2010高考数学 七大热点考点题型探析（分类专题 由基础巩固到综合拔高 附有试题 题题详解）

1 20102010 高考数学七大热点考点题型探析 分类专题高考数学七大热点考点题型探析 分类专题 由基础巩固到综由基础巩固到综 合拔高合拔高 附有试题附有试题 题题详解 题题详解 一一 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 基础巩固训练基础巩固训练 1 在ABC 中 若sin2sin2AB 则ABC 一定是 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰或直角三角形 解析 D sin2sin22cos sin 0 ABABAB 2 ABAB 或 2 在ABC 中 0 60 A 且最大边长和最小边长是方程0117 2 xx的两个根 则 第三边的长为 A 2 B 3 C 4 D 5 解析 C 0 60 A 且最大边长和最小边长是方程0117 2 xx的两个根 则第三 边为 7 11 a bcbc 2222 sin22cos2cos 3 AabcbcAbcbc 22 373 114bcbc 3 在Rt ABC 中 C 2 则BAsinsin的最大值是 解析 在Rt ABC 中 C 2 sinsinsinsin 2 ABAA sincosAA 1 sin2 2 A 0 2 A 02 A 4 A 时 BAsinsin取得最大值 1 2 4 若ABC 中 10 103 Bcos 2 1 Atan 则角 C 的大小是 解析 13 10101 tan cos sin tan 210103 ABOBBB tantan3 tantan tan 1 tantan14 AB CABABOCC AB 5 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 的对边 2 3ab cosC 1 3 则其外接 圆的半径为 解析 222 1 2cos492 2 39 3 cababC 3c 2 12 2 cos 0180 sin 33 CCC 39 2 2sin84 2 3 c R C 6 在 ABC 中 已知210 AB A 45 BC 3 3 20 求角 C 解 由正弦定理得 BCBC AAB C 10sin sin 又 BC 3 3 20 时 故 sinC 2 3 ABBCAB 45sin C 有两解 60C或 120 综合拔高训练综合拔高训练 7 在 ABC 中 已知2a bc 2 sinsinsinABC 试判断 ABC 的形状 解 由正弦定理2 sinsinsin abc R ABC 得 sin 2 a A R sin 2 b B R sin 2 c C R 所以由 2 sinsinsinABC 可得 2 222 abc RRR 即 2 abc 又已知2a bc 所以 22 4 abc 所以 2 4 bcbc 即 2 0bc 因而bc 故由2a bc 得 22abbb ab 所以abc ABC 为等边三角形 8 在锐角三角形中 边 a b 是方程 x2 2x 2 0 的两根 角 A B 满足 3 2sin A B 0 求 ABC 的面积 3 解 由 2sin A B 0 得 sin A B ABC 为锐角三角形 3 3 2 A B 120 C 60 又 a b 是方程 x2 2x 2 0 的两根 a b 2 33 a b 2 c2 a2 b2 2a bcosC a b 2 3ab 12 6 6 c 1 sin 2 ABC SabC A 2 6 1 2 3 2 3 2 9 在 ABC 中 若 BACBAcoscossinsinsin 1 判断 ABC 的形状 2 在上述 ABC 中 若角 C 的对边1 c 求该三角形内切圆半径的取值范围 解 1 由 BACBAcoscossinsinsin 可得1 2 sin2 2 C 0cos C 即 C 90 ABC 是以 C 为直角顶点得直角三角形 3 2 内切圆半径 cbar 2 1 1sinsin 2 1 BA 2 12 2 1 4 sin 2 2 A 内切圆半径的取值范围是 2 12 0 10 汕头金山中学 09 届高三 11 月考 在ABC 中 内角ABC 对边的边长分别是 abc 已知2c 3 C 若ABC 的面积等于3 求ab 若sinsin 2sin2CBAA 求ABC 的面积 解 由余弦定理及已知条件得 22 4abab 又因为ABC 的面积等于3 所以 1 sin3 2 abC 得4ab 联立方程组 22 4 4 abab ab 解得2a 2b 由题意得sin sin 4sincosBABAAA 即sincos2sincosBAAA 当cos0A 时 2 A 6 B 4 3 3 a 2 3 3 b 当cos0A 时 得sin2sinBA 由正弦定理得2ba 联立方程组 22 4 2 abab ba 解得 2 3 3 a 4 3 3 b 所以ABC 的面积 12 3 sin 23 SabC 二二 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 考点 1 一元二次不等式的解法 题型 1 解一元二次不等式 例 1 不等式 2 xx 的解集是 A 0 B 0 1 C 1 D 01 解题思路 严格按解题步骤进行 4 解析 由 2 xx 得 1 0 x x 所以解集为 01 故选 D 别解 抓住选择题的 特点 显然当2x 时满足不等式 故选 D 名师指引 解一元二次不等式的关键在于求出相应的一元二次方程的根 题型 2 已知一元二次不等式的解集求系数 例 2 已知关于x的不等式 2 20axxc 的解集为 1 1 3 2 求 2 20cxxa 的解集 解题思路 由韦达定理求系数 解析 由 2 20axxc 的解集为 1 1 3 2 知0a 1 1 3 2 为方程 2 20axxc 的两 个根 由韦达定理得 11211 3232 c aa 解得12 2ac 2 20cxxa 即 2 22120 xx 其解集为 2 3 名师指引 已知一元二次不等式的解集求系数的基本思路是 由不等式的解集求出根 再 由 韦达定理求系数 新题导练 1 不等式 a 2 x 2 2 a 2 4 0 对一切x R R 恒成立 则 a 的取值范围是 A 2 B 2 2 C 2 2 D 2 解析 可推知 2 a 2 另 a 2 时 原式化为 4 0 恒成立 2 a 2 选 B 2 关于x的不等式 m x 1 x 2 0 若此不等式的解集为 x x 2 则m的 取值范围是 A m 0 B 0 m 2 C m D m 0 解析 由不等式的解集形式知 m 0 答案 D 考点 2 含参数不等式的解法 题型 1 解含参数有理不等式 例 1 解关于x的一元二次不等式 2 3 30 xa xa 解题思路 比较根的大小确定解集 5 解析 2 3 30 xa xa 30 xxa 当3 3axax 时或 不等式解集为 3x xax 或 当3a 时 不等式为 2 30 x 解集为 3x xRx 且 当3 3axxa 时或 不等式解集为 3x xxa 或 名师指引 解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论 根据二次项系数 大于 0 小 于 0 等于 0 根据根的判别式讨论 0 0 0 根据根的大小讨论 121212 xx xx xx 题型 2 解简单的指数不等式和对数不等式 例 2 解不等式 loga 1 x 1 1 0 1 aa 解题思路 借助于单调性进行分类讨论 解析 1 当a 1 时 原不等式等价于不等式组 a x x 1 1 0 1 1 由此得 1 a x 1 因为 1 a 0 所以x 0 a 1 1 x 0 2 当 0 a 1 时 原不等式等价于不等式组 a x x 1 1 0 1 1 由 得x 1 或x 0 由 得 0 x a 1 1 1 x a 1 1 综上 当a 1 时 不等式的解集是 x a 1 1 x 0 当 0 a 1 时 不等式的解集 为 x 1 x a 1 1 名师指引 解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性转化为一 般的不等式 组 来求解 当底数含参数时要进行分类讨论 新题导练 3 关于x的不等式 22 6320 xmxm 的解集为 A 97 m m B 79 mm C 97 mm D 以上答案都不对 解析 原不等式可化为 0 97 mm xx 需对m分三种情况讨论 即不等式的解集与m有关 4 解关于x的不等式 04 1 2 2 xaax 6 解析 0 2 2 xax a a a 1 22 2 当 a a 2 21 2 2 x a x 当 a a 2 210 a xx 2 2 当0 a 0 2 2 xax 2 2x xx a 或 xaxa1 20 5 考点 3 分式不等式及高次不等式的解法 例 5 解不等式 22 1 68 0 xxx 解题思路 先分解因式 再标根求解 解析 原不等式 1 1 2 4 0 xxxx 各因式根依次为 1 1 2 4 在数轴上标 根如下 所以不等式的解集为 1 1 2 4 名师指引 求解高次不等式或分式不等式一般用根轴法 要注意不等式的解集与不等式 对应的方程的根的关系 新题导练 5 若关于x的不等式0 3 1 xa xx 的解集是 3 1 2 则a的值为 解析 原不等式 3 1 0 xa xx 结合题意画出图可知2a 6 解关于 0 1 1 1 2 ax ax xa x的不等式 解 若 2 51 2 511 2 15 0 则原不等式的解集为 a a 若 2 51 2 15 则原不等式的解集为a 若 2 51 1 2 51 2 15 则原不等式的解集为 a a 7 广东省深圳中学 2008 2009 学年度高三第一学段考试 解不等式 2 2 1 242 xx x 解析 2 2 1 2 242 xx 4 2 1 1x 7 2 1 422 222 xx 即 2 1 23 22 x 得 6 5 x所以原不等式的解集为 6 5 xx 考点 4 简单的恒成立问题 题型 1 由二次函数的性质求参数的取值范围 例 1 若关于x的不等式 2 220axx 在R上恒成立 求实数a的取值范围 解题思路 结合二次函数的图象求解 解析 当0a 时 不等式220 x 解集不为R 故0a 不满足题意 当0a 时 要使原不等式解集为R 只需 2 0 24 20 a a 解得 1 2 a 综上 所求实数a的取值范围为 1 2 名师指引 不等式 2 0axbxc 对一切xR 恒成立 0 0 0 a b c 或 2 0 40 a bac 不等式 2 0axbxc 对任意xR 恒成立 0 0 0 a b c 或 2 0 40 a bac 题型 2 转化为二次函数的最值求参数的取值范围 解题思路 先分离系数 再由二次函数最值确定取值范围 解析 1 设 2 0 f xaxbxc a 由 0 1f 得1c 故 2 1f xaxbx 1 2f xf xx 22 1 1 1 1 2a xb xaxbxx 即22axabx 所以22 0aab 解得1 1ab 2 1f xxx 2 由 1 知 2 12xxxm 在 1 1 恒成立 即 2 31mxx 在 1 1 恒成立 令 22 35 31 24 g xxxx 则 g x在 1 1 上单调递减 所以 g x在 1 1 上的最大值为 1 1g 所以m的取值范围是 1 名师指引 mf x 对一切xR 恒成立 则 min mf x mf x 对一切xR 恒 成立 则 max mf x 新题导练 8 不等式 22 214xaxax 对一切 xR R 恒成立 则实数a的取值范围是 解析 不等式 22 214xaxax 对一切 xR R 恒成立 即 014 2 2 axxa 对一切 xR R 恒成立 若2 a 0 显然不成立 若2 a 0 则 0 02a 2 a 9 若不等式x2 ax 1 0 对于一切x 0 1 2 成立 则a的取值范围是 8 A 0 B 2 C 5 2 D 3 解析 设f x x2 ax 1 则对称轴为x a 2 若 a 2 1 2 即 a 1 时 则f x 在 0 1 2 上是减函数 应有f 1 2 0 5 2 x 1 若 a 2 0 即a 0时 则f x 在 0 1 2 上是增函数 应有f 0 1 0恒成立 故 a 0 若 0 a 2 1 2 即 1 a 0 则应有 f a 2 222 aaa 110 424 恒成立 故 1 a 0 综上 有 5 2 a 故选 C 基础巩固训练基础巩固训练 1 1 不等式 2 560 xx 的解集是 解析 将不等式转化成 2 560 xx 即 160 xx 2 若不等式 2 0 xaxb 的解集为 23 xx 则不等式 2 10bxax 的解集为 解析 先由方程 2 0 xaxb 的两根为 2 和 3 求得 a b后再解不等式 2 10bxax 得 11 23 3 广东省五校 2008 年高三上期末联考 若关于x的不等式 2 1 g xaaxR 的解 集为空集 则实数a的取值范围是 解析 2 1 g xaaxR 的解集为空集 就是 1 g x max 2 1aa 所以 1 0 a 4 08 梅州 设命题 P 函数 16 1 lg 2 axaxxf 的定义域为 R 命题 q 不等式 axx 121对一切正实数均成立 如果命题 p 或 q 为真命题 命题 p 且 q 为假命题 求实数a的取值范围 解 命题 P 为真命题 函数 lg axaxxf 16 1 2 定义域为 R 0 16 1 2 axax对任意实数x均成立 00 xa时解集为 R 或 9 2 0 4 1 1 0 2 a a a 命题 P 为真命题 2 a 5 解关于 x 的不等式01 2 1 x xk k 0 k 1 原不等式即0 2 2 1 x kxk 1 若 k 0 原不等式的解集为空集 2 若 1 k 0 即 0 k0 若 0 k 1 由原不等式的解集为 x 2 x k k 1 2 3 若 1 k1 时 原不等式等价于 0 2 1 2 x k k x 此时恒有 2 k k 1 2 所以原不等式的解集为 x x2 综合拔高训练综合拔高训练 6 已知 且 解关于x的不等式 4 log 1 log 2 1 42 xx aa 解 原不等式等价于 4 log 1 log21 4 log 2 1 1 log 2 1 2222 xxxx aaaa 4 log 2 1 log 2 2 2 xx aa 原不等式同解于 3 4 1 2 2 04 1 01 2xx x x aa a a 7 分 由 得 由 得2 2 1 023 2 2 xxx aaa 从而 1 分 当 1 时 原不等式解为 当 时 原不等式解为 6 广东省深圳外国语学校 2008 届第三次质检 据调查 某地区 100 万从事传统农业的农 民 人均收入 3000 元 为了增加农民的收入 当地政府积极引进资本 建立各种加工企 业 对当地的农产品进行深加工 同时吸收当地部分农民进入加工企业工作 据估计 10 如果有x x 0 万人进企业工作 那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高 2x 而进入企业工作的农民的人均收入为 3000a元 a 0 I 在建立加工企业后 要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前 的农民的年总收入 试求x的取值范围 II 在 I 的条件下 当地政府应该如何引导农民 即x多大时 能使这 100 万农 民的人均年收入达到最大 解 I 由题意得 100 x 3000 1 2x 100 3000 即x2 50 x 0 解得 0 x 50 又 x 0 0 x 50 II 设这 100 万农民的人均年收入为 y 元 则 y 100 x 3000 1 2x 3000ax 100 60 x2 3000 a 1 x 300000 100 x 25 a 1 2 3000 475 a 1 2 0 x 50 3 5 i 当 0 25 a 1 50 即 0 a 1 当 x 25 a 1 时 y 最大 ii 当 25 a 1 50 即a 1 函数 y 在 0 50 单调递增 当 x 50 时 y 取最大值 答 在 0 a 1 时 安排 25 a 1 万人进入企业工作 在a 1 时安排 50 万人进入企业工 作 才能使这 100 万人的人均年收入最大 7 已知二次函数 2 Rcbacbxaxxf 满足 对任意实数 x 都有xxf 且当 x 1 3 时 有 2 2 8 1 xxf成立 1 证明 2 2 f 2 若 0 2 xff 的表达式 3 设x m xfxg 2 0 x 若 xg图上的点都位于直线 4 1 y的上方 求 实数 m 的取值范围 解析 1 由条件知 224 2 cbaf恒成立 又 取 x 2 时 2 22 8 1 24 2 2 cbaf与恒成立 2 2 f 2 024 224 cba cba 124 bca acb41 2 1 又 xxf 恒成立 即0 1 2 cxbax恒成立 0 41 4 1 2 1 0 2 aaa 11 解出 2 1 2 1 8 1 cba 2 1 2 1 8 1 2 xxxf 3 由分析条件知道 只要 xf图象 在 y 轴右侧 总在直线 4 1 2 x m y上方即 可 也就是直线的斜率 2 m 小于直线与抛物线相切时的斜率位置 于是 4 1 2 2 1 2 1 8 1 2 x m y xxy 2 2 1 m 解法 2 0 4 1 2 1 22 1 8 1 2 xx m xxg在必须恒成立 即 0 02 1 4 2 xxmx在恒成立 0 即 4 1 m 2 8 0 解得 2 2 1 2 2 1 m 02 0 0 1 2 0 f m 解出 2 2 1 m 总之 2 2 1 m 三三 导数的概念及运算导数的概念及运算 基础巩固训练基础巩固训练 1 1 广东省六校 2009 届高三第二次联考试卷 fx 是 3 1 21 3 f xxx 的导函数 则 1 f 的值是 解析 2 2fxx 故 1 f 3 2 2 广东省 2008 届六校第二次联考 cosyxx 在 3 x 处的导数值是 解析 cossinyxxx 故填 13 26 3 已知直线x 2y 4 0 与抛物线y2 4x相交于A B两点 O是坐标原点 P 是抛物线的弧 12 上求一点P 当 PAB面积最大时 P 点坐标为 解析 AB 为定值 PAB面积最大 只要P到AB的距离最大 只要点P是抛物线的 平行于AB的切线的切点 设P x y 由图可知 点P在x轴下方的图象上 y 2x y x 1 kAB 2 1 2 11 x x 4 代入y2 4x y0 解得x 15 当 0 x 15 时 y 15 时 y 0 当x 15 时 y有最小值 答 当x为 15 千米时运费最省 7 广东省2008届六校第二次联考 设某物体一天中的温度T是时间t的函数 已知 32 0 T tatbtctd a 其中温度的单位是 时间的单位是小时 中午12 00相 应的t 0 中午12 00以后相应的t取正数 中午12 00以前相应的t取负数 如早上8 00相 应的t 4 下午16 00相应的t 4 若测得该物体在早上8 00的温度为8 中午12 00的 解 1 因为 2 32Tatbtc 2分 而 44TT 故488488abcabc 3分 1060 04641648 3158 60488488 aTd bTabcd cTabcd dabcabc 6 分 3 360 1212 T tttt 7 分 2 2 33Tt 由 011T ttt 9 分 当t在 2 2 上变化时 T tT t 的变化情况如下表 x 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 T t 0 0 tT 58 增函数 极大值 62 减函数 极小值 58 增函数 62 12 分 由上表知当62 21取到最大值时或tTtt 说明在上午 11 00 与下午 14 00 该 物体温度最高 最高温度是 62 31 8 今有一块边长a的正三角形的厚纸 从这块厚纸的三个角 按右图那样切下三个全等的 四边形后 做成一个无盖的盒子 要使这个盒子容积最大 x值应为多少 解 折成盒子后底面正三角形的边长为2 0 2 a axx 高为 3 tan30 3 hxx 设 容积为 V 则 2 13 2 sin60 23 Vshaxx 2 32 4 a xaxx 2 2 32 4 a Vxax 令0V 得 2 aa xx b 舍去 当0 6 a x 时 0V 当 a x b 时 0V a x b 时 33333 4 216362421654 aaaaa V 最大 答 x为 a b 时 盒子的容积最大为 3 54 a 七七 不等关系与不等式不等关系与不等式 考点 1 不等关系及不等式 题型 1 建立不等关系 例 1 某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种 按照生产的要求 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍 怎样写出满足上述所有不等关系的不等式 呢 解题思路 设出变量 将文字语言转化为数学符号 解析 假设截得 500mm 的钢管 x 根 截得 600mm 的钢管 y 根 根据题意 应有如下的不等关系 1 解得两种钢管的总长度不能超过 4000mm 2 截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍 3 解得两钟钢管的数量都不能为负 由以上不等关系 可得不等式组 5006004000 3 0 0 xy xy x y 名师指引 建立不等关系关键在于文字语言与数学符号间的转换 它们之间的关系如 x a 32 下表 文字语言数学符号文字语言数学符号 大于 至多 小于 0 右边 0 右边 左边 1 2 ab abab ab baba baab bababa 原不等式成立 原不等式成立 综合拔高训练综合拔高训练 38 6 某人乘坐出租车从 A 地到乙地 有两种方案 第一种方案 乘起步价为 10 元 每 km 价 1 2 元的出租车 第二种方案 乘起步价为 8 元 每 km 价 1 4 元的出租车 按出租车管理 条例 在起步价内 不同型号的出租车行驶的里路是相等的 则此人从 A 地到 B 地选择哪 一种方案比较适合 解 设 A 地到 B 地距离为 mkm 起步价内行驶的路为 akm 显然 当 m a 时 选起步价为 8 元的出租车比较合适 当 m a 时 设 m a x x 0 乘坐起步价为 10 元的出租车费用为 P x 元 乘坐起步价 为 8 元的出租车费用为 Q x 元 则 P x 10 1 2x Q x 8 1 4x P x Q x 2 0 2x 0 2 10 x 当 x 10 时 P x Q x 此时起步价为 10 元的出租车比较合适 当 xQ x 此时选起步价为 8 元的出租车比较合适 当 x 10 时 P x Q x 此时两种出租车任选 7 已知函数f x log2 x 1 实数m n在其定义域内 且m n f m f n 求证 1 m n 0 2 f m2 f m n f n2 1 证法一 由f m f n 得 log2 m 1 log2 n 1 即 log2 m 1 log2 n 1 log2 m 1 log2 n 1 或 log2