最优控制总结

最优控制理论总结 宫庆义 2010 6 30 1 最优控制问题可用下列泛函表示 0 00 min 1 2 0 f t ff tu t ff Jx ttL x t u t t dt stx tf x t u t tx tx x tt 2 最优控制的应用类型 一 积分型性能指标 0 f t t JL x t u t t dt 1 最小时间控制 0 0 f t f t Jdttt 2 最少燃耗控制 0 1 f m t j t j Ju t dt 3 最少能量控制 0 f t T t Jut u t dt 二 末值型性能指标 ff Jx tt 三 复合性能指标 1 状态调节器 0 11 22 f t TTT ff t JxtFx txt Qx tut Ru tdt 2 输出跟踪系统 0 11 22 f t TTT ff t JetFe tet Qe tut Ru tdte tz ty t 3 欧拉 拉格朗日方程 0 LdL xdtx 4 不同边界情况下的横截条件 0 f t t JL x x t dt 横截条件与边界条件 固定 f x t 00 ff x txx tx 固定 f t 自由 f x t 00 f t L x tx x 0 自由 f x t 00 0 f f T t t LL x txLx xx 0 自由 f t 约束 f x t 00 0 f T ff t L x txx tc tLcx x 注 若 0 min 0 f t tx t Jg x x t dt stf x x t T L x xtg x x tt f x x t 5 用变分法求最优解的必要条件 0 00 min f t tu t ff T JL x u t dt st x tf x u tx tx x tt HL x u tf x u t 0 A 正则 方程 极值 条件 边界条件与 横截条件 H 变化律 自由 f t 末端约束 00 ff T f ff x txx tt t x tx t 0 T f ff H t tt 末端自由 00 f f x txt x t f f H t t 自 f t 由 末端固定 H x H x H u 0 00 ff x tx x tx f f H t t 例题 1 求通过点 0 0 及 1 1 且使取极值的轨迹 1 2 0 Jxx dt x t 解 欧拉 拉格朗日方程 即 2 2 0 d xx dt 0 xx coshsinhx tatbt 由初始条件 0 00 xa 末端条件 1 1 1 sinh1 xb 因而极值轨迹为 1 sinh sinh1 x tt 2 求使指标取极值的轨迹 1 23 0 Jxx dt x t 0 0 x 解 这是终端自由的情况 欧拉 拉格朗日方程为 即 2 230 d xx dt 2 23xxC 令 由 x tatb 0 00 xb 又末端自由 横截条件为 即 23 1 0 f t t L xx x 2 230aa 得 或 对应局部极小 对应局部极大0a 2 3 a 0 0 x tJ 24 327 x tt J 3 设系统状态方程 边界条件为 自由xu 0 1 0 ff xx tt 性能指标为 要求确定最优控制 使最小 2 0 1 2 f t f Jtu dt uJ 解 这是自由问题 末端状态固定 是满足约束集的特殊情况 即 f t 0 f x t 0 fff x ttx t fff x ttt 哈密顿函数 2 1 2 Huu 正则方程 0 HH xu x 控制方程 0 H uu u 即 1 f f H t t 22 1 10 2 2 fff ttt 由正则方程 所以 0t 2t 于是 2u t 再由正则方程 可得 由初始条件 得 xu 2x ttc 0 1x 1c 故最优轨迹为 21x tt 2 0 2 ff x tt 4 设系统的状态方程为 边界条件为 x tx tu t 0 1 0 f xx t 求 使为最小 u t 22 0 1 2 f t Jxudt 解 22 1 2 Hxuxu 协态方程和控制方程为 H x x 即 H u u u 故可得正则方程 x tx tt tx tt 拉氏变换 0 sX sxX ss 0 ssX ss 解代数方程得 11 0 0 2 2 2 2 11 0 0 2 2 2 2 s sx ssss s X sx ssss 拉氏反变换 2222 2222 1 0 21 21 0 2 2 1 0 21 21 0 2 2 tttt tttt teexee x teeeex 由 得 0 1 0 f xx t 22 22 21 21 0 ff ff tt tt ee ee 22 2222 22 1 21 21 21 21 2 2 ff ff tt tttt tt ee u tteeee ee 注 拉氏变换表 象函数 F s原函数 f t 1 1 n s 1 1 n t n 2 1 sa at e 3 1 sa sb 1 atbt ee ba 4 sc sa sb 1 atbt ca ecb e ba 5 设系统状态方程为 122 x tx tx tu t 初始条件为 末端条件为 自由 12 0 0 1xx 12 1 0 1 xx 要求确定最优控制 使泛函取极小值 u t 1 2 0 1 2 Ju t dt 解 边界条件 22 2 1 0 1 f t x 哈密顿函数 T HL x u tf x u t 2 122 1 2 uxu 正则方程 121 12 0 HH ttt xx 状态方程 1222 x tx tx tt 极值条件 即 0 H u 2 0u 2 u tt 边界条件 12 0 1 0 1xx 122 2 1 0 1 0 1 f xt x 对正则方程和状态方程进行拉氏变换 112222 11221 0 0 0 0 0 sX sxXssXsxs sssss 解以上代数方程得 11221 2 221121 23234 111 0 0 0 1111111 0 0 0 0 ss sss XsX s sssssss 拉氏反变换 利用末端条件 23 121 221 11 1 0 0 26 0 0 x tttt tt 1212 1 0 1 0 0 0 6x 最优状态轨迹 23 1 13x tttt 最优协态 2 6 1 tt 最优控制 2 6 1 u ttt 6 设系统的状态方程为 010 001 x tx tu t 指标泛函 边界条件 2 2 0 1 2 Ju t dt 10 0 2 10 xx 求使指标泛函取极值的极值轨线和极值控制 x t u t 解 1212 12 22 1 2 T fxx guf fux 拉格朗日标量函数 2 12122 1 2 T Lgfuxxux 欧拉方程 11 11 122 22 2 0 0 0 LdL a xdtx LdL atb xdtx LdL uuatb udtu 由于状态约束方程 2 22 232 121 1 2 111 262 xuatbxatbtc xxatbtcxatbtctd 代入边界条件 得 10 0 2 10 xx 7 3 1 2 abcd 于是极值轨线 32 1 2 2 0 51 751 33 5 1 53 51 x tttt u tt x ttt x 7 设性能指标泛函 2 0 1 f t Jx dt 0 1 2 fff xx tc tt 求使泛函为极值的最优轨线及相应的 x t f tJ 解 2 1Lx 欧拉 拉格朗日方程 2 22 2 22 0 1 11 LdLdxxC Cxax tatb xdtxdtC xx 由得 0 1x 1b 由横截条件 2 2 1 1 0 11 1 f f T f t t Lx Lcxxxx ta x x 最优轨线为 1x tt 当时 即 求得末端时刻 f tt ff x tc t 12 ff tt 1 2 f t 将代入指标泛函 可得最优性能指标 f x t t 2 2 J 8 设系统方程为 122 x tx tx tu t 初态 末端时刻 末端约束 12 0 0 0 xx 1 f t 12 1 1 1xx 性能指标 1 2 0 1 2 Ju t dt 求使最小的最优控制和相应的最优轨线J u t t x 解 2 12 1 0 1 1 1 2 ff tLutxx Axx 2 122 1 2 Huxu 由协态方程 11 1 0 H ta x 212 2 H tatb x 由极值条件 22 0 H uuatb u 由状态方程 2 22 232 121 1 2 111 262 xuatbx tatbtc xxatbtcx tatbtctd 由初态 12 0 0 00 xxcd 由目标集 12 1 1 10496xxab 根据横截条件 即 12 12 1 1 1 1 xx 12 1 1 1 2 ab 于是解得 36 77 ab 最优解为 3 2 7 u tt 最优轨线 2 1 1 6 14 x ttt 2 3 4 14 x tt t 6 连续系统极小值原理必要条件 性能指标末端状态正则方程极小值条件 边界条件与 横截条件 H 变化律 自由 f t 末端约束 00 0 f ff T f t ttt t xxx xx f f T t Ht tt 0 f ff t t Jtt Lt dt x x u 末端自由 T H H HL x x f minHH u 00 f f t t t xx x f f Ht t 例题 1 最短时间控制问题 状态方程 122 xxxu 初始条件 末端条件 101 220 0 0 0 xx xx x 12 0 ff x tx t 约束控制 10 f u ttt 求使性能指标取极小的最优控制 0 f t f Jdtt 解 122 1 T HLfxu 协态方程 1 1 0 H x 21 2 H x 12 tatatb 选择使取极小uH 2 2 2 1 0 sgn 1 0 t u tt t 为 的线性函数 最多改变一次符号 2 t tu 当时 状态方程的解为 1u t 消去 得相轨迹方程 220 2 12010 1 2 x ttx x ttx tx t 2 12 1 2 x tx tC 当时 状态方程的解为 1u t 消去 得相轨迹方程 220 2 12010 1 2 x ttx x ttx tx t 2 12 1 2 x tx t C 相轨迹的方向总是逆时针 两簇曲线中 每一簇中有一条曲线的半支进入末端状态点 原点 的曲线簇中 通过原点的曲线方程为 1u t 记 2 122 1 0 2 x tx tx t 的曲线簇中 通过原点的曲线方程为 1u t 记 2 122 1 0 2 x tx tx t 称为开关线 其方程为 122 1 2 x tx t x t 开关线左侧区域用表示 开关线右侧区域用表示R R 于是最优控制律 可以表示为状态的函数 即 12 T x xx 12 1 1 xR ux x xR 2 最少燃料控制问题 状态方程 122 xxxu 初始条件 末端条件 1010 0 2020 x tx t x tx x 12 0 ff x tx t 约束控制 0 1 f u tttt 求使性能指标取极小的最优控制 0 f t t Ju t dt 解 122 T HLfu txu 协态方程 1 1 0 H x 21 2 H x 12 tatatb 使取得极小值 等价于求下式的极小值H 2 min u t u tt u t 使取得极小值的最优控制律为 H 2 22 2 2 0 1 sgn 1 0 1 1 1 0 1 t u t tt u tt u tt 当时 开口向右 抛物线 1u t 2 12 1 2 x tx tC 当时 开口向左 抛物线 1u t 2 12 1 2 x tx tC 当时 水平线 0u t 220110200 x txx txxtt 由状态方程得 21120 2 11120 110 2221 12112121 2221 2 122222 1 1 2 0 1 0 1 0 2 ff ux ttx x ttx tx ux tx tC x tx tx ttt ux ttt x tx ttttt 由以上 6 个方程 来解 6 个未知数 3 设系统状态方程为 122 x tx tx tu t 边界条件 1212 1 0 0 0 4 ff xxx tx t 控制约束 末端时刻自由 1u t f t 求 最优控制使性能指标最小 u t 2 0 f t Ju t dt 解 2 22 1222122 11 24 Huxuux 由极小值条件知 2 22 2 1 2 1 2 2 1 2 t u ttt t 由协态方程 11 1 212 2 0 H tta x H tttatb x 2 11 22 u ttatb 代入状态方程 2 22 32 121 111 242 11 124 x tuatbx tatbtc x tx tx tatbtctd 由初始条件 12 0 0 00 xxcd 根据末端条件 32 1 2 2 1 1244 1 424 fff fff ab x ttt ab x ttt 根据沿最优轨线变化律 H 2 122 0 ffffff H tu ttx ttu t 解得 32 3 2 3 1 0 3 9 ff f ff tt abt tt 最优控制 验证 在区间上 满足要求 1 218 t u tatb 0 f t 2 1 2u tt 最优轨线 最优性能指标 3 2 12 11 10836 x ttx tt 2 3 0 1 36 Ju tdt 7 对于线性连续系统 提出二次型目标函数 0 00 11 22 f t TTT ff JxtPx txt Qx tut R t u tdt x tA t x tB t u tx txR tP t Q t 半半半半半 固定 0 f t t 求 最优反馈控制 并论述如何选择二次型目标函数中的加权矩阵 解 1 2 TTT Hxt Qx tut R t u ttA t x tB t u t 协态方程 T H Q t x tAtt x 控制方程 1 0 TT H R t u tBttu tRt Btt u 横截条件 1 2 T ffff ff txtPx tPx t x tx t 由此可见 协态状态在末端时刻成线性关系 t x t f t 设 代入状态方程 tK t x t 1 T x tA t x tB t Rt Bt K t x t 由协态方程 将代入 T tK t x tK t x tQ t x tAt K t x t x t 1 0 TT K tK t A tK t B t Rt Bt K tAt K tQ tx t 由下面的黎卡提矩阵微分方程确定 K t 1 TT K tK t A tAt K tK t B t Rt Bt K tQ t 边界条件 f K tP 由此可得最优反馈控制 1 T u tRt Bt K t X tG t x t 加权阵的选择 若已知各加权变量允许的最大值为 和 1max2maxmax n xxx 1max2maxmax n uuu 1max2maxmax 111 n Qdiag xxx 1max2maxmax 111 n Rdiag uuu 8 最优性原理 一个多级决策问题的最优决策具有这样的性质 当把其中任何一级及其及其状态作为初始级 和初始状态时 则不管初始状态是什么 达到这个初始状态的决策是什么 余下的决策对此初 始状态必定构成最优策略 例题 1 系统方程为 给定 1 1 x kx ku k 0 x 2 1 22 0 11 2 22k Jcxuk 要求 用动态规划寻找最优控制序列使最小 0 1 uuJ 解 先考虑最后一步 即从 这时由 1 2 得 1 2 xx 2 1 1 xxu 2 222 1 1111 2 1 1 1 1 2222 Jcxuc xuu 求使最小 得 1 u 1 J 1 1 1 1 1 0 1 1 1 Jcx c xuuu uc 将代入和得 1 u 1 J 2 x 2 1 1 1 2