【步步高】2014届高三数学大一轮复习 1.1集合的概念与运算教案 理 新人教A版

1 1 1 1 1 集合的概念与运算集合的概念与运算 2014 高考会这样考 1 考查集合中元素的互异性 以集合中含参数的元素为背景 探 求参数的值 2 求几个集合的交 并 补集 3 通过集合中的新定义问题考查创新能力 复习备考要这样做 1 注意分类讨论 重视空集的特殊性 2 会利用 Venn 图 数轴等 工具对集合进行运算 3 重视对集合中新定义问题的理解 1 集合与元素 1 集合元素的三个特征 确定性 互异性 无序性 2 元素与集合的关系是属于或不属于关系 用符号 或 表示 3 集合的表示法 列举法 描述法 图示法 4 常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号 N N N N 或 N N Z ZQ QR R 2 集合间的关系 1 子集 对任意的x A 都有x B 则A B 或B A 2 真子集 若A B 且A B 则A B 或B A 3 空集 空集是任意一个集合的子集 是任何非空集合的真子集 即 A B B 4 若A含有n个元素 则A的子集有 2n个 A的非空子集有 2n 1 个 5 集合相等 若A B 且B A 则A B 3 集合的运算 集合的并集集合的交集集合的补集 2 图形 符号 A B x x A 或x B A B x x A且 x B UA x x U 且 x A 4 集合的运算性质 并集的性质 A A A A A A B B A A B A B A 交集的性质 A A A A A B B A A B A A B 补集的性质 A UA U A UA U UA A 难点正本 疑点清源 1 正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念 特别是集合中元素的三个特征 尤其是 确定性和互异性 在解题中要注意运用 在解决含参数问题时 要注意检验 否则很可能会因为不满足 互异性 而导致结论错误 2 注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合 空集是任何集合的子集 在解题时 若未明确说明集合非 空时 要考虑到集合为空集的可能性 例如 A B 则需考虑A 和A 两种可能的 情况 3 正确区分 0 是不含任何元素的集合 即空集 0 是含有一个元素 0 的集合 它不是空集 因为 它有一个元素 这个元素是 0 是含有一个元素 的集合 0 0 1 2012 江苏 已知集合A 1 2 4 B 2 4 6 则A B 答案 1 2 4 6 解析 A B是由A B的所有元素组成的 A B 1 2 4 6 2 已知集合A x a 1 x 1 a B x x2 5x 4 0 若A B 则实数a的取 值范围是 答案 2 3 解析 集合B中 x2 5x 4 0 x 4 或x 1 3 又 集合A中a 1 x 1 a A B a 11 2 a 3 3 已知集合A 1 2 B x mx 1 0 若A B A 则m的可能取值组成的集合为 答案 0 1 1 2 解析 A B A B A 当B 时 m 0 当 1 B时 m 1 当 2 B时 m 1 2 m的值为 0 1 1 2 4 2012 江西 若集合A 1 1 B 0 2 则集合 z z x y x A y B 中的元 素的个数为 A 5 B 4 C 3 D 2 答案 C 解析 当x 1 y 0 时 z x y 1 当x 1 y 0 时 z x y 1 当x 1 y 2 时 z x y 1 当x 1 y 2 时 z x y 3 由集合中元素的互异性可知集合 z z x y x A y B 1 1 3 即元素的个 数为 3 5 2011 北京 已知集合P x x2 1 M a 若P M P 则a的取值范围为 A 1 B 1 C 1 1 D 1 1 答案 C 解析 由P x x2 1 得P x 1 x 1 由P M P得M P 又M a 1 a 1 题型一 集合的基本概念 例 1 1 下列集合中表示同一集合的是 A M 3 2 N 2 3 4 B M 2 3 N 3 2 C M x y x y 1 N y x y 1 D M 2 3 N 2 3 2 设a b R R 集合 1 a b a 则b a 0 b a b 思维启迪 解决集合问题首先要考虑集合的 三性 确定性 互异性 无序性 理解 集合中元素的特征 答案 1 B 2 2 解析 1 选项 A 中的集合M表示由点 3 2 所组成的单点集 集合N表示由点 2 3 所 组成的单点集 故集合M与N不是同一个集合 选项 C 中的集合M表示由直线x y 1 上的所有的点组成的集合 集合N表示由直线x y 1 上的所有的点的纵坐标组成的集 合 即N y x y 1 R R 故集合M与N不是同一个集合 选项 D 中的集合M有两个 元素 而集合N只含有一个元素 故集合M与N不是同一个集合 对选项 B 由集合元 素的无序性 可知M N表示同一个集合 2 因为 1 a b a a 0 0 b a b 所以a b 0 得 1 b a 所以a 1 b 1 所以b a 2 探究提高 1 用描述法表示集合时要把握元素的特征 分清点集 数集 2 要特别注 意集合中元素的互异性 在解题过程中最容易被忽视 因此要对计算结果进行检验 防 止所得结果违背集合中元素的互异性 若集合A x ax2 3x 2 0 的子集只有两个 则实数a 答案 0 或 9 8 解析 集合A的子集只有两个 A中只有一个元素 当a 0 时 x 符合要求 2 3 当a 0 时 3 2 4a 2 0 a 故a 0 或 9 8 9 8 题型二 集合间的基本关系 例 2 已知集合A x 2 x 7 B x m 1 x 2m 1 若B A 求实数m的取值 范围 思维启迪 若B A 则B 或B 要分两种情况讨论 解 当B 时 有m 1 2m 1 则m 2 当B 时 若B A 如图 5 则Error 解得 2 m 4 综上 m的取值范围为m 4 探究提高 1 集合中元素的互异性 可以作为解题的依据和突破口 2 对于数集关系 问题 往往利用数轴进行分析 3 对含参数的方程或不等式求解 要对参数进行分类 讨论 已知集合A x log2x 2 B a 若A B 则实数a的取值范围 是 c 其中c 答案 4 解析 由 log2x 2 得 0 x 4 即A x 04 即c 4 题型三 集合的基本运算 例 3 设U R R 集合A x x2 3x 2 0 B x x2 m 1 x m 0 若 UA B 则m的值是 思维启迪 本题中的集合A B均是一元二次方程的解集 其中集合B中的一元二次方 程含有不确定的参数m 需要对这个参数进行分类讨论 同时需要根据 UA B 对 集合A B的关系进行转化 答案 1 或 2 解析 A 2 1 由 UA B 得B A 方程x2 m 1 x m 0 的判别式 m 1 2 4m m 1 2 0 B B 1 或B 2 或B 1 2 若B 1 则m 1 若B 2 则应有 m 1 2 2 4 且m 2 2 4 这两 式不能同时成立 B 2 若B 1 2 则应有 m 1 1 2 3 且m 1 2 2 由这两式得m 2 经检验知m 1 和m 2 符合条件 m 1 或 2 探究提高 本题的主要难点有两个 一是集合A B之间关系的确定 二是对集合B中 方程的分类求解 集合的交 并 补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系 这 6 些联系通过 Venn 图进行直观的分析不难找出来 如A B A B A UA B B A等 在解题中碰到这种情况时要善于转化 这是破解这类难点的一种极 为有效的方法 设全集是实数集 R R A x 2x2 7x 3 0 B x x2 a 0 1 当a 4 时 求A B和A B 2 若 R RA B B 求实数a的取值范围 解 1 A x x 3 1 2 当a 4 时 B x 2 x 2 A B x x 2 A B x 2 x 3 1 2 2 R RA x x3 1 2 当 R RA B B时 B R RA 即A B 当B 即a 0 时 满足B R RA 当B 即a 0 时 B x x a a 要使B R RA 需 解得 a0 xy V D 错误 故选 A 探究提高 本题旨在考查我们接受和处理新信息的能力 解题时要充分理解题目的含义 进行全面分析 灵活处理 已知集合S 0 1 2 3 4 5 A是S的一个子集 当x A时 若有 x 1 A 且x 1 A 则称x为A的一个 孤立元素 那么S中无 孤立元素 的 4 个元素的子集共有 个 答案 6 解析 由成对的相邻元素组成的四元子集都没有 孤立元素 如 0 1 2 3 0 1 3 4 0 1 4 5 1 2 3 4 1 2 4 5 2 3 4 5 这样的集合共有 6 个 集合中元素特征认识不明致误 典例 5 分 2012 课标全国 已知集合A 1 2 3 4 5 B x y x A y A x y A 则B中所含元素的个数为 A 3 B 6 C 8 D 10 易错分析 本题属于创新型的概念理解题 准确地理解集合B是解决本题的关键 该题 解题过程易出错的原因有两个 一是误以为集合B中的元素 x y 不是有序数对 而是 无序的两个数值 二是对于集合B的元素的性质中的 x A y A x y A 只关注 x A y A 而忽视 x y A 的限制条件导致错解 解析 B x y x A y A x y A A 1 2 3 4 5 x 2 y 1 x 3 y 1 2 x 4 y 1 2 3 x 5 y 1 2 3 4 B 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 5 1 5 2 5 3 5 4 B中所含元素的个数为 10 答案 D 温馨提醒 判断集合中元素的性质时要注意两个方面 一是要注意集合中代表元素的字 母符号 区分x y x y 二是准确把握元素所具有的性质特征 如集合 x y f x 表示函数y f x 的定义域 y y f x 表示函数y f x 的值域 x y y f x 表示函数y f x 图象上的点 8 遗忘空集致误 典例 4 分 若集合P x x2 x 6 0 S x ax 1 0 且S P 则由a的可取值组 成的集合为 易错分析 从集合的关系看 S P 则S 或S 易遗忘S 的情况 解析 1 P 3 2 当a 0 时 S 满足S P 当a 0 时 方程ax 1 0 的解集为x 1 a 为满足S P可使 3 或 2 1 a 1 a 即a 或a 故所求集合为 1 3 1 2 0 1 3 1 2 答案 0 1 3 1 2 温馨提醒 1 根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容 解答此类问题的关键 是抓住集合间的关系以及集合元素的特征 2 在解答本题时 存在两个典型错误 一 是忽略对空集的讨论 如S 时 a 0 二是易忽略对字母的讨论 如 可以为 3 1 a 或 2 因此 在解答此类问题时 一定要注意分类讨论 避免漏解 方法与技巧 1 集合中的元素的三个特征 特别是无序性和互异性在解题时经常用到 解题后要进行检 验 要重视符号语言与文字语言之间的相互转化 2 对连续数集间的运算 借助数轴的直观性 进行合理转化 对已知连续数集间的关系 求其中参数的取值范围时 要注意单独考察等号 3 对离散的数集间的运算 或抽象集合间的运算 可借助 Venn 图 这是数形结合思想的 又一体现 失误与防范 1 空集在解题时有特殊地位 它是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 时刻关注 对空集的讨论 防止漏解 2 解题时注意区分两大关系 一是元素与集合的从属关系 二是集合与集合的包含关系 3 解答集合题目 认清集合元素的属性 是点集 数集或其他情形 和化简集合是正确求解 的两个先决条件 9 4 Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交 并 补运算的常用方法 其中运用数轴图 示法要特别注意端点是实心还是空心 5 要注意A B A B A A B B UA UB A UB 这五个关系式的等价性 10 A 组 专项基础训练 时间 35 分钟 满分 57 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 2012 广东 设集合U 1 2 3 4 5 6 M 1 2 4 则 UM等于 A U B 1 3 5 C 3 5 6 D 2 4 6 答案 C 解析 U 1 2 3 4 5 6 M 1 2 4 UM 3 5 6 2 2011 课标全国 已知集合M 0 1 2 3 4 N 1 3 5 P M N 则P的子集共有 A 2 个 B 4 个 C 6 个 D 8 个 答案 B 解析 M 0 1 2 3 4 N 1 3 5 M N 1 3 M N的子集共有 22 4 个 3 2012 山东 已知全集U 0 1 2 3 4 集合A 1 2 3 B 2 4 则 UA B为 A 1 2 4 B 2 3 4 C 0 2 4 D 0 2 3 4 答案 C 解析 UA 0 4 B 2 4 UA B 0 2 4 4 已知集合M x 0 x R R N y y 3x2 1 x R R 则M N等于 x x 1 A B x x 1 C x x 1 D x x 1 或x1 或x 0 M x x 1 或x 0 N y y 1 M N x x 1 二 填空题 每小题 5 分 共 15 分 11 5 已知集合A 1 3 a B 1 a2 a 1 且B A 则a 答案 1 或 2 解析 由a2 a 1 3 得a 1 或a 2 经检验符合 由a2 a 1 a 得a 1 由于集合中不能有相同元素 所以舍去 故a 1 或 2 6 已知集合A 0 1 1 1 1 2 B x y x y 1 0 x y Z Z 则 A B 答案 0 1 1 2 解析 A B都表示点集 A B即是由A中在直线x y 1 0 上的所有点组成的集合 代入验证即可 7 2012 天津 已知集合A x R R x 2 3 集合B x R R x m x 2 0 且 A B 1 n 则m n 答案 1 1 解析 A x 5 x 1 因为A B x 1 x n B x x m x 2 0 所以m 1 n 1 三 解答题 共 22 分 8 10 分 已知集合A x x2 2x 3 0 B x x2 2mx m2 4 0 x R R m R R 1 若A B 0 3 求实数m的值 2 若A R RB 求实数m的取值范围 解 由已知得A x 1 x 3 B x m 2 x m 2 1 A B 0 3 Error m 2 2 R RB x xm 2 A R RB m 2 3 或m 25 或m 3 9 12 分 设符号 是数集A中的一种运算 如果对于任意的x y A 都有x y xy A 则称运算 对集合A是封闭的 设A x x m n m n Z Z 判断A对通常的实数 2 的乘法运算是否封闭 解 设x m1 n1 y m2 n2 那么xy m1 n1 m2 n2 m1n2 m2n1 2222 m1m2 2n1n2 2 令m m1m2 2n1n2 n m1n2 m2n1 则xy m n 2 由于m1 n1 m2 n2 R R 所以m n R R 故A对通常的实数的乘法运算是封闭的 B 组 专项能力提升 12 时间 25