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【精品】基于有限元和边界元方法的轴类感应加热分析及数值模拟 天津大学硕士学位论文基于有限元和边界元方法的轴类感应加热分析及数值模拟姓名张媛媛申请学位级别硕士专业控制理论与控制工程指导教师周跃庆xx1201中文摘要感应加热具有加热速度快、物料内部发热效率高、加热均匀，且具有产品质量好、几乎无污染、可控性好及易于实现生产自动化等一系列优点，因此近年来得到了迅速发展。 随着对其工艺与精度要求的不断提高，对感应加热进行数值模拟就显得更加重要。 随着有限元技术的高速发展，很多研究人员开始了基于有限元方法的感应加热数值模拟研究，并已经取得了一定的成果，但是也存在诸如计算量大，需人为设定边界的不足；边界元方法是从有限元方法发展而来的一种比较新的数值模拟方法，在处理电磁场仿真计算中有着独特的优势，如可以降低求解问题的维数、比较简单地处理无穷远边界条件等，为感应加热的数值模拟技术开辟了新的途径。 本文以电磁场和温度场的基本原理为基础，分别建立轴对称工件的有限元和边界元分析模型，并运用通用有限元分析软件ANSYS实现了感应加热中电磁一热耦合场的有限元仿真计算，运用MATLAB实现了感应加热中电磁场的边界元仿真计算。 首先，给出了轴类工件感应加热的电磁一热耦合场有限元模型，在电磁场建模过程中，重点介绍了矢量磁势与标量电势法数学模型的运用；在温度场建模过程中，主要分析了非线性瞬态温度场的控制方程。 最后给出了电磁场和温度场耦合计算的原理和流程。 其次，给出了轴类工件感应加热的电磁场边界元模型，并利用一种表面电流的近似方法，用拉普拉斯方程的基本解代替亥姆霍兹方程基本解用于感应加热电磁场的边界积分方程，降低了基本解在边界上的奇异性，避免了细分边界及其所带来的大计算量。 最后，利用有限元分析软件ANSYS，对谐性电磁场和瞬态温度场进行耦合计算，得到了轴类工件在相同载荷不同加热时间的温度分布；利用MATLAB编程实现了谐性电磁场的边界元计算，得到了工件在加热过程中电磁场的分布。 试验结果与理论分析和实际测量结果基本一致。 关键词感应加热；有限元法；边界元法电磁场；温度场ABSTRACTInduction heating is fast，efficient andwell-proportioned，and itpossesses manyadvantagessuch ashigh-grade production，no pollution，good controllabilityand easytobe automatized，SO itdeveloped veryfast in the recentyearsAs therequiredtechniques andprecision forinduction heatingget higherand hi【gher,the numericalsimulation of itbees moreand moreimportantAs thefast developmentof finiteelementmethod(FEM)，many researchersbegin todo thenumerical simulationby it,and manyachievements havebeenmade，but italso hassome disadvantagessuch asvastputationandintroducingarbitrary boundaries；Boundary elementmethod(BEM)is anew numericalsimulation methoddeveloped fromFEMit hasuniqueadvantages insimulating electromagic field，reducing thedimension of theproblem，dealing with the infiniteboundary simplyand SOon，blazing anew wayinthe numericalsimulationofinduction heatingIn thisthesis，the2D axisymmetricFEMand BEMmodel isbuilt basedon thefoundational principlesofelectromagicfield and thermal field，theelectromagicthermal couplingfield ofinductionheating issimulated withFEM byuniversal FEMsoftware ANSYSand theelectromagic field of the induction heatingissimulated withBEM byMATLABFirstly,the FEMmodel ispresented forsolving the coupling fieldsofaxisymmetric billetin inductionheating processThe choiceofthepotential isemphasizedin the electromagic fieldmodel，and thecontrol equationof nonlineartransientthermal field is analyzedinthe thermal fieldmodelThe principleand theputationflow ofthe couplingof electromagic and thermal fields arealsopresentedSecondly,the BEMmodel ispresented forsolving the electromagicfieldofaxisymmetric billetininductionheatingprocess，and withthe useof asurface currentapproximation，the Greenfunction ofHelmholtzS equationis replacedby theGreenfunction ofLaplaceS equationwhich hasa weaksingularity onthe boundary,SO thevastputation duetO shortelements onthe boundaryis avoidedIn theend，the FEManalysis ofthecouplingoftheelectromagicandthermalfields iscarried outusing ANSYS，thethermaldistribution ofthe billetat differentheatingtime is obtainedThe BEManalysis oftheelectromagicfieldiscarried outusingMATLAB，theelectromagicdistribution inthe heatingprocessisobtainedThe simulationresults ageshown tobe consistentwiththetest resultsandthepracticalmeasure resultsKEYWORDSinduction heating；finite elementmethod；boundary elementmethod；electromagicfield；thermalfield独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果，除了文中特另UDii以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得鑫奎盘堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名徽罐签字日期工1年71日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解鑫鲞盘茔有关保留、使用学位论文的规定。 特授权基盗盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。 同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 (保密的学位论文在解密后适用本授权说明)学位论文作者签名铡妣菱导师签名厂司纱锍签字日期蛔-7年月日签字日期哆年月2日第一章绪论11感应加热的原理和优点第一章绪论根据初级线圈中电流的变化，可以在邻近的闭合次级线圈中产生感应电流的现象，法拉第(Michael faraday)创立了感应加热的概念。 对金属工件的感应加热，其工作原理是在被加热金属工件外绕上一组感应线圈。 当线圈中流过某一频率的交变电流时，就会产生相同频率的交变磁通，交变磁通又在金属工件中产生感应电势，从而产生感应电流(涡流)，产生热量，实现对工件的加热。 感应加热方式是通过感应线圈把电能传递给被加热的金属工件，然后电能再在金属工件内部转化为热能，感应线圈与金属工件并非直接接触，能量是通过电磁感应传递的，因而，我们把这种加热方式称为感应加热。 感应加热技术之所以得到广泛应用，是因为感应加热较之煤、石油产品、煤气等为燃料的加热方式具有如下优点? (1)节约能源消耗采用煤、石油产品或煤气加热，不仅公害严重，而且由于废热往往未能回收利用，其热效率远远低于感应加热。 (2)加热速度快、效率高一般的炉内加热，靠三种传热方式来加热零件或毛坯，即辐射、对流及传导，都属于间接加热，加热速度缓慢。 而感应加热靠物体内部所产生的涡流直接加热，因而具有加热速度快、加热效率高的显著特点，这是一般间接加热难以达到的。 (3)加热质量高对于炉内间接加热，由于加热速度慢，加热时间长，导致零件或毛坯表面氧化脱炭严重。 倘若加热过快，表面和内部温差过大，可能产生严重的热应力，导致零件变形甚至开裂；而加热时间过长，则可能导致晶粒严重长大(指锻造前加热)，给随后的热处理带来困难，甚至造成不良后果。 上述问题，有些是难以克服的，而感应加热的时间短，加热过程容易控制，加热质量也能得到显著改善。 (4)没有公害一般炉内加热均不能避免地产生大量烟尘、废气及废热，污染环境与恶化工第一章绪论作条件，而感应加热属于无公害加热，不产生任何废气。 (5)易于实现机械化和自动化一般情况下，对于炉内加热要实现机械化和自动化比较困难，而感应加热却易于实现。 并且只有实现机械化和自动化才能充分发挥这种加热地高效特点。 随着自动控制技术飞跃发展，自动化仪表不断更新，感应加热过程的自动化程度越来越高。 (6)操作简便，安全可靠采用一般燃料炉加热时，升温和降温过程很长，浪费大量热能，而感应加热起动和停止所需的辅助时间短，且操作简单，安全可靠。 12感应加热技术的发展及应用乜】十九世纪七十年代，Foucault和Heaviside提出了有关涡流和感应加热的理论，使感应加热的工程应用成为可能，随后在这一方面展开了一系列的研究和讨论。 虽然当时所做的工作大多属于理论研究的范畴，却为后来感应加热的实际应用与工程设计打下了基础。 1890年瑞典人发明了第一台感应熔炼炉一开槽式有心炉，但由于受点动力的作用，波动太大，其容量受到了限制，同时阻抗变化也太大，致使功率不稳定，所以现在已经被淘汰了。 1916年美国人制造了闭槽式有心炉，用于有色金属的熔炼，打下了有心炉结构的基础。 1921年无心炉在美国出现，采用火花式中频电源。 中频机组电源、晶闸管变频电源、高频电源和倍频电源也因不同工艺的要求而相继出现。 十九世纪末期感应加热开始应用于表面热处理。 感应电热技术已广泛应用于各个领域，尤其在冶金、机械制造、轻工化学、实验研究以及尖端技术领域。 例如，在机械制造与冶金工业中，产品或零件的生产过程一般需要加热金属、合金的熔化与熔炼，粉末冶金制品的烧结，零件或毛坯的加热以及零件的感应热处理等。 作为感应加热设备来说，可分为工频设备、中频设备以及高频设备，高频设备除用于金属的感应加热外，还可用于非金属电介质的电场加热。 13数值模拟方法的发展与现状131数值模拟方法的分类及发展 (1)有限差分法(FDM)第一章绪论FDM以离散数学为基础，其实质是把研究物体从时间、空间上分割成许多小单元，对这些单元用差分方程式近似代替微分方程式，设定初始条件和边界条件，逐个计算各个单元。 因其算法公式容易推导，易于程序实现，网格剖分算法简单，且计算费用低，得到广泛应用。 然而有限差分法必须对所有的边界条件和交界条件进行算法处理，特别是对复杂的边界和场域内各种介质的处理有一定的困难，也难于实现自动化处理。 (2)积分方程法(IEM)IEM的基础是麦克斯韦方程的积分形式，通过对场中源区的离散，便可以获得对应的代数方程并数值求解。 但是，对于非线性问题，其最终形成的代数方程具有非对称性、非稀疏性的系数矩阵，特别是该矩阵中各元素是由二重积分或三重积分而获得的，具有超越函数或椭圆函数形式，计算量较大。 (3)有限元法(FEM)啼1FEM是目前工程技术领域中实用性最强，应用最为广泛的数值模拟方法。 它的基本思路是将求解区域离散为有限个按一定方式相互联结在一起的单元的组合体，通过构造插值函数，根据变分原理或加权余量法，建立有限元方程。 由于有限元法节点配置的方式任意性，对于形状复杂的形体可以使边界节点完全落在区域边界上，使边界有较好的逼近。 经过离散化得到与微分方程初值问题等价的积分表达式。 与其它数值方法相比，FEM的突出优点是能够求解具有复杂的几何边界条件、几何形状和不均匀材料问题，所以更适合用于对铸造系统等各种复杂问题进行分析。 FEM是1943年由Courant提出来，但直到六十年代，随着电子数值计算机技术的发展，FEM的发展速度才显著加快。 到七十年代中期，全世界已有300多个通用有限元程序，其中较著名的有ADINA,NASTRAN，SAP等，但多数只是计算程序，没有前后处理功能。 到了八十年代，随着计算机技术的迅速发展，有限元程序吸取了计算机图形学、数据库技术等方面的成果，已由单一的计算程序发展为一门综合性技术一一有限元软件技术，并成为工程数值分析的有力工具。 近几年，通用有限元软件有了突飞猛进的发展，国外已出现了许多大型的融合计算数学、力学、计算图形学等最新成果的功能齐全的通用有限元软件，如NSTRAN、ANSYS、PATRAN等。 感应加热过程电磁一热耦合场数值模拟技术的研究发展缓慢，专用有限元软件很少。 由于有限元商业软件功能不断扩大，前、后处理技术逐渐完善，使用起来更加方便，并且多采用开放式结构，有很大的开发潜力，所以感应加热的数值模拟计算主要是利用通用的有限元商业软件，本文的有限元法数值模拟采用大型通用有限元软件ANSYS来完成。 第一章绪论 (4)边界元法(BEM)边界元法是近十余年来发展形成的一种数值计算方法。 该方法的工程应用起始于弹性力学，进而应用于流体力学、热力学、电磁工程、土木工程等诸多领域，并已从线性、静态问题沿拓到非线性、时变问题的研究范畴。 边界元法也是以积分方程为基础的。 它主要采用分部积分如格林定理等，在一定条件下，把该积分方程转化为关于边界的积分方程，并据此进行离散，获得相应的代数方程，求解这些变量的具体数值，然后再求出场域中变量的数值。 它的特点是数值方法和解析方法相结合，尽管增加了数学处理过程的复杂性，但起到了降维的作用。 边界元方法的主要特点是【4l1)降低问题求解的空间维数。 本方法将给定空间区域的边值问题通过包围该区域边界面上的边界积分方程来表示，从而降低了问题求解的空间维数。 2)方程组阶数降低，输入数据量减少。 如前所述，待求量将仅限于边界节点，这不仅简化了问题的前处理过程，而且大幅度降低了待求离散方程组的阶数。 3)计算精度高。 本方法直接求解的是边界广义场源的分布。 根据不同的问题，广义场源可以是位势、场源或等效场源。 场域中任一点的场量将通过线性叠加各离散的广义场源的作用而求得，无须再经微分运算。 此外，由于只对边界离散，离散化误差仅仅边界。 所以边界元法较之有限元法，可望有较高的计算精度。 4)易于处理开域问题。 本方法只对有限场域或无限场域的有限边界进行离散化处理并求解，因此特别适合于开域问题。 132数值模拟方法的研究现状及热点有限元法的主要缺点是对于形状和分布复杂的三维问题，由于其变量多和剖分要求细往往因计算机内存而受限制，特别是包含开域自由空间的电磁计算问题，其建模及求解比较困难。 因此综合有限元法和边界元法优点的混合法的研究正深入展开。 混合法在包含非线性材料介质和复杂区域边界及交界的场域内采用有限元解法，在其余区域，特别如开域部分采用边界元法求解。 克服了三维场问题求解要求计算机内存量大、消耗机时长等难点。 其副作用是使得所求解的代数方程的系数矩阵失去了对称性和稀疏性等特点。 当前在数值模拟中的几个研究热点是耦合问题。 在具体的应用分析中，不同物理现象具有相同或相似的变化规律，既具有相同或相似的边值问题，又为在对其进行统一考虑时带来极大的方第一章绪论便。 对于不同物理场可以应用相似的处理方法，从而简化分析过程。 【5】【6】2)自适应网格划分【71。 对电磁数值计算方法的误差分析，具有较高的实用价值，特别适合于对于数值计算不太熟悉的研究和设计人员。 现在很多商用化的有限元分析软件都集成了自适应网格划分技术。 使用时可以容易地得到合理的网格划分，为进一步的解算打下基础。 3三维场的分析中规范的研究。 在三维场情况下，不仅有解的唯一性问题，还需要选取适当的规范加以限制，针对不同的介质区域采用不同的场量表征形式，可以达到减少数个数的目的，相应产生了各种各样的计算方法。 嘲133感应加热数值模拟技术的概述感应加热数值模拟的研究对象是感应线圈与被加热的工件组成的系统，通过各种数值模拟方法计算出当线圈中通以不同频率的电流时在工件周围空间所激发的电磁场，进而得到工件中产生的涡流场的分布和强度，然后将涡流产生的焦耳热作为温度场的热源，再对温度场进行计算。 在分析中一般对电磁场进行谐性分析，对温度场进行瞬态分析。 感应加热的计算方法在初期是基于电路和电磁场定律以及变压器的分析原理，计算模型过于简化，计算结果近似程度很低，尤其对于形状复杂的感应加热器，难以应用经典的电磁理论进行分析。 为了设计感应加热器和确定重要的积分参数，只能进行试验研究，在材料和时间上造成了巨大的浪费。 虽然通过试验可以确定电源提供的总功率、电气效率和功率因数等参数，但无法获得涡流与温度的分布，对于完全了解感应加热的过程是不充分的，因而难以对感应加热装置进行优化设计。 随着现代数值计算方法的发展，感应加热的应用研究达到了一个新的阶段，各种计算方法应用于感应加热的研究。 文献91l】采用边界元法，文献【12】采用有限差分法，文献【13】采用积分方程法，但绝大多数文献采用有限元法，也有文献14】用边界元法与有限元法相结合的方法。 近年来，由于有限元商业软件的空前发展，大量功能强大的通用有限元软件的出现使得利用有限元方法对感应加热过程进行数值模拟变得十分便利，加之有限元方法在处理多重物理场相耦合问题中的优势，很多研究人员选择利用有限元方法对感应加热负载的电磁一热耦合场进行数值模拟，来对生产实践进行预测。 但是有限元方法的原理决定了它不能达到很高的精度，而且由于计算量大需耗费大量机时。 由于感应加热的集肤效应的存在，利用有限有进行数值模拟时在集肤深度层需要划分至少三层网格，才能保证计算的精度。 所以在此过程中有限元方法的缺点也表现的比较明显。 第一章绪论边界元方法作为一种新兴的数值计算方法，具有易于处理开域问题，准备工作量小、解析时间短，计算精度高等特点。 非常适合处理涡流问题，为感应加热的数值模拟提供了一条新的途径。 国外的一些学者已经在这方面做了一定的工作，但国内的文献中还没有过这方面的记载。 而且目前专门用于边界元计算的软件非常的少，而且很不成熟。 这就使得边界元法在感应加热数值模拟中的应用受到了一定的限制。 用有限元法和边界元法相耦合的方法来对感应加热过程进行数值模拟也是一种很好的尝试，它可以结合有限元方法和边界元方法的优点，在保证计算精度的条件下，加快计算速度。 14课题研究的意义和所做的工作感应加热本身是一个复杂的物理过程，它牵涉电、磁、热、相变、力学方面的综合知识，至今仍无一个完整的耦合理论可以用数学方法来精确耦合该物理过程。 计算机技术的快速发展使得通过计算机数值模拟来描述感应加热过程成为可能，目前已有许多科研工作者将精力投入到这方面的工作中来。 由于有限元方法和边界元方法近年来在理论上的日趋完善和商业软件的迅猛发展，目前对感应加热的数值模拟主要采用这两种方法来实现。 应用有限元方法来进行的数值模拟，目前国内对于这一课题的相关研究多数还仅限于单一场中负荷状态的模拟，不能充分揭示感应加热中多种物理场的相互作用。 在一些考虑到电磁场和温度场耦合作用的研究中，往往假定加热时，材料的各向物理参数为常值，这与实际情况有很大差异，尤其是对于铁磁材料的磁导率，在温度达到居里点时，将变为真空的磁导率，对加热效果影响很大，因此计算结果必然会有较大的误差。 由于边界元方法在电磁场的数值计算方面有着很大的优势，可以使计算大大简化，而且没有引入人为边界，计算的精度也有希望大大改善，所以运用边界元的方法对感应加热过程进行数值模拟是一个重要课题。 本课题分别运用有限元和边界元两种方法对感应加热过程进行数值模拟。 在基于有限元方法的数值模拟中，侧重于谐性电磁场与瞬态温度场的耦合研究，建立相关分析模型，并用大型通用有限元软件ANSYS15l进行仿真计算，得到轴对称工件在相同载荷不同加热时间的温度分布；在基于边界元方法的数值模拟中，侧重利用边界元方法计算感应加热中谐性电磁场的分布情况，这部分分析采用MATLABtM】编程实现。 仿真结果表明，利用有限元法和边界元法得到的实验结果与理论分析和实际测量结果基本一致，为制定感应加热优化工艺奠定了基础，-第一章绪论使得提高加工精度成为可能。 本论文所做工作的主要创新之处在于，在基于有限元方法的分析中考虑了感应加热问题中电磁场和温度场的相互作用，利用耦合的计算流程使得每一步计算都能考虑到负载各项物理参数随温度的变化，使得仿真结果更加接近真实值；在基于边界元方法的分析中利用一种表面电流的近似方法，用拉普拉斯方程的基本解代替亥姆霍兹方程基本解用于感应加热电磁场的边界积分方程，降低了基本解在边界上的奇异性，避免了细分边界所带来的大计算量，在保证计算精度的前提下，降低了计算量，节约了机时。 第二章基于有限元方法的感应加热数值模拟第二章基于有限元方法的感应加热数值模拟21有限元方法概述有限单元的思想最早由Courant于1943年提出。 五十年代初期，由于工程分析的需要，有限元在复杂的航空结构分析中最先得到应用，而有限元法(FiniteElement Method)这个名称则由Clough于1960年在其著作中首先提出。 四十多年来，以变分原理为基础建立起来的有限元法。 因其理论依据的普遍性，不仅广泛地被应用于各种结构工程，而且作为一种声誉很高的数值分析方法已被普遍推广并成功地用来解决其它工程领域中的问题，例如热传导、渗流、流体力学、空气动力学、土壤力学、机械零件强度分析、电磁场工程问题等等。 1965年，Winslow首先将有限元法应用于电气工程问题，其后，1969年Silvester将有限元法推广应用于时谐电磁场问题。 发展至今，对于电气工程领域，有限元法已经成为各类电磁场、电磁波工程问题定量分析与优化设计的主导数值计算方法，并且无一例外地是构成各种先进、实用计算软件包的基础。 总之，有限元法在众多的数值计算方法中已经确立其主导地位，它的发展与应用前景令人瞩目。 211有限元方法的特点有限元方法将整个区域分割成很多小的子区域，并构造定义在子区域上的简单尝试函数，将整个区域中各个子区域所对应的尝试函数线性组合起来，便形成了近似解的表达式。 大大简化了各个矩阵的计算。 有限元法的特点 (1)离散化过程保持了明显的物理意义。 这是因为，变分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理(如力学中的最小势能原理、静电学中的汤姆逊定理等)。 因此，基于问题固有的物理特性而予以离散化处理，列出计算公式，即可保证方法的正确性、数值解的存在与稳定性等前提要素。 (2)优异的解题能力。 与其它数值计算方法相比较，有限元法在适应场域边界的几何形状以及媒质物理性质变异情况复杂的问题求解上，有突出的优点。 换句话说，方法应用不受上述两个方面复杂程度的限制，而且如前所述，不同媒质第二章基于有限元方法的感应加热数值模拟分界面上的边界条件是自动满足的；第 二、三类边界条件不必作单独的处理。 此外，离散点配置比较随意，并且取决于有限单元剖分密度和单元插值函数的选取，可以获得令人满意的数值计算精度。 (3)可方便地编写通用计算程序，使之构成模块化的子程序集合，适应计算功能延拓的需要，从而构成各种高效的计算软件包。 (4)从数学理论意义上讲，有限元法作为应用数学的一个重要分支。 它使微分方程的解法与理论面目一新，推动了泛函分析与计算方法的发展。 212有限元方法的解算步骤根据实际问题的求解需要可以采用一维，二维或三维有限元方法，求解得到的结果是节点上的势函数的值，对于单元上的值可以通过插值方法求得，一般采用一阶插值，如果想要提高计算的精度，可以采用高阶插值法，但同时会加大计算量。 本课题分析的模型为二维轴对称模型，其有限元解法为列出区域中的偏微分方程和边界条件，用三角形或四边形单元将求解区域离散化。 以三角形单元为例，对于其中任意单元，其节点f的形函数为蛘=口?+群x+rTy其中P表示单元，f表示单元中的节点由有限元中形函数的定义。 flij210，七代入中各节点坐标(，乃)(xj，Y，)(，Y。 )得1=a；+p；xi+yyi0=a+p；xj+yyj0=Q+8；Xk+yjyk解该线性方程组，可求得口；，从而确定形函数旷班掣肛等第二章基于有限元方法的感应加热数值模拟exkxi2专产其中s=圭E主篓l为单元的面积，其中L-，七的顺序为逆时针。 同理可确定，七两点的形函数少；，孵，将相应坐标轮换即可。 扩=母iV；+币jl；，+牵kl；，近似解为歹=。 =办y；+力yj+级y；】对于帕松方程V2矽=一q边界条件纠rl=一g型Onr2=ol2利用变分法，对于适当的泛函求关于节点的导数，并令其为0，可得一组线性代数方程；或采用迦辽金加权余数法，取加权函数为形函数，并令加权余数为0，交换积分与求和的顺序，也可以得到一组线性代数方程组。 得整体矩阵方程【K【纠=【厂】其中K】为甩，阶系数矩阵；(71为区域中的节点数)矽为刀l阶节点势函数矩阵；【门为玎xl阶激励矩阵。 系数矩阵和激励矩阵的各元素依据各子单元逐一计算，即整体矩阵的每个元素都由每个单元的贡献叠加而成。 KF=K；e=-I第二章基于有限元方法的感应加热数值模拟兀=鬈P=I其中为整个区域划分的单元数。 由节点f，J，k组成的任意单元对整体系数矩阵的贡献为剖篙乏篆l【群赡磁j其中牛v吖Vv；m=(所群w枷咖=坠堂盟学型n|Q。 玲虻掣矩阵元素具有对称性K口=K膏严圈f?=水弧=Iq(a；+俄x+y；y)dxdy简化表示为f。 =qjS扩=母；+母j飞s+咖t吨其中谚，办，九为单元上各点电势，一。 ，甲。 ，。 为各节点形函数。 飞ej=a+或X+yy第二章基于有限元方法的感应加热数值模拟有限元法解算步骤 (1)确定实际问题所定义的区域、激励和边界条件，根据具体情况决定问题的描述方程。 注意利用求解区域和激励的对称性，以缩小计算区域，减少计算量提高计算的精度。 (2)对整个计算区域离散化，即将区域用节点和有限元表示，节点是有限元的顶点，有限元互相不重叠，并且覆盖整个计算区域。 每个单元都对应相应的激励和材料特性。 (3)对每个有限元依次进行局部处理，即根据特殊的形函数求得某个有限元的局部激励矩阵和局部系数矩阵。 (4)将某个单元的局部激励矩阵和局部系数矩阵的各个元素相加到整体激励矩阵和整体系数矩阵中，从而形成求解节点势函数值的矩阵方程。 把由边界条件确定的节点势函数代入矩阵方程，可以消减方程的阶数，减少计算量。 (5)对形成的矩阵方程应用解线性代数方程组的方法加以求解，便得到节点的势函数值。 在整个区域上的分布函数可以用插值的方法求得。 (6)利用有限元法求得的势函数求解其他关心的量，进行解后处理。 22电磁场的有限元模型本节将阐述有限元法在时变电磁场中的应用。 对于工程电磁场问题，当所分析的物理想象必须考虑电场或磁场随时间变化的特征时，例如大型电机端部电磁场、变压器漏磁场以及其内部电屏蔽、金属构件中的涡流场、涡流损耗；同步机异步起动时阻尼条中的电流分布；波导中电磁波的传播、截止频率与波长分析；感应加热、电磁屏蔽等等物理现象，均应从时变场着手进行分析研究。 如133中已经指出，感应加热负载部分受到高频正弦电流激励所产生的电磁场可归结在时变电磁场的范畴内，因此，本节即在这一范畴内阐述有限元法的应用。 22I涡流场的有限元分析m1要研究涡流场的有限元模型，我们需要先说明电磁场的基本方程，电磁场是一种特殊的物质形态，麦克斯韦方程组描述了电磁场的宏观性质。 作为回顾，下面列出静止媒质中麦克斯韦方程组的微分形式(式(21)一(2_4)和积分形式(式(25)一(28)第二章基于有限元方法的感应加热数值模拟安培定律V万=了+0_2西_0法拉第电磁感应定律V否=一警高斯磁通定律VB=0高斯电通定律VD=P于孕历=，s-5石+，s百01)石于，否d7=一，。 警痴叮。 历五=一JyPav=q于s否z=0其中，艿F罾B=ItH在电源以外区域d=oEE，D，B，H，d分别为电场强度、强度、电流密度；P、q、占、(2-1)(2-9)(2-10)(2-11)电位移、磁感应强度(或称磁通密度)、磁场盯分别表示电荷密度、电荷量、介电常数、磁导率和电导率。 在式(25)和式(26)中，1为闭合曲线，S为以f为边界的曲面；在式(27)和式(28)9，S为封闭曲面，V为S所包围的体积。 上述方程适用于一般的时变电磁场。 需要指出的是，在电磁性能关系式(29)一式(211)中，材料的性质均设为各向同性，因此，占、仃均为标量。 电磁场理论有两个分支。 一个是高频电磁场，研究从无线电频率到光频率的电磁传播问题，相应于这一分支的场方程就是上述的式(22)一式(2-8)。 另一分支是似稳电磁场。 似稳电磁场研究频率较低、满足似稳条件的问题。 在似稳场中，场源随时间的变化足够慢，使相应电磁波的波长大大地大于所研究区域的几何尺寸，因而场点(亦即观察点)的场强几乎瞬时地跟随场源地变化而变化，不像高频电磁场中场点场强的变化滞后于场源的变化。 电工设备中的电磁场多属于似稳电磁场。 对于似稳电磁场，麦克斯韦方程式(21)和式(25)9的位移电流密度与传、J、，、，、，、，234)6D8-5“_，i_22222第二章基于有限元方法的感应加热数值模拟导电流密度相比较可以忽略不计，即半了。 换句话说，在研究似稳电磁场问0l题时，只考虑磁场变化所产生的电场(由方程(12)，不考虑电场变化所产生的磁场。 求解区域中含有导电材料的似稳电磁场又称为涡流场。 涡流场分析的理论与方法正是本节所关注的问题。 图21典型涡流问题中的区域，边界，交界典型的涡流问题可用图21表示，其中Q为涡流区，含有导电媒质，但不含源电流；Q，为非涡流区，其中包含给定的源电流L，为Q，和Q，的内部分界面。 整个区域的边界可分为两种一种描述了法向的磁通密度LB纷110；另一种给定切向的磁场强度rH刀110。 根据上面的说明，由麦克斯韦方程组，在整个区域内用场矢量云、豆、豆表示的涡流场控制方程与边界条件为源电流涡流区域Q，中VH一仃豆=0v一E+塑o西VB110非涡流区域Q中VxH=了，VB=0边界LB刀=0边界oHr110(212)(213)第二章基于有限元方法的感应加热数值模拟交界r12口l啊+B2刀2=0Hl X刀l+2X刀220方程组能唯一确定所研究区域中的B和E。 但是由于在解决实际问题时，直接求解麦克斯韦方程组往往并不方便，通常需要引入不同的电磁位，本文使用矢量磁位与标量电位，即j，一j法来计算涡流场的分布。 222矢量磁势与标量电势法数学模型的导出n81所谓j，痧一j法指的是把涡流场的场域分为涡流区和非涡流区两部分，在涡流区采用矢量磁势j和标量电势矽作为函数，在非涡流区只用j作为函数。 由于磁感应强度云的无散性，即v雪=0，可以定义一个矢量函数j，令B=VX1，这样的定义显然与式(23)相容，因为旋度场的散度为零。 考虑到时间导数和旋度的运算顺序可以交换，由式(22)可以得到v(云+罢)0，其中括df号中的两项之和构成一个无旋的矢量场。 由于无旋场可以表示成一个标量函数的梯度，因此可推出豆一祟一v，矽即为标量电势，可以看作静电场中定义的标优量电势在涡流场情况下的推广。 将矢量磁势和标量电势的定义代入式(2-12)和式(2一13)，推导出在QV(刃锄一仃詈一田(2-14)在Q2内V(刀j)=五在边界L上元Vxj=0在边界上内j厅m0在交界r12上亓。 Vj-=亓Vj(，lV彳1)元l=(v2VXAOx元2分，00二位Q小弘弘m协第二章基于有限元方法的感应加热数值模拟其中l，一1，表示磁阻率。 由于矢量磁势j的定义已经保证了云的无散性，因此v雪=0不需要再显式地出现。 根据矢量场唯一性定理，上述控制方程和边界条件还不能保证矢量磁势j的唯一性，因为j的旋度虽已确定，但j的散度尚未规定。 j的散度的规定有多种选择，不同的散度规定称为不同的规范(Gauge)在经典电磁场理论中，解析法常用的规范有洛伦兹规范和库仑规范。 在有限元数值计算中应用库仑规范比洛伦兹规范要方便的多。 为了使j的解答唯一，除了已规定j的旋度，还需要规定j的散度和j本身的边界条件。 当采用库仑规范时，规定j的散度为零，即VA=0(2-20)若在边界r上给定下列齐次边界条件在边界L上元j=0(j的切向边界条件)(221)在边界r上菇j=0(j的法向边界条件)(222)这样，j的旋度和散度均已确定，在边界上j的切向和法向边界条件也已分别给定，可以证明，在区域Q中j的解将是唯一的，文献n町中给出了j唯一性的证明。 接下来将库仑规范并如(214)一(219)式，得到涡流场定解问题完整表述乜们在Q1内VX(刃彳)一v(w彳)+仃=+DV=0(2-23a)一，14V十仃詈一删=。 在Q2内V(内j)一v(wj)=天在边界L上元j-0刃j0在边界L上元j=0(内j)元=O在边界rl上jF jzv，Vjly2Vj2一一一一一一一第二章基于有限元方法的感应加热数值模拟l，lVXAl元l=y2VXA2元2引一仃詈一删=。 (2-27e)(227d)对于电导率在涡流区域中为恒定值的情况，可得标量电势满足拉普拉斯方程v劾=0在交界上满足学0；在整个涡流区域中矽为恒定值，可选为0。 On这样在涡流区域中仅用矢量磁势j就可以确定整个区域的场量。 基本方程为。 AjpoA=一面s23温度场的有限元模型求解电磁场，涡流场的目的是利用求得的感生电流产生的焦尔热作为内热源来计算温度场。 温度场的计算结果既可以用来分析感应加热过程中工件各部分温度发展变化，为制定热处理工艺路线提供依据，又可以作为求解热应力场、热处理后微观相成分分布的基础。 在感应加热问题中的温度场属于瞬态温度场。 在工件感应加热过程中，特别是加热区域表面附近的高温区，温度变化较剧烈，应考虑材料的热物性随温度的变化关系，而且工件局部在加热过程中温度变化范围大，在沿厚度方向也有较大的温度梯度。 因此为了提高计算精度，应当采用三维非线性瞬态热传导方程来描述加热过程中的温度场T(x，Y，z，f)。 三维非线性瞬态热传导可由下列微分方程控制心昙嗜+号哆+差噔妒磋亿捌式中口为内热源的强度；丁为温度；七为各向同性材料的热传导系数；p为材料密度；C为材料比热；f为加热时间。 感应淬火加热过程中，感生涡流作为内热源其强度为幢212I12q。 2y国M(2-29)式中7为工件材料的电导率；缈为激励电流角频率；j为矢量磁势。 T件表面的边界条件是对流和辐射，公式表示为乜31嘌一h(T圳吲(丁4一)(2-30)式中兀为环境温度；h为对流热传递系数；k为各向同性材料的热传导系数第二章基于有限元方法的感应加热数值模拟Cs为辐射系数；占为StefanBoltzman常数；力为工件表面外法线方向。 24耦合分析感应加热问题是一较为复杂的问题，交流电磁场分析计算出热源的数据，作为瞬态热分析的热载荷求解温度场随时间的变化。 在两个物理场分析中，材料的性能都是随温度明显变化的。 这就需要两种物理场分析的相互耦合。 而且在计算出每一时间段的温度时，需要重新计算该温度下的电磁场的分布，这一分析过程是完全耦合的过程。 本文中的仿真计算采用大型通用有限元软件ANSYS。 ANSYS的耦合场分析考虑了两个或多个物理场之间的相互作用。 场耦合功能可通过耦合场单元直接实现(即直接耦合法)，或通过顺序耦合法实现。 直接耦合法在分析中采用耦合场单元，这些单元在节点上有多个自由度(跨几个场)，允许在分析所涉及的学科间交叉耦合。 例如PLANEl3单元包含温度，磁失势，电压等自由度，涵盖热，磁场，电场。 与直接耦合法不同，顺序耦合分析法包括两种序列分析，每种分析属于一个不同的场，两个场间的耦合通过把第一个分析的结果作为载荷施加到第二个场来实现。 例如在热一应力分析中，从热分析得到的节点温度作为后续结构分析的热载荷来施加。 对于感应加热这样不存在高度非线性相互作用的情形，采用顺序耦合法更为有效和方便，因为可以独自进行两种场的分析。 图22描述了采用顺序耦合法中的物理环境法进行计算的流程。 第二章基于有限元方法的感应加热数值模拟25本章小结图22感应加热电磁场与温度场耦合分析流程本章介绍了有限元方法的原理、特点及其解算步骤；根据感应加热过程中谐性电磁场和瞬态温度场的偏微分方程建立了其有限元计算模型；最后介绍了大型通用有限元计算软件ANSYS中耦合场的不同计算方法及其特点，并给出了利用物理环境法进行感应加热电磁一热耦合场分析的流程。 第三章基于边界元方法的感应加热电磁场数值模拟第三章基于边界元方法的感应加热电磁场数值模拟31边界元方法概述311边界元方法的发展边界元方法的理论在近百年前就已奠定，它的基本思想是用积分方程法解微分方程。 早在1903年，Fredhom就对积分方程的分类做了研究【241，并首先将其应用于弹性力学问题。 此后，许多人对积分方程的性质作了严格的数学讨论，但是直到40年代末，除了一些特殊问题，如第一边值问题，积分方程求解边值问题的研究一直未有比较明显的进展。 这一方面是由于解析求解这些问题极其困难，甚至是不可能的，另外由于它理论性较强，涉足的人不多，人们未能认识到它的潜在价值，所以一直未受到重视。 边界元法的深入研究始于一些苏联学者，如Mikhlin、Smimow、Gakhov和Ivanov等，他们研究了标量型、矢量型积分方程及积分域内奇点和间断的情形，从而为进一步应用边界积分方程方法开辟了道路，但当时还没有为工程所应用1251。 边界元法的应用和发展是在大容量、高速度的计算机发展后出现的。 六十年代高速大型计算机的出现及其硬件的迅速发展，使离散求解积分方程成为可能。 19