小学数学教学中的名词解释(百分数、比和比例)

小学数学教学中的名词解释及教学建议 小学数学教学中的名词解释及教学建议 百分数 比和比例 百分数百分数 表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数 百分数也叫百分率或百分比 百分数通 常不写成分数形式 而用百分号 来表示 如百分之九十六写作 96 百分之一百二十点四 写作 120 4 同样 表示一个数是另一个数的千分之几的数 叫做千分数 千分数用千分号 来表 示 如我国人口出生率应控制在 13 千分之十三 以内 百分数 千分数 由于分母固定 便于比较分析 所以在生产和日常生活中有着广泛的应 用 百分数有时也定义为分母是 100 的分数 但这样定义不能突出它是用来表示两个数 量 的倍比 关系的 教学时 应通过实例使学生理解百分数的意义 在学生初步掌握了百分数的意义和写法后 可 向学生指出百分数与分数的区别 分数既可表示具体 又叫百分比 百分率 在百分数后面不能带计量单位名称 即百分数是不名数 要多举实例帮助学生理解 百分比百分比 见 百分数 百分号百分号 见 百分数 千分数千分数 见 百分数 千分号千分号 见 百分数 成数成数 我国传统算术中 以 成 表示十分之一 如 三成 就表示十分之三 九成三就表示十分之 九点三 这在农业收成的统计中应用较多 如 今年油菜比去年增产二成 等 根据分数基本性质 很容易把成数化成百分数 如 三成 即 30 九成三 即 93 小学里 一般结合百分数的 认识介绍成数 折扣折扣 折扣是商业用语 打折扣表示按成数减少 如某商品打八折 即按原价的八成 80 出售 打 七五折即按原价的七成半 75 出售 打对折即按原价的 50 出售 利率利率 利率是金融用语 又称 利息率 它表示一定时期内利息数与本金的比值 如每月的利率是 4 8 月息 4 厘 8 毫 一年的利息是 本金 利率 12 如本金是 100 元 则一年利息数为 100 4 8 12 5 76 元 百分率百分率 见 百分数 百分率在工农业生产中应用很广 例如 上列式子中 100 是表示其结果用百分数表示 物价指数物价指数 也称 商品价格指数 反映各个时期商品价格水平变动情况的指数 计算公式为 式中 为总计符号 p1为报告期的商品价格 p0为基期的商品价格 q1为报告期的商品销 售量 小学数学教材里 一般不讲这个知识 复种指数复种指数 一年内播种面积占耕地面积的百分数 叫做复种指数 用来表示复种程度的高低 例如 耕地面积 30 公顷 一年内播种的总面积为 75 公顷 则 百分数 小数的互化百分数 小数的互化 百分数 小数互化的方法是 把百分号去掉 同时把小数点向左移动两位 就可把百分数化成 小数 把小数点向右移动两位 同时在后面添上百分号 就可把小数化成百分数 教学时 通常先讲小数化百分数 再讲百分数化小数 小数化百分数 可联系小数化分数的方 法 如 引导学生观察比较 得出小数化百分数的方法 也可以扩展到整数化百分数 如把 2 化成百分 数是 200 百分数化小数可运用上例逆向分析 学生容易理解百分数化小数的方法 也可以让学生用分母 100 去除百分数的分子 36 36 100 0 36 确信化的方法的可靠性 练习中可安排 0 6 300 等化成小数或整数的题目 对于百分号前面是小数的 化成小数 时 小数点移位方向容易弄错 要注意指导 百分数 分数的互化百分数 分数的互化 百分数化分数的方法是 先把百分数改写成分数形式 然后能约分的要约成最简分数 分数化 百分数的方法通常是 先把分数化成小数 再把小数化成百分数 遇到除不尽时 如没有特定要求 则通常除到小数第四位 四舍五入取三位小数 然后化成百分数 教学时 通常先讲分数化百分数 再讲百分数化分数 分数化百分数 可以采取从特殊到一般 的教学过程 例如 先讨论分母是 100 的约数或倍数的分数化成百分数 再讨论任意一个分数化百分数 启发学生从分数化小数 再将小数化百 分子除以分母所得的商要保留三位小数 再化成百分数 书写时要注意等号的运用 因为 所以前面用约等号 后面用等号 如果把分数直接写成百分数 则应写 百分数化分数 学生容易理解 着重指导改写成分数后 能够约分的要约成最简分数 是假分 数的一般要化成带分数或整数 如 其中百分号前是小数的化成分数 通常运用分数的基本性质 使分子成为整数 能约分的再约 成最简分数 数的互化 2 可以安排包括分数 百分数 小数等形式的几个数的大小比较的练习 例如 选择题 和 75 不相等的数是 把下面各组数 按从大到小的顺序排列 并用 连接 比比 两个数相除又叫做两个数的比 如 3 比 2 表示 3 2 记作 3 2 其中 是比号 读作 比 比号前面的数叫做比的前项 比号后面的数叫做比的后项 比的前项除以后项所得的商叫 做比值 比也可以写成 比的概念是从两个同类量之间比较倍数关系而产生的 在实际应用中 也需要把两个不同类量 作比较 如路程与时间之比 但不论是同类量还是不同类量的比 总可以抽象为两个数的比 两数 相比较 既可比较相差多少 差比 又可比较两者的倍数关系 倍比 比在数学中只是比较两数的 倍数关系 在教学中 还要指出体育比赛中用的 比 虽然也借用 号 但只是表示对抗双 方的成绩记录而已 与数学中的比有本质的不同 1 数学中 根据比的定义 比的后项不可为零 而体育比赛记分可出现 2 0 0 0 等情况 2 数学中比是可以化简的 而体育比赛的记分不可化 简 两个不同类量的比 形成一种新的量 如路程与时间之比 就是速度这个新的物理量 如 100 千米 2 时 50 千米 时 在小学里只要求写出数值比 比式中不写单位名称 两个数的比是一个有序概念 颠倒两个数的位置 就得到另一个比 如 甲数是 5 乙数是 7 甲数和乙数的比是 5 7 乙数和甲数的比是 7 5 按语言叙述的顺序 可区分谁与谁比 在小 学里 一般不出 反比 的名称 如 3 5 的反比是 5 3 求比值时 如果题中没有直接给出比式 那么要注意根据题意确定比的前 后项 同类量相比 要注意化成同单位后 再行计算 不同类量相比 只要写出相应数值的比 再求值 比值可以用整数 小数或分数 百分数 来表 示 应向学生说明比与比值的联系与区别 如 5 3 指出 当比值大于 1 时 表明前项大于后项 习惯上称前项是后项的若干倍 当比值小于 1 时 表 明前项小于后项 习惯上称前项是后项的几分之几 目的是把比与分数意义 分数的应用联系起 来 练习组织 1 认识比的意义的练习 1 填空 一项工作 甲独做 8 天完成 乙独做 10 天完成 甲乙两人工作时间的比是 工作效率的 比是 如果 A B C 那么 A 是比的 B 是比的 C 是比的 2 选择题 1 克白糖完全溶解在 10 克水中 白糖与糖水的比是 A 1 10 B 10 1 C 1 11 D 11 1 2 求比值的练习 2 求下列各比的比值 比号比号 见 比 比值比值 见 比 比的前项比的前项 见 比 比的后项比的后项 见 比 反比反比 把一个比的前项与后项颠倒位置后所得到的新的比 叫做原来这个比的反比 如 a b 是 b a 的反比 b a 也是 a b 的反比 a 0 比的基本性质比的基本性质 比的前项和后项都乘以 或除以 相同的数 零除外 比值不变 这叫做比的基本性质 用式子 表示是 教学时 启发学生根据比和除法 分数三者之间的关系来推导比的基本性质 比 分数与除法的关系如下表 表中相应名称间只是 相当于 的关系 而非完全等同 三者还是有区别的 比 表示两个 数间的倍比关系 比号是一种 关系符号 除法是一种运算 除号是一种 运算符号 分数是 一个数 由分数的基本性质可以推得比的性质 比的前项和后项都乘以或者除以相同的数 零除外 比 值不变 也可由除法里商不变的性质推出比的性质 从而进一步让学生理解除法 分数与比三者间 的关系 要训练学生正确地叙述比的性质 分数的基本性质以及商不变的性质 比的化简比的化简 前项 后项是互质数的比叫做最简整数比 把一个比化为最简整数比 叫做比的化简 化简比 的依据是比的基本性质 教学时 通常分三种情况 1 整数比的化简 联系分数中的约分和最简分数的概念 建立 最简整数比 的概念 得出化简的方法 2 含有小数的比的化简 引导学生运用小数点移动规 律 把小数比化成整数比 再把整数比化简 3 含有分数的比的化简 用分母的最小公倍数去乘 比的前 后项 把分数比化为整数比 再把整数比化简 亦可用 前项 后项 来化简 如 0 25 等 让学生在比较中挑选最合理 灵活的方法 学生容易把比的化简和求比值混淆 可用下表加以对照 还可以通过以下的例子让学生掌握 最简整数比最简整数比 见 比的化简 求比的未知项求比的未知项 已知比值和前项 后项中的一项 可以求出另一项 根据比和除法的关系 学生容易理解求比的前项相当于求除法里的被除数 求比的后项相当于 求除法里的除数 并概括出求比的未知项的关系式 单比单比 两个数量所成的比 叫做单比 例如 7 4 5 11 都是单比 现行小学数学课本里一般不出 这个名称 复比复比 有两个或两个以上的单比 把各单比的前项相乘的积作为前项 各单比的后项相乘的积作为后 项 这样所得的新比 叫做复比 例如 7 4 和 5 11 的复比是 7 5 4 11 复比的值等于各单比的值的连乘积 现行小学里一般不讲复比 连比连比 表示三个 或三个以上 同类量的倍比关系的比式叫连比 如 甲 乙 丙 7 3 5 表示 甲 乙 7 3 乙 丙 3 5 甲 丙 7 5 可以把几个比化为一个连比 1 第一个比的后项正好等于第二个比的前项时 可直接写出连 比 如 甲 乙 7 3 乙 丙 3 5 则 甲 乙 丙 7 3 5 2 第一个比的后项不等于第二个比的前项时 可运用比的性质 使它们变成相等 如 甲 乙 7 3 乙 丙 2 5 因为 7 3 14 6 2 5 6 15 所以甲 乙 丙 14 6 15 目前小学里一般结合按比例分配应用题的教学对连比附带作些介绍 要注意 连比中的 不能用 代替 连比不是连除 比例尺比例尺 在绘制地图或机器零件的平面图时 需要把实际距离 长度 缩小或放大一定的倍数 画在图纸 上 图上距离与实际距离的比就叫做这张图纸的比例尺 即 图上距离 实际距离 比例尺 或 地图是把实际距离缩小若干倍得到的 所以地图的比例尺的值是小于 1 的 为了计算的方便 绘制地图时通常选用前项为 1 的比例尺 如 1 5000 比例尺的值是大于 1 的 如 5 1 表示放大 5 倍 比例尺是一个比 但实际上它是表示图上距离和实际距离成正比例 所以它既可以作为比的知 识的应用 放在比的部分教学 又可作为正比例的应用 放在正比例部分教学 前者 在求图距或 实距时 把比例尺作为一个比值看 用求比的未知项的方法来计算 后者 在求图距或实距时 把 比例尺作为一个比看 用解比例来计算 目前小学里一般采用前者的编排方法 并以地图比例尺为 重点 为了扩大学生的知识面 小学里还介绍线段比例尺 在图上附一条注有数目刻度的线段 来 表明地面上相应的实际距离 如上图表示图距 1 厘米相当于实距 50 千米 换成数字比例尺是 1 5000000 教学中要注意说明 1 比例尺是一个比值 是不名数 后面不应带有长度单位名称 2 计算 中 图距与实距应化成相同单位的量值 3 选用比例尺或化简比时 力求把前项化简为 1 4 比 例尺是长度比 而不是面积比 在求图形的实际面积或图纸上面积时 应根据比例尺先求出计算面 积所需要的长度 再算面积 如 在比例尺是 1 100 的图纸上 量得一个长方形的长是 5 厘米 宽是 3 厘米 这个长方形的实 际面积是多少 解 5 100 500 厘米 3 100 300 厘米 500 300 150000 平方厘米 答 这个长方形的实际面积是 15 平方米 教学时 可组织学生测量教室或操场 然后选用恰当的比例尺 绘制出教室 操场的平面图 比例尺应用题举例如下 北京到天津的实际距离是 120 千米 量得图上距离是 4 8 厘米 求这幅地图的比例尺 解 4 8 厘米 120 千米 4 8 12000000 单位统一为厘米 1 2500000 化简 线段比例尺线段比例尺 见 比例尺 比例比例 表示两个比相等的式子叫做比例 组成比例的四个数 叫做比例的项 两端的两项叫做外项 中间的两项叫做内项 如 如果一个比例的两个内项相等 那么这样的内项就叫做两个外项的比例中项 如 1 2 2 4 2 是 1 和 4 的比例中项 比例中项的概念 在小学一般不作介绍 教学时 要使学生理解组成比例的条件是 等号两边的两个比的比值相等 可通过各种练习帮 助学生理解组成比例的条件 如给出一组比或一些数 要学生组成比例式 比和比例既有联系又有区别 要让学生明确它们的区别 比由两个数组成 表示两个数的倍比 关系 比例是由两个比组成的等式 表示四个数间成比例的关系 比例的项比例的项 见 比例 比例的内项比例的内项 见 比例 比例的外项比例的外项 见 比例 比例中项比例中项 见 比例 比例的性质比例的性质 在比例里 两个外项的积等于两个内项的积 这叫做比例的基本性质 即 若 a b c d 则 ad bc 由比例的基本性质还可推得比例的其他性质 1 反比定理 如果两个比相等 那么它们的反比也相等 即 2 更比定理 交换比例式的两个内项 或外项 所得的比例式仍旧成立 即 3 等比定理 几个相等的比的前项之和与后项之和的比 等于这些比中的任何一个比 即 4 合比定理 在一个比例里 第一个比的两项之和与它后项的比 等于第二个比的两项之和 与其后项的比 即 5 分比定理 在一个比例里 第一个比的两项之差与它后项的比 等于第二个比的两项之差 与其后项的比 即 6 合分比定理 在一个比例里 第一个比的两项之和与两项之差的比 等于第二个比的两项 之和与两项之差的比 即 比例的基本性质实际上是四个数成比例的充分必要条件 可以让学生自己找出规律 要判断 四个数是否成比例 只要看其中最大数和最小数的乘积是否等于另两个数的乘积 然后可让学生把 成比例的四个数 都不等于 0 写成不同的比例式 如 由 2 6 3 4 可写出 2 3 4 6 2 4 3 6 4 2 6 3 等比例式 有八个不同的比例式 但不必要求学生写全 练习组织举例 1 认识比例意义的练习 选择题 填空 在 2 3 4 5 10 这几个数中 选出其中四个数组成比例是 判断题 下列各组的两个比能否组成比例 把组成的比例写出来 B 10 12 和 15 18 2 掌握比例基本性质的练习 比例的基本性质比例的基本性质 见 比例的性质 反比定理反比定理 见 比例的性质 更比定理更比定理 见 比例的性质 等比定理等比定理 见 比例的性质 合比定理合比定理 见 比例的性质 诱导比例诱导比例 对于一个已知比例的某些项 施行某些运算 可以得到一些新的比例 这些新的比例叫做从已 知比例得到的诱导比例 例如 反比定理 更比定理 等比定理 合比定理 分比定理 合分比定 理等都是诱导比例 解比例解比例 已知比例中的任何三项 求另外一个未知项 叫做解比例 解比例可根据比例的基本性质 如 由 3 8 15 x 得 3x 15 8 x 40 也可先算出一个比的比值 把解比例转化为求比的未知项 如 x 7 2 5 可变成 x 7 0 4 求比的前项 得 x 0 4 7 2 8 解答后 把求得的未知项 x 的值 代入原比例式 再根据比例的意义或比例的基本性质进行验 算 判断比例是否成立 成正比例的量成正比例的量 两种相关联的量 如果它们相对应的两个数的比值一定 那么就叫做成正比例的量 它们的关 系叫做正比例关系 如果用字母 x y 分别表示两种成正比例的量 用 k 表示一定的比值 其关系 式就是 学习成正比例的量 要求学生对 变量