一阶线性微分方程教学设计.doc

一阶线性微分方程 教学设计课程名称常微分方程授课内容第一章第四节授课时间约8分钟授课题目一阶线性微分方程所属学科数学课程类型数学专业课适用对象继续教育学生使用教具投影仪教学背景一阶线性微分方程是一类非常重要的微分方程，它具有完整的理论基础和丰富的实际背景。对于一阶线性常微分方程的学习，关键要掌握它的求解方法：常数变易法，它是一种非常有效且重要的求解方法。教学目标（1）了解一阶线性微分方程形式（2）熟练掌握求一阶非齐次线性微分方程解的常数变易法教学重点和难点常数变易法思路设计提问 一阶线性微分方程的定义 一阶线性非齐次微分方程解法举例小结方法手段教学方法： 启发式教学法教学手段：多媒体辅助教学所用教材微分方程东北师范大学微分方程教研室，第二版，高等教育出版社教学内容第四节 一阶线性微分方程 我们已经学习了变量可分离方程，和齐次型方程的解法。一阶线性微分方程是一类非常重要的微分方程，它具有完整的理论基础和丰富的实际背景. 本节课我们将主要来学习一阶线性微分方程的定义，以及它的求解方法.一、定义一阶线性微分方程的形式是（1）称为“自由项”. 如果, 即 （2）称为一阶线性齐次方程. 如果不恒为零, 则称(1)为一阶线性非齐次方程.注：线性是指关于未知函数y和它的导数是线性的.二、一阶线性微分方程的通解 先考虑线性齐次方程(2), 注意这里“齐次”的含意与1.3节中的不同, 这里指的是在(1)中不含“自由项”, 即. 显然, (2)是一个变量可分离方程, 由1.2节易知它的通解是（3）问题：如何求解一阶线性非齐次微分方程呢？观察方程 (1)、(2)发现，这两个方程是既有联系又有区别. 两式左端是一样的，而右端是不一样的. 因此猜想这两个方程的解也应该有一定的联系和区别. 并且，还想利用齐次方程 (2) 的通解 (3) 去求非齐次方程(1)的通解. 显然，齐次方程 (2) 的通解不是非齐次方程 (1) 的通解. 因为，如果将 (3) 式直接代入 (1) 式，则会有 f (x) 等于 0. 要使 (1) 式恒等，(1) 式左边必须要多出一项 x 的函数与右边的 f (x) 相对应. 根据函数乘积的求导公式和 (3) 式的特点，如果把 (3) 式变换成：两个函数的乘积，则有可能多出一项. 而 (3) 式是由常数 C 和指数函数两部分构成，要使 (3)式变换成两个函数的乘积，最简单的变换就是把 C 变换成函数 C (x). 猜想非齐次方程(1)有形如（4）通解, 其中 C (x) 是待定函数. 将(4)代入(1), 有即 积分后得把上式代入(4), 得到(1)的通解公式为.仔细观察非齐次方程(1)的通解公式, 我们可以发现它由两项组成.第一项是对应齐次方程的通解, 第二项是非齐次方程的一个特解.结论：一阶线性非齐次方程(1)的通解, 等于它所对应的齐次方程(2)的通解与非齐次方程(1)的一个特解之和.例1 求解方程.解 显然, 这是一个一阶线性非齐次方程. 利用常数变易法，先求对应齐次方程的通解为.由常数变易法, 令为原方程的解， 代入原方程有,即, 积分得,代回后得原方程的通解