王少卓调研报告

毕业 设计 论文调研报告 学生姓名 王少卓 专业班级 R 计算 111 所在院系 理学院 指导教师 郑成德 职称 讲师 所在单位 信息与计算科学教研室 完成日期 2016 年 4 月 28 日 大连交通大学 2016 届本科生毕业设计 论文 实习 调研 报告 1 调研报告 一 一 课题的来源及意义课题的来源及意义 震荡函数作为一大类函数 在工程领域都有重要的应用 但由于这些函数 的震荡性 使得对这类函数在某一区间上的数值积分积分变得异常困难 其主 要是积分的误差的控制问题 或是收敛性的讨论 例如对于一简单的震荡函数 f x sin 1 x 在任一包含原点附近的区间上的积分 经典的数值积分公式例 如梯形公式 辛普森法则 牛顿 科茨公式等 对它的收敛性难以保证 或是 误差难以控制 这类函数的特点是函数值在积分区间上急剧震荡 无法找到一 个确且的点使得这类函数的函数值在这个值附近的波动都比较小 或是这个点 太难找了 或是即就是找到了 最终的误差也难以把握 可能我的会得到一个 不收敛的函数值 因此 我们有必要对这类函数另行讨论 针对其中一部分找到较好的方法 二二 国内外起源以及发展状况国内外起源以及发展状况 目前 对振荡函数数值积分公式进行的研究已取得一些成果 对这一问题 的解决最早要归功于 Fillon 其后在此基础上出现了很多解决这一问题的方法 比如我国著名数学家徐利治先生提出了渐进展开的徐氏公式 另外还有 Lobatto 法和 Price 法等 但它们都或多或少存在一些弊端 有的方法需要计算大量的 一阶或高阶导数 这样会使得问题更加复杂化 而且高阶导数的计算会降低最 终结果的精度 另外 有的需要大量复杂的计算 这就使得算法的时间效率和 空间效率有所降低 因此在实际应用中 对于被积函数含有振荡的积分以及广 义积分的计算中 需对被积函数作适当的处理再进行近似计算 才能提高计算 结果的精度 三三 本课题的研究目标 研究内容 研究方法 研究手段本课题的研究目标 研究内容 研究方法 研究手段 3 13 1 目的与内容目的与内容 直观上 函数f x 在某一区间上震荡 也就是说函数没有断点 在这个区间上 函数多次回到y b这条直线上 又多次远离 y b这条直线 但函数 与y b任意相邻的两 交点距离 不一定相同 同时 函数和y b的最远点的纵坐 标也不一定相同 即我们可以看 到所谓的震荡函数只是函数值在急剧波动 对函数本身的要求较广 如 f x 1 x sin x 这类函数 或是类似于f x sin k x 2 k 不等于0 这类 如此看来 任一连续的周期函数也是震荡函数 且任一震荡函数可以视为振幅和周期不断随位 置变化的 周期函数 又由魏尔斯特拉斯第二逼近定理 我们知道任一区间上的周期 大连交通大学 2016 届本科生毕业设计 论文 实习 调研 报告 2 函数可以由一个三 角多项式函数进行逼近 由此我们在此只讨论三角性或 是由其经过 有限 次的运算构成的函 数 便可以解决一大类问题了 3 23 2 方法与手段方法与手段 积分运算是微积分学的一个重要的分支 在加速度已知的情况下 积分运 算用来求它的速度 或者通过速度求出位移 计算图形面积 预测人口增长等 其他许多重要的应用 在微积分课程中已经学过许多求函数 f x 的不定积分的 方法 给定函数 f x 它的不定积分是满足条件 F x f x 的函数 F x 在实际计算中常常遇到求定积分的问题 根据积分学的基本定理 只要求出原 函数便可求出定积分的值 也学过定积分的计算方法 牛顿 莱布尼兹公式 可 以利用不定积分计算定积分的值 然而有些被积函数的不定积分无法用普通的 函数表示 求原函数往往是困难的 有时甚至是不可能的 当被积函数的不定 积分未知时 我们就用到了数值积分方法 所以我们要讨论数值积分方法 即 用数值方法求积分的近似值 1 Newton Cotes求积公式 设 a b 为有限或无穷区间 用被积函数 f x 的以 a x0 x1 x2 xn b 为 节点的 n 次Lagrange插值多项式及其余项代替被积函数 当求积节点为等距节点 Qn f wk n fk k 0 n 2 1 Qn f 称为数值积分公式 其中wk n lk x dx a b k 0 1 n lk x 为 n 次差值基函数 x1 x2 xn称为求积积点 设 a b 为有限区间 步长 h b a n 则相应的公式 2 1 便称为 n 阶 Newton Cotes求积公式 梯形公式式建立的基础是用线性插值多项式逼近被积函数 即当Newton Cotes求积公式中 n 1 时 得 Q1 f b a 2 f a f b 称为梯形公式 我们可以使逼近函数的效果更好如果用二次或三次插值多项式 辛普森公 式建立的基础就是这种逼近 即Newton Cotes求积公式中当 n 2 时 得 Q2 f b a 6 f a 4 f a b 2 f b 称为抛物线公式 也叫Simpson公式 2 复合求积公式 应用高阶的Newton Cotes型求积公式计算积分会出现数值不稳定 低阶公式 如梯形和抛物线公式 又往往因积分区间步长过大使得离散误差大 然而 若 积分区间愈小 则离散误差小 因此 为了提高求积公式的精确度 又使算法 简单易行 往往使用复化方法 即把积分区间分成若干个子区间 在每个子区 间上使用低阶公式 然后将结果加起来 这种公式称为复合求积公式 复合求 大连交通大学 2016 届本科生毕业设计 论文 实习 调研 报告 3 积公式是一种典型的求积方法 通过低阶的求积公式构造出收敛性极好的求积 方法 主要有复合梯形公式和复合Simpson公式 记 h b a m xk a k h k 0 1 m 在每个小区间 xk xk 1 上使用 梯形求积公式 便得到复合梯形求积公式 Q1 m f h 2 f0 fm 2 fk k 1 m 1 如将 a b 区间 2 m 等分 记 h b a 2 m xk a k h k 0 1 2 m 在每个小区间 x2 i x2 i 2 上使用抛物线求积公式 则得复合抛物线公式 Q2 2 m f h 3 f0 4 f2 i 1 i 0 m 1 2 f2 i i 1 m 1 f2 m 四四 完成本论文的进度安排完成本论文的进度安排 第 1 周 搜集整理径向基函数及其在图像处理中的应用相关文献资料 研究 内容 研究目的 研究方法 手段等 经过与指导老师的讨论准 备论文的调研 开题 报告 第 2 周 撰写毕业论文调研报告 于周五前提交 5000 字的调研报告 填写 进度计划与考核表 第 3 周 继续搜集径向基函数及在图像处理应用的相关资料 根据指导老师 布置的外文文献开始进行翻译 同时准备毕业论文初稿 第 4 周 继续进行翻译外文文献 列出毕业论文提纲 与指导老师讨论后撰 写毕业论文初稿 第 5 周 按照指导老师要求于周五前提交翻译好的外文文献 撰写毕业论文 初稿 第 6 周 撰写毕业论文初稿 第一部分 外文翻译评阅定稿 准备期中检 查材料 第 7 周 整理毕业论文初稿 注意论点正确 论据充分 内容结构安排合理 合规范性要求 并有一定的现实意义和创新性 第 8 周 经过整理 向指导教室提交毕业论文初稿 第 9 周 按指导教师意见修改论文初稿 第 10 周 经过修改 完成毕业论文 12000 字 并打印所有论文 外文翻 译 调研报告等相关资料 第 11 周 周一提交毕业论文完成稿的电子稿和打印稿 准备毕业论文答辩 第 12 周 论文答辩 五 主要参考文献 1 林成森 数值计算方法 上 M 北京 科学出版社 2004 173 179 2 黄明游 刘播 徐涛 数值计算方法 M 北京 科学出版社 2005 125 大连交通大学 2016 届本科生毕业设计 论文 实习 调研 报告 4 132 3 Micheal T Heath Scientific Computing An Introductory Survey M 2nd edition 北京 清华大学出版社 2002 186 199 4 马昌凤 林伟川 现代数值计算方法 M 北京 科学出版社 2008 100 120 5 Richard L Burden J Douglas Faires Numerical Analysis M 7th edition 北京 高等教育出版社 2003 4 221 264 6 李毅夫 一种新型高效的振荡函数数值积分方法 J 计算数学 1992 14 04 506 512 7 熊华 杨国孝