1 2 1 2 mmmmm4 2 1 8 2 1 4 2 1 864 2 1 0 4 288 2 mmm 当时 S的取最小值 2 4 12Sm 4m 又 0 m 4 不存在m值 使S的取得最小值 4 当时 GB GF 当时 BE BG 22 6m 2m 6 已知 函数 y ax2 x 1 的图象与 x 轴只有一个公共点 1 求这个函数关系式 2 如图所示 设二次函数 y ax2 x 1 图象的顶点为 B 与 y 轴的交点为 A P 为图象 上的一点 若以线段 PB 为直径的圆与直线 AB 相切于点 B 求 P 点的坐标 3 在 2 中 若圆与 x 轴另一交点关于直线 PB 的对称点为 M 试探索点 M 是否在抛 物线 y ax2 x 1 上 若在抛物线上 求出 M 点的坐标 若不在 请说明理由 答案 解 1 当a 0时 y x 1 图象 与x轴只有一个公共点 当a 0时 1 4a 0 a 此时 图象 与x轴只有一个公共点 1 4 A x y O B 函数的解析式为 y x 1 或 y x2 x 1 1 4 2 设P为二次函数图象上的一点 过点 P作PC x 轴于点C 是二次函数 由 1 知该函数关系式为 y ax2 x 1 y x2 x 1 则顶点为 B 2 0 图象与 y 轴的交点 1 4 坐标为 A 0 1 以 PB 为直径的圆与直线 AB 相切于点 B PB AB 则 PBC BAO Rt PCB Rt BOA 故 PC 2BC 设 P 点的坐标为 x y ABO 是锐角 PBA 是直 AO BC OB PC 角 PBO 是钝角 x 2 BC 2 x PC 4 2x 即 y 4 2x P 点的坐标为 x 4 2x 点 P 在二次函数 y x2 x 1 的图象上 4 2x x2 x 1 解之得 x1 2 x2 10 1 4 1 4 x 2 x 10 P 点的坐标为 10 16 3 点 M 不在抛物线上 y ax2 x 1 由 2 知 C 为圆与 x 轴的另一交点 连接 CM CM 与直线 PB 的交点为 Q 过点 M 作 x 轴的垂线 垂足为 D 取 CD 的中点 E 连接 QE 则 CM PB 且 CQ MQ QE MD QE MD QE CE 1 2 CM PB QE CE PC x 轴 QCE EQB CPB tan QCE tan EQB tan CPB 1 2 CE 2QE 2 2BE 4BE 又 CB 8 故 BE QE 8 5 16 5 Q 点的坐标为 18 5 16 5 可求得 M 点的坐标为 14 5 32 5 1 4 f 14 5 2 f 14 5 1 144 25 32 5 C 点关于直线 PB 的对称点 M 不在抛物线上 y ax2 x 1 7 10 重庆潼南 如图 已知抛物线与 y 轴相交于 C 与 x 轴相交于cbxxy 2 2 1 A B 点 A 的坐标为 2 0 点 C 的坐标为 0 1 1 求抛物线的解析式 2 点 E 是线段 AC 上一动点 过点 E 作 DE x 轴于点 D 连结 DC 当 DCE 的面 积最大时 求点 D 的坐标 3 在直线 BC 上是否存在一点 P 使 ACP 为等腰三角形 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 说明理由 A B C E D x y o 题图26 答案 解 1 二次函数的图像经过点 A 2 0 C 0 1 cbxxy 2 2 1 1 022 c cb 解得 b c 1 2 1 二次函数的解析式为 1 2 1 2 1 2 xxy 2 设点 D 的坐标为 m 0 0 m 2 OD m AD 2 m 由 ADE AOC 得 OC DE AO AD 12 2DEm DE 2 2m CDE 的面积 m 2 1 2 2m 24 2 mm 4 1 1 4 1 2 m 当 m 1 时 CDE 的面积最大 点 D 的坐标为 1 0 3 存在 由 1 知 二次函数的解析式为1 2 1 2 1 2 xxy 设 y 0 则 解得 x1 2 x2 11 2 1 2 1 0 2 xx 点 B 的坐标为 1 0 C 0 1 设直线 BC 的解析式为 y kx b 解得 k 1 b 1 1 0 b bk 直线 BC 的解析式为 y x 1 在 Rt AOC 中 AOC 900 OA 2 OC 1 由勾股定理得 AC 5 点 B 1 0 点 C 0 1 OB OC BCO 450 当以点 C 为顶点且 PC AC 时 5 设 P k k 1 过点 P 作 PH y 轴于 H HCP BCO 450 CH PH k 在 Rt PCH 中 k2 k2 解得k1 k2 2 5 2 10 2 10 P1 P2 2 10 1 2 10 2 10 1 2 10 以 A 为顶点 即 AC AP 5 设 P k k 1 过点 P 作 PG x 轴于 G AG 2 k GP k 1 在 Rt APG 中 AG2 PG2 AP2 2 k 2 k 1 2 5 解得 k1 1 k2 0 舍 P3 1 2 以 P 为顶点 PC AP 设 P k k 1 过点 P 作 PQ y 轴于点 Q PL x 轴于点 L L k 0 QPC 为等腰直角三角形 PQ CQ k 由勾股定理知 CP PA k2 AL k 2 PL k 1 在 Rt PLA 中 k 2 k 2 2 k 1 22 解得 k P4 2 5 2 5 2 7 综上所述 存在四个点 P1 2 10 1 2 10 P2 P3 1 2 P4 2 10 1 2 10 2 5 2 7 8 10 山东临沂 如图 二次函数 y x2 ax b 的图像与 x 轴交于 A 0 2 1 y AB C O x B 2 0 两点 且与 y 轴交于点 C 1 求该拋物线的解析式 并判断 ABC 的形状 2 在 x 轴上方的拋物线上有一点 D 且以 A C D B 四 点为顶点的四边形是等腰梯形 请直接写出 D 点的坐标 3 在此拋物线上是否存在点 P 使得以 A C B P 四点 为顶点的四边形是直角梯形 若存在 求出 P 点的坐标 若不存在 说 明理由 答案 解 1 根据题意 将 A 0 B 2 0 代入 y x2 ax b 中 得 2 1 解这个 024 0 2 1 4 1 ba ba 方程 得 a b 1 该拋物线的解析式为 y x2 x 1 当 x 0 2 3 2 3 时 y 1 点 C 的坐标为 0 1 在 AOC 中 AC 22 OCOA 22 1 2 1 2 5 在 BOC 中 BC 22 OCOB 22 12 5 AB OA OB 2 AC 2 BC 2 5 AB 2 ABC 2 1 2 5 4 5 4 25 是直角三角形 2 点 D 的坐标为 1 2 3 3 存在 由 1 知 AC BC 若以 BC 为底边 则 BC AP 如图 1 所示 可求得直线 BC 的解析式为 y x 1 直线 AP 可以看作是由直线 2 1 BC 平移得到的 所以设直线 AP 的解析式为 y x b 2 1 把点 A 0 代入直线 AP 的解析式 求得 b 2 1 4 1 直线 AP 的解析式为 y x 点 P 既在拋物线上 又在 2 1 4 1 直线 AP 上 点 P 的纵坐标相等 即 x2 x 1 x 解得 x1 2 3 2 1 4 1 2 5 x2 舍去 当 x 时 y 点 P 2 1 2 5 2 3 2 5 2 3 若以 AC 为底边 则 BP AC 如图 2 所示 可求得直线 AC 的解析式为 y 2x 1 直线 BP 可以看作是由直线 AC 平移得到的 所以设直线 BP 的解析式为 y 2x b 把点 B 2 0 代 入直线 BP 的解析式 求得 b 4 y AB C O x P y AB C O P x 直线 BP 的解析式为 y 2x 4 点 P 既在拋物线 上 又在直线 BP 上 点 P 的纵坐标相等 即 x2 x 1 2x 4 解得 x1 x2 2 舍去 2 3 2 5 当 x 时 y 9 点 P 的坐标为 9 2 5 2 5 综上所述 满足题目条件的点 P 为 或 9 2 5 2 3 2 5 9 10 山东潍坊 如图所示 抛物线与轴交于点两点 与轴交于x 103 0AB y 点以为直径作过抛物线上一点作的切线切点为并 03 C ABM PM PD D 与的切线相交于点连结并延长交于点连结M AEE DMM N ANAD 1 求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标 2 若四边形的面积为求直线的函数关系式 EAMD4 3 PD 3 抛物线上是否存在点 使得四边形的面积等于的面积 若存在 PEAMDDAN 求出点的坐标 若不存在 说明理由 P 答案 解 1 因为抛物线与轴交于点两点 设抛物线的函数关系x 103 0AB 式为 13ya xx 抛物线与轴交于点y 03C 30 1 03a 1 a 所以 抛物线的函数关系式为 2 23yxx 又 2 14yx 因此 抛物线的顶点坐标为 14 2 连结 是的两条切线 EM EAED M EAEDEAAMEDMN EAMEDM 又四边形的面积为 EAMD4 3 2 3 EAM S 1 2 3 2 AM AE 又 2AM 2 3 AE 因此 点的坐标为或E 1 12 3E 2 12 3 E 当点在第二象限时 切点在第一象限 ED 在直角三角形中 EAM 2 3 tan3 2 EA EMA AM 60EMA 60DMB 过切点作垂足为点DDFAB F 13MFDF 因此 切点的坐标为D 23 设直线的函数关系式为将的坐标代入得PDykxb 12 323ED 解之 得 32 2 3 kb kb 3 3 5 3 3 k b 所以 直线的函数关系式为PD 35 3 33 yx 当点在第三象限时 切点在第四象限 ED 同理可求 切点的坐标为直线的函数关系式为D 23 PD 35 3 33 yx 因此 直线的函数关系式为PD 或 35 3 33 yx 35 3 33 yx 3 若四边形的面积等于的面积EAMDDAN 又22 EAMDANAMDEAMD SSSS 四边形 AMDEAM SS 两点到轴的距离相等 ED x 与相切 点与点在轴同侧 PDM DEx 切线与轴平行 PDx 此时切线的函数关系式为或PD2y 2 y 当时 由得 2y 2 23yxx 16x 当时 由得 2y 2 23yxx 12x 故满足条件的点的位置有 4 个 分别是P 123 16 216 2122PPP 4 122 P 说明说明 本参考答案给出了一种解题方法 其它正确方法应参考标准给出相应分数 10 10 山东省淄博 已知直角坐标系中有一点 A 4 3 点 B 在 x 轴上 AOB 是等 腰三角形 1 求满足条件的所有点 B 的坐标 2 求过 O A B 三点且开口向下的抛物线的函数表达式 只需求出满足条件的一条 即可 3 在 2 中求出的抛物线上存在点 P 使得以 O A B P 四点为顶点的四边形是 梯形 求满足条件的所有点 P 的坐标及相应梯形的面积 答案 解 作 AC x 轴 由已知得 OC 4 AC 3 OA 5 22 ACOC 1 当 OA OB 5 时 如果点 B 在 x 轴的负半轴上 如图 1 点 B 的坐标为 5 0 如果点 B 在 x 轴的正半轴上 如图 2 点 B 的坐标为 5 0 x y BC A O x y B C A O 2 1 当 OA AB 时 点 B 在 x 轴的负半轴上 如图 3 BC OC 则 OB 8 点 B 的坐标为 8 0 当 AB OB 时 点 B 在 x 轴的负半轴上 如图 4 在 x 轴上取点 D 使 AD OA 可知 OD 8 由 AOB OAB ODA 可知 AOB ODA 则 解得 OB OD OA OA OB 点 B 的坐标为 0 8 25 8 25 y BC A xO 3 4 y A BD xO 2 当 AB OA 时 抛物线过 O 0 0 A 4 3 B 8 0 三点 设抛物线的函 数表达式为 可得方程组 解得 a bxaxy 2 3416 0864 ba ba 16 3 2 3 b xxy 2 3 16 3 2 当 OA OB 时 同理得 xxy 4 15 4 3 2 3 当 OA AB 时 若 BP OA 如图 5 作 PE x 轴 则 AOC PBE ACO PEB 90 AOC PBE 设 4 3 OC AC BE PE BE 4m PE 3m 则点 P 的坐标为 4m 8 3m 代入 解得xxy 2 3 16 3 2 m 3 则点 P 的坐标为 4 9 S梯形 ABPO S ABO S BPO 48 若 OP AB 图略 根据抛物线的对称性可得点 P 的坐标为 12 9 S梯形 AOPB S ABO S BPO 48 5 O y B C A x P E 6 x y B A OC P F 当 OA OB 时 若 BP OA 如图 6 作 PF x 轴 则 AOC PBF ACO PFB 90 AOC PBF 设 4 3 OC AC BF PF BF 4m PF 3m 则点 P 的坐标为 4m 5 3m 代入 解得 m xxy 4 15 4 3 2 2 3 则点 P 的坐标为 1 2 9 S梯形 ABPO S ABO S BPO 4 75 若 OP AB 图略 作 PF x 轴 则 ABC POF ACB PFO 90 ABC POF 设点 P 的坐标为 n 3n 代入 解得3 BC AC OF PF xxy 4 15 4 3 2 n 9 则点 P 的坐标为 9 27 S梯形 AOPB S ABO S BPO 75 11 10 广西河池 如图 11 在直角梯形OABC中 CB OA 90OAB 点O为坐标原点 点 A在x轴的正半轴上 对角线OB AC相交于点M 4OAAB 2OACB 1 线段OB的长为 点C的坐标为 2 求 OCM的面积 3 求过O A C三点的抛物线的解析式 4 若点E在 3 的抛物线的对称轴上 点F为该 抛物线上的点 且以A O F E四点为顶点的四边形 为平行四边形 求点F的坐标 y x M C B OA 图 11 答案 解 1 42 2 4 2 在直角梯形 OABC 中 OA AB 4 90OAB CB OA OAM BCM 又 OA 2BC AM 2CM CM 3 1 AC 所以 1118 4 4 3323 OCMOAC SS 注 另有其它解法同样可得结果 正确得本小题满分 3 设抛物线的解析式为 2 0yaxbxc a 由抛物线的图象经过点 0 0O 4 0A