球的表面积和体积

1 8 球的表面积与体积球的表面积与体积 集中训练集中训练 球球 球的半径是 R 则其体积 其表面积 3 4 3 VR 2 4SR 球的半径 R 截面圆半径 球心到截面的距离为 构成直角三角形 因而有rd 关系 它们是计算球的关键所在 22 rRd 球的组合体球的组合体 1 球与长方体的组合体 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 2 球与正方体的组合体 正方体的内切球的直径是正方体的棱长 正方体的棱切球的直 径是正方体的面对角线长 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长 请各位同学推导 请各位同学推导 球与正四面体的组合体 棱长为的正四面体的内切球的半径为 外a 6 12 a 接球的半径为 6 4 a 1 1 在三棱锥中 PABC PAABC 平面ABBC 3AB 4BC 5PA 则三棱锥的外接球的表面积为 PABC 50 2 2015 山西四校联考 15 已知一个三棱锥的三视图如图所示 其中俯视图是 等腰直角三角形 则该三棱锥的外接球体积为 解析 设该三棱锥的外接球的半径是 R 依题意得 该三棱锥的形状 如图所示 其中 AB 平面 BCD AB 2 CD 2 BC BD 2 BC BD 因此可将其补形成一个棱 2 长为 2 的正方体 则有 2R 2 R 所以该三棱锥的外接球体积为 33 4 3 3 4 33 3 2015 课标 10 中 已知 A B 是球 O 的球面上两点 AOB 90 C 2 8 为该球面上的动点 若三棱锥 O ABC 体积的最大值为 36 则球 O 的表面积为 A 36 B 64 C 144 D 256 答案 C 设球 O 的半径为 R 由题知当 OC 平面 OAB 时 三棱锥 O ABC 的体积最大 VO ABC R3 36 所以 R 6 所以 S球 4 R2 144 1 6 4 2012 课标全国 8 中 平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1 球心 O 到 平面 的距离为 则此球的体积为 2 A B 4 C 4 D 6 6363 答案 B 如图 设平面 截球 O 所得圆的圆心为 O1 则 OO1 O1A 1 球的半径 R OA 22 13 球的体积 V R3 4 故选 B 4 33 5 2014 大纲全国 10 中 正四棱锥的顶点都在同一球面上 若该棱锥的高 为 4 底面边长为 2 则该球的表面积为 A B 16 C 9 D 81 4 27 4 答案 A 由题意易知 球心在正四棱锥的高上 设球的半径为 R 则 4 R 2 2 R2 解得 R 所以球的表面积为 4 故选 A 2 9 4 9 4 2 81 4 6 2013 天津 10 中 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 若球的体积 为 则正方体的棱长为 9 2 解析 设正方体的棱长为 a 则正方体的外接球半径 R a 因为球的 3 2 3 8 体积为 所以 R3 即 R a 所以 a 9 2 4 3 9 2 3 2 3 23 7 2013 课标 15 难 已知正四棱锥 O ABCD 的体积为 底面边长为 3 2 23 则以 O 为球心 OA 为半径的球的表面积为 解析 设底面中心为 E 则 AE AC 体积 1 2 6 2 V AB 2 OE OE OA 2 AE 2 OE 2 6 从而以 O 为球心 OA 为 1 3 3 2 2 半径的球的表面积 S 4 OA 2 24 8 2013 课标 15 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点 AH HB 1 2 AB 平面 H 为垂足 截球 O 所得截面的面积为 则球 O 的表面积为 解析 平面 截球 O 所得截面为圆面 圆心为 H 设球 O 的半径为 R 则由 AH HB 1 2 得 OH R 由圆 H 的面积为 得圆 H 的半径为 1 1 3 所以 12 R2 得 R2 所以球 O 的表面积 S 4 R2 4 R 3 2 9 8 9 8 9 2 9 2013 课标 6 如图 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器 容器 高 8 cm 将一个球放在容器口 再向容器内注水 当球面恰好接触水面时 测得水深为 6 cm 如果不计容器的厚度 则球的体积为 A cm3 B cm3C cm3 D cm3 500 3 866 3 1 372 3 2 048 3 解析 设球的半径为 R 则球的截面圆的半径是 4 且球心到该截面的距 4 8 离是 R 8 6 R 2 故 R2 R 2 2 42 R 5 V R3 cm3 4 3 500 3 10 2015 四川绵阳一模 7 如图所示 用一边长为的正方形硬纸 按各边中 2 点垂直折起四个小三角形 做成一个蛋巢 将表面积为 4 的鸡蛋 视为球体 放入其中 蛋巢形状保持不变 则鸡蛋中心 球心 与蛋巢底面的距离为 A B C D 2 2 1 2 6 2 1 2 3 2 3 2 1 2 答案 D 蛋巢的底面是边长为 1 的正方形 所以过四个顶点截鸡蛋 所得的截面圆的直径为 1 鸡蛋的表面积为 4 所以球的半径为 1 所以球心 到截面的距离为 d 而截面到底面的距离即为三角形的高 所以球 1 1 4 3 2 1 2 心到底面的距离为 3 2 1 2 11 2015 辽宁沈阳一模 6 已知四面体 P ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上 若 PB 平面 ABC AB AC 且 AC 1 PB AB 2 则球 O 的表面积为 A 7 B 8 C 9 D 10 答案 C PB 平面 ABC AB AC 在四面体的基础上构造长方体如图 可知长方体的外接球与四面体的外接球相同 长方体的对角线就是外接球的直 5 8 径 即 2R 3 R 球 O 的表面积 12 22 22 3 2 S 4 R2 4 9 3 2 2 12 2015 河南驻马店调研 13 在三棱柱 ABC A B C 中 已知 AA 平面 ABC AA 2 BC 2 BAC 且此三棱柱的各个顶点都在一个球面 3 2 上 则球的体积为 解 依题意可知 球心到平面 ABC 的距离为 AA 1 平面 ABC 所在圆的半 1 2 径为 BC 则球的半径为 2 则球的体积为 23 1 23 12 3 2 4 3 32 3 13 2014 宁夏银川质检 10 已知矩形 ABCD 的面积为 8 当矩形 ABCD 周长 最小时 沿对角线 AC 把 ACD 折起 则三棱锥 D ABC 的外接球表面积等于 解析 设矩形的两邻边长度分别为 a b 则 ab 8 此时 2a 2b 4 8 当且仅当 a b 2时等号成立 此时四边形 ABCD 为正方形 其 ab22 中心到四个顶点的距离相等 均为 2 无论怎样折叠 其四个顶点都在一个半 径为 2 的球面上 这个球的表面积是 4 22 16 14 若两个球的表面积之比为1 4 则这两个球的体积之比为 A 1 2B 1 4C 1 8D 1 16 15 如图 网格纸上小正方形的边长为 粗线画出的是某几何体的三视图 则此几何体1 的外接球的体积为 6 8 16 已知长方体 ABCD A1B1C1D1的侧面积和体积分别为 12 和 24 且 AB AD 求该长方体外 接球的表面积 解析 设 AB a AA1 b 则 解得设长方体外接球的半径为 r 则 4r2 22 22 32 17 2 12 4 24 2 3 所以长方体外接球的表面积 S表 4 r2 17 17 高和底面直径相等的圆柱的表面积和球 O 的表面积相等 则该圆柱与球 O 的体积之比 为 A B 1 C 1 D 2 23233 解析 设圆柱底面半径为 r1 球 O 的半径为 r2 由题意得 6 4 故 则 2 1 2 2 1 2 2 3 柱 球 2 3 1 4 3 3 2 2 3 18 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示 其顶点都在一个球面上 则该球的表 面积为 A B C D 16 3 19 12 19 3 4 3 解析 由正视图可得该三棱柱的底面边长为 2 高为 1 易得底面外接圆的半径等于 2 3 3 设该球的半径为 r 则 r2 2 2 该球的表面积为 4 答案 C 1 2 2 3 3 1 4 4 3 19 12 19 12 19 3 19 已知 A B C D 是表面积为 6 的球 O 上的四点 且 DA 平面 ABC 三角形 ABC 是 B 90 的等腰直角三角形 且 AC 2 则 VD ABC的体积为 解析 由条件可求得球 O 的半径 R BC AB 可证得球心 O 为 DC 的中点 则 DC 为球 O 的直径 6 2 2 则 DC 在直角三角形 DAC 中 DA 所以 VD ABC 答案 6 2 22 1 3 2 1 2 22 2 3 2 3 20 直三棱柱的六个顶点都在球的球面上 若 111 ABCABC O2ABBC 则球的表面积为 0 90ABC 1 2 2AA O A B C D 4 8 24 16 7 8 第 10 题图 21 三棱锥的侧棱两两垂直且长度分别为 2cm 2cm 1cm 则其ABCO OCOBOA 外接球的表面积是 cm2 22 边长是2 2的正ABC 内接于体积是4 3 的球O 则球面上的点到平面ABC的 最大距离为 23 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为A