高中数学 《数列（2）》教案2 苏教版必修5

1 第第 2 2 课时课时 2 12 1 数列 数列 2 2 三维目标 一 知识与技能 1 要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念 了解数列的递推公式的意义 明确递推公式与通 项公式的异同 了解数列的递推公式是确定数列的一种方法 2 会根据数列的递推公式写出数列的前几项 3 理解数列的前项和与的关系 掌握根据数列的前项和确定数列的通项公式 n n an 4 提高学生的推理能力 培养学生的应用意识 二 过程与方法 经历数列知识的感受及理解运用的过程 三 情感 态度与价值观 通过本节课的学习 体会数学来源于生活 提高数学学习的兴趣 教学重点与难点 重点 数列的递推公式的理解与应用 难点 理解递推公式 理解递推公式与通项公式的关系 学法与教学用具 1 学法 2 教学用具 多媒体 实物投影仪 授课类型 新授课 课时安排 1 课时 教学思路 一 创设情景 揭示课题一 创设情景 揭示课题 1 复习数列是一种特殊的函数 故其表示方法有列表法 图象法 通项公式法 2 提问 已知数列满足 能写出这个数列的前 5 项吗 n a 1 1 2 1 1 2 n n a an a 思考 已知在数列中 那么这个数列中的任意一项是否都可以写出来 n a 1 2 nn aa 二 研探新知二 研探新知 1 递推公式 1 递推公式的概念 知识都来源于实践 最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题 观察钢管堆放示意图 寻其规律 建立数学模型 模型一 自上而下 第 1 层钢管数为 4 即 14 1 3 第 2 层钢管数为 5 即 25 2 3 第 3 层钢管数为 6 即 36 3 3 第 4 层钢管数为 7 即 47 4 3 第 5 层钢管数为 8 即 58 5 3 2 第 6 层钢管数为 9 即 69 6 3 第 7 层钢管数为 10 即 710 7 3 若用表示钢管数 表示层数 则可得出每一层的钢管数为一数列 且 n 7 运用 n an1 3 nan 每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型 运用这一关系 会很快捷地求出每一层的钢管 数这会给我们的统计与计算带来很多方便 让同学们继续看此图片 是否还有其他规律可循 启发学生寻找规律 模型二 上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1 即 4 1 a1145 12 aa1156 23 aa 依此类推 2 n 7 1 1 nn aa 对于上述所求关系 若知其第 1 项 即可求出其他项 看来 这一关系也较为重要 定义 如果已知数列的第一项 或前几项 以及任一项与前面一项 或前几项 之间的 n a n a n a 关系可用一个公式来表示 则这个公式叫做的递推公式 n a 说明 递推公式也是给出数列的一种方法 如下数字排列的一个数列 3 5 8 13 21 34 55 89 递推公式为 83 5 3 2121 naaaaa nnn 2 数列的前项的和n 数列中 称为数列的前 n 项和 记为 n a n aaaa 321 n a n S 表示前 1 项之和 1 S 1 S 1 a 表示前 2 项之和 2 S 2 S 21 aa 表示前 n 1 项之和 1 n S 1 n S 1321 n aaaa 表示前 n 项之和 n S n S n aaaa 321 当 n 1 时才有意义 当 n 1 1 即 n 2 时才有意义 n S 1 n S 3 与之间的关系 n S n a 由的定义可知 当 n 1 时 当 n 2 时 即注 n S 1 S 1 a n a n S 1 n S 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 意验证的情况 1n 证明 显然时 当即时 1 n 11 Sa 1 n2 n nn aaaS 21 3 1211 nn aaaS nnn aSS 1 1 1 S SS a nn n 1 2 n n 注意 1 此法可作为常用公式 2 当时 满足时 则 11 Sa 1 nn SS 1 nnn SSa 4 数列的单调性 设是由连续的正整数构成的集合 若对于中的每一个都有 或 则数列DDn nn aa 1nn aa 1 在内单调递增 或单调递减 n aD 5 两个重要的变换 123121 nnn aaaaaaaa 12 3 1 2 1 n n n a a a a a a aa 注意 1 求数列的通项公式与求数列的前项和是数列的两个最基本问题 解决问题时必须特别仔n 细地计算项数 弄错一项将全题尽毁 2 数列的单调性是探索数列的特点 特别是求数列的最大 小项的重要方法 若想用高等方法讨论 数列的单调性 不能直接对求导 应先对函数求导 然后再分析的单调性 nfan xfy nf 3 与的关系式是解决数列的问题中使用率非常高的公式 任何时候使用这个公式都必须从 n a n S 开始讨论 千万不要错了一项 2 n 4 上面提到了两个重要变换是解决数列问题中经常使用的两个变换 三 质疑答辩 排难解惑 发展思维三 质疑答辩 排难解惑 发展思维 例 1 设数列满足写出这个数列的前五项 n a 1 1 1 1 1 1 n n a an a 解 分析 题中已给出的第 1 项即 递推公式 n a1 1 a 1 1 1 n n a a 解 据题意可知 3 21 1 2 1 1 1 2 3 1 21 a a a aa 5 8 3 51 1 5 3 4 a a a 变题 已知数列的首项 求出这个数列的第 5 项 学生口答 学生口答 n a 1 1 1 2 1 1 n n aan a 例 2 已知数列中 3 试写出数列的前 4 项 n anaaaaa nnn 3 2 1 2121 解 由已知得 233 7 3 2 1 23412321 aaaaaaaa 4 变题 若数列中 且各项满足 则是该数列的第几项 n a 1 1a 2 4a 21 2 nnn aaa 26 例 3 已知 写出前 5 项 并猜想 2 1 a nn aa2 1 n a 法一 观察可得 2 1 a 2 2 222 a 32 3 222 a n n a2 法二 由 即 nn aa2 1 1 2 nn aa2 1 n n a a 1 1 2 3 2 2 1 1 2 n n n n n n n a a a a a a a a nn n aa22 1 1 变题 若数列中 且各项满足 写出该数列的前四项 n a 1 2a 1 21 nn aa 例 4 已知数列的前n项和为 求数列的通项公式 n annSn 2 21 2 nnSn n a 解 当时 当时 经检验 1 n1 11 Sa2 n34 1 1 22 22 nnnnnan 时 也适合 1 n1 1 a34 nan 当时 当时 1 n3 11 Sa2 nnnnnnan21 1 1 1 22 n an 2 3 2 1 n n 思考题 已知数列为 试写出这个数列的一个递推公式 再根据递推公式写出它的通 n a3 7 11 15 项公式 例 5 已知数列的前项和 n an 1 22 n n S 1 求数列的通项公式 2 设 求数列的通项公式 n a 1nnn baa n b 解 1 当时 1n 2 11 222aS 当时 所以 2n 11 1 22 22 222 nnnnn nnn aSS 2n n a 2 因为 且 所以 1nnn baa 2n n a 1 1 2n n a 1 223 2 nnn n b A 说明 由数列的前项和求时 要注意分和讨论 然后将代入所得 n an n S n a1n 2n 1n 2n 的通项公式 看结果是否符合的情况 不是则需要写成分段形式 1n 四 巩固深化 反馈矫正四 巩固深化 反馈矫正 1 根据各个数列的首项和递推公式 写出它的前五项 并归纳出通项公式 1 0 2n 1 n N 2 3 3 2 n N 1 a 1 n a n a 1 a 1 n a n a 5 3 1 n N 1 a 1 n a 2 2 n n a a 2 已知数列满足 写出它的前项 归纳其通项公式 并验证是否满 n a 1 1a 1 2 2 n n n a a a nN 5 足递推公式 3 数列的前项和满足 求该数列的通项公式 n an n Slg 1 1 n Sn 4 解答下述问题 I 数列 求数列的通项公式 14 1 2 1 2 11 n aaaa nnn 中 n a II 在 1000 2000 内 被 4 除余数 1 且被 5 除余数为 2 的整数有多少个 说明理由 五 归纳整理 整体认识五 归纳整理 整体认识 1 递推公式及其用法 递推公式 简单阶差 阶商法 2 通项公式反映的是项与项数之间的关系 而递推公式反映的是相邻两项 或n项 之间的关系 3 的定义及与之间的关系 由数列的前项的和求数列的通项公式的过程 n S n an n S 六 承上启下 留下悬念六 承上启下 留下悬念 数列中 写出该数列的前四项 并归纳其通项公式 并验证是否满足 n a 1 0a 1 1 3 n n n a a a 递推公式 数列的前项和 求该数列的通项公式 n an 2 21 n Snn nN 3 根据数列 1 n 2 的首项和递推公式 写出它的前五项 1 a n a 1 n a 1 1 n a 七 板书设计七 板书设计 略 八