圆周角习题精选

阶段测试阶段测试 一 选择题一 选择题 1 在 在 O 中 中 AOB 84 则弦 则弦 AB 所对的圆周角是所对的圆周角是 A 42 B 138 C 84 D 42 或或 138 2 如图 圆内接四边形 如图 圆内接四边形 ABCD 的对角线的对角线 AC BD 把四边形的四个角把四边形的四个角 分成八个角 这八个角中相等的角的对数至少有分成八个角 这八个角中相等的角的对数至少有 A 1 对 对 B 2 对 对 C 3 对 对 D 4 对 对 3 如图 如图 AC 是是 O 的直径 的直径 AB CD 是是 O 的两条弦 且的两条弦 且 AB CD 如果 如果 BAC 32 则 则 AOD A 16 B 32 C 48 D 64 二 计算题二 计算题 4 如图 如图 AD 是是 ABC 外接圆的直径 外接圆的直径 AD 6cm DAC ABC 求 求 AC 的长 的长 5 已知 已知 DBC 和等边和等边 ABC 都内接于都内接于 O BCD 75 如图 求 如图 求 ABD DBC 的度数 的度数 6 如图 圆内接 如图 圆内接 ABC 的外角的外角 MAB 的平分线交圆于的平分线交圆于 E EC 8cm 求 求 BE 的长 的长 7 如图 等腰三角形 如图 等腰三角形 ABC 的顶角为的顶角为 50 AB AC 以 以 AB 为直径的圆交为直径的圆交 AC BD 与点与点 E D 连接 连接 DE 1 求角 求角 EDC 的度数的度数 2 证明 证明 BD BC 8 如图 如图 AB 是是 O 的直径 的直径 AB 2cm 点 点 C 在圆周上 且在圆周上 且 BAC 30 ABD 120 CD BD 于于 D 求 求 BD 的长 的长 9 如图 如图 ABC 中 中 B 60 AC 3cm O 为为 ABC 的外接圆 求的外接圆 求 O 的半径 的半径 10 已知等腰三角形的腰长为 已知等腰三角形的腰长为 13cm 底边长为 底边长为 10cm 求它的外接圆半径 求它的外接圆半径 22 如图 如图 ABC 中 中 AD 是是 BAC 的平分线 延长的平分线 延长 AD 交交 ABC 的外接圆于的外接圆于 E 已 已 知知 AB a BD b BE c 求 求 AE 的长 的长 23 如图 如图 ABC 中 中 AD 是是 BAC 的平分线 延长的平分线 延长 AD 交交 ABC 的外接圆于的外接圆于 E 已 已 知知 AB 6cm BD 2cm BE 2 4cm 求 求 DE 的长 的长 24 如图 梯形 如图 梯形 ABCD 内接于内接于 O AB CD 的度数为的度数为 60 B 105 O 的半的半 径为径为 6cm 求 求 BC 的长 的长 25 已知 如图 已知 如图 AB 是是 O 的直径 的直径 AB 4cm E 为为 OB 的中点 弦的中点 弦 CD AB 于于 E 求 求 CD 的长 的长 26 如图 如图 AB 为为 O 的直径 的直径 E 为为 OB 的中点 的中点 CD 为过为过 E 点并垂直点并垂直 AB 的弦 求的弦 求 ACE 的度数 的度数 27 已知 如图 在 已知 如图 在 ABC 中 中 C 90 A 38 以 以 C 为圆心 为圆心 BC 为半径作圆 为半径作圆 交交 AB 于于 D 求 求的度数 的度数 28 如图 如图 ABC 内接于圆内接于圆 O AD 为为 BC 边上的高 若边上的高 若 AB 4cm AC 3cm AD 2 5cm 求 求 O 的半径 的半径 29 设 设 O 的半径为的半径为 1 直径 直径 AB 直径直径 CD E 是是 OB 的中点 弦的中点 弦 CF 过过 E 点 如图 点 如图 求求 EF 的长 的长 30 如图 在 如图 在 O 中直径中直径 AB CD 互相垂直 弦互相垂直 弦 CH 交交 AB 于于 K 且 且 AB 10cm CH 8cm 求 求 BK AK 的值 的值 31 如图 如图 O 的半径为的半径为 40cm CD 是弦 是弦 A 为为的中点 弦的中点 弦 AB 交交 CD 于于 F 若 若 AF 20cm BF 40cm 求 求 O 点到弦点到弦 CD 的弦心距 的弦心距 32 如图 四边形 如图 四边形 ABCD 内接于以内接于以 AD 为直径的圆为直径的圆 O 且 且 AD 4cm AB CB 1cm 求 求 CD 的长 的长 三 证明题三 证明题 33 如图 已知 如图 已知 ABC 内接于半径为内接于半径为 R 的的 O A 为锐角 为锐角 求证 求证 2R A BC sin 34 已知 如图 在 已知 如图 在 ABC 中 中 AD BD 分别平分分别平分 BAC 和和 ABC 延长 延长 AD 交交 ABC 的外接圆于的外接圆于 E 连接 连接 BE 求证 求证 BE DE 35 如图 已知 如图 已知 D 为等边三角形为等边三角形 ABC 外接圆上的外接圆上的上的一点 上的一点 AD 交交 BC 边于边于 E 求 求 证 证 AB 为为 AD 和和 AE 的比例中项 的比例中项 36 已知 如图 在 已知 如图 在 ABC 中 中 AB AC 以 以 AB 为直径的圆交为直径的圆交 BC 于于 D 求证 求证 D 为为 BC 的中点 的中点 37 已知 如图 已知 如图 O 是是 ABC 的外接圆 的外接圆 AD BC 于于 D AE 平分平分 BAC 交交 O 于于 E 求证 求证 AE 平分平分 OAD 38 已知 如图 已知 如图 ABC 的的 AB 边是边是 O 的直径 另两边的直径 另两边 BC 和和 AC 分别交分别交 O 于于 D E 两点 两点 DF AB 交 交 AB 于于 F 交 交 BE 于于 G 交 交 AC 的延长线于的延长线于 H 求证 求证 DF2 HF GF 39 已知 如图 圆内接四边形 已知 如图 圆内接四边形 ABCD 中 中 BC CD 求证 求证 AB AD BC2 AC2 40 已知 如图 已知 如图 AB 是半圆的直径 是半圆的直径 AC 是一条弦 是一条弦 D 是是中点 中点 DE AB 于于 E 交 交 AC 于于 F DB 交交 AC 于于 G 求证 求证 AF FG 41 如图 如图 AB 是是 O 的弦 的弦 P 是是 AB 所对优弧上一点 直径所对优弧上一点 直径 CD AB PB 交交 CD 于于 E 延长 延长 AP 交交 CD 的延长线于的延长线于 F 求证 求证 EPF EOA 42 已知 如图 已知 如图 AB 是是 O 的直径 弦的直径 弦 CD AB 于于 E M 为为上一点 上一点 AM 的延长的延长 线交线交 DC 于于 F 求证 求证 AMD FMC 43 已知 如图 已知 如图 AB AC 分别为分别为 O 的直径与弦 的直径与弦 CD AB 于于 D E 为为 O 外一点 外一点 且且 AE AC BE 交交 O 于于 F 连结 连结 ED CF 求证 求证 ACF AED 44 如图 如图 O 的半径的半径 OD OE 分别垂直于弦分别垂直于弦 AB 和和 AC 连结 连结 DE 交交 AB AC 于于 F G 求证 求证 AF2 AG2 DF GE 45 如图 如图 ABC 内接于圆 内接于圆 D 是是 AB 上一点 上一点 AD AC E 是是 AC 延长线上一点 延长线上一点 AE AB 连接 连接 DE 交圆于交圆于 F 延长 延长 ED 交圆于交圆于 G 求证 求证 AF AG 46 已知 如图 已知 如图 O 的两条直径的两条直径 AB CD E 是是 OD 的中点 连结的中点 连结 AE 并延长交 并延长交 O 于于 M 连结 连结 CM 交 交 AB 于于 F 求证 求证 OB 3OF 47 已知 如图 已知 如图 ABC 是等边三角形 以是等边三角形 以 AC 为直径作圆交为直径作圆交 BC 于于 D 作 作 DE AC 交交 圆于圆于 E 1 求证 求证 ADE 是等边三角形 是等边三角形 2 求 求 S ABC S ADE 48 已知 如图 半径都是 已知 如图 半径都是 5cm 的两等圆的两等圆 O1和和 O2相交于点相交于点 A B 过 过 A 作作 O1的直的直 径径 AC 与与 O2交于点交于点 D 且 且 AD DC 3 2 E 为为 DC 的中点 的中点 1 求证 求证 AC BE 2 求 求 AB 的长 的长 49 如图 已知在直角三角形 如图 已知在直角三角形 ABC 中 中 C 90 CD AB AD 是是 O 的直径 且的直径 且 D 点在点在 AB 上 上 参考答案参考答案 一 选择题一 选择题 1 D 2 D 3 D 4 D 二 计算题二 计算题 DE 直线直线 OB 于于 E DOE 30 应用勾股定理求出 应用勾股定理求出 BD 的长 的长 8 9 cm 或或 4 cm 提示 连接 提示 连接 AC BC 由 由 AB 为直径可知为直径可知 ACB 90 又 又 CD AB 于于 D 所以 所以 CD2 AD BD 即 即 CD2 AD AB AD 又 又 AB 13 CD 6 所以 所以 36 AD 13 AD AD2 13AD 36 0 解出 解出 AD 9 cm 或 或 AD 4 cm 11 50 提示 延长 提示 延长 DF DG 分别交分别交 O 于于 C E 因为 因为 CFA DFB DGA EGB 所以 所以 CFA C FA EGB E GB 因为 因为 AB 为为 O 的直径 所以根据轴对称图形的性质可知的直径 所以根据轴对称图形的性质可知 为为 100 就有 就有 FDG 50 又因为又因为 DAB ABC 90 所以 所以 AC 和和 BD 为为 O 的直径 所以的直径 所以 APC 与与 BPD 为为 直角三角形 所以直角三角形 所以 PA2 PC2 AC2 PB2 PD2 BD2 就有 就有 PA2 PB2 PC2 PD2 AC2 BD2 4 知知 BC AD 所以 所以 AC BD 又 又 AD 为直径 所以为直径 所以 ABD 90 在 在 Rt ABD 中 中 AD 2R AB a 所以 所以 15 提示 根据圆周角度量定理有 提示 根据圆周角度量定理有 A B 的度数 的度数 m B C 的度数 的度数 n C A 的度数 的度数 p 由前面三个等式得 由前面三个等式得 16 75 提示 由 提示 由 BC DF 分别为分别为 O 的直径 可得的直径 可得 A DEF 90 又 又 AB AC 所以 所以 ABC 45 在 在 Rt DEF 中 由中 由 EF 是是 240 DBE 120 所以 所以 ABD CBE 120 45 75 17 50 50 80 提示 连接 提示 连接 AD 则 则 AD 平分平分 A 于于 D 则 则 AD CD AOD DOC 由 由 B 60 可得可得 OAD 30 所 所 解法二解法二 过过 A 作直径作直径 AD 连接 连接 CD 则 则 ACD 90 ADC ABC 60 又知 又知 AC 3 这就容易求出 这就容易求出 AD 90 所以 所以 BE2 AB2 AE2 82 22 60 又因为 又因为 BF FC 5 1 故设 故设 BF 5x FC x 则则 BC 6x 因为 因为 EF BC 所以 所以 BE2 BF BC 解法二解法二 连接连接 BE 则 则 BE AC 所以 所以 BE2 82 22 60 在直角三角形 在直角三角形 BCE 中中 ABC 外接圆于外接圆于 E 连接 连接 CE 则 则 AD BC BD CD 5 由垂径定理知 由垂径定理知 AE 为为 ABC 外外 接圆的直径 所以接圆的直径 所以 ACE 90 在 在 Rt ADC 中 中 AD 23 0 8 cm 提示 只需证明 提示 只需证明 ABE BDE CE 26 60 提示 连接提示 连接 OC BC 只需证明 只需证明 OCB 为等边三角形 则为等边三角形 则 ABC 60 而 而 ACB 90 所以 所以 CAB 30 即可求出 即可求出 ACE 60 27 76 提示 延长 提示 延长 BC 交交 C 于于 E 连接 连接 DE 只需证明 只需证明 28 2 4 cm 提示 连接 提示 连接 AO 并延长交并延长交 O 于于 E 则 则 AE 为为 O 4 8 所以 所以 O 的半径为的半径为 2 4 cm 30 7 1 提示 连接 提示 连接 HD 只需证明 只需证明 CKO CDH 所以 所以 31 25 cm 提示 连接 提示 连接 AO 并延长交并延长交 O 于于 E 则 则 AE 为为 O CD OM 就是就是 CD 的弦心距 只需证明的弦心距 只需证明 AMF ABE 由此得 由此得 32 3 5cm 提示 解法一 提示 解法一 连接连接 OB 交弦交弦 AC 于于 G 连接 连接 BD 只需证明 只需证明 ABG DAB 由此求出 由此求出 AG 进而求出 进而求出 OG 而 而 CD 2OG 解法二解法二 设设 AB 的延长线与的延长线与 DC 的延长线相交于点的延长线相交于点 E 在 在 BCE 和和 OAB 中 中 BCE OAB EBC D 2 ADB BOA 所以所以 BCE OAB 从而 从而 BC CE OA AB 所以 所以 CE 三 证明题三 证明题 33 提示 作直径 提示 作直径 BD 连接 连接 CD 则 则 BCD 90 且 且 A D 在 在 34 提示 只需证明 提示 只需证明 BDE DBE 证明时利用三角形外角定理及圆周角定理的推 证明时利用三角形外角定理及圆周角定理的推 论 论 35 提示 连接 提示 连接 BD 只需证明 只需证明 ABE ADB 36 提示 连接 提示 连接 AD 37 提示 证法一 提示 证法一 延长延长 AO 交交 O 于于 M 延长 延长 AD 交交 O 于于 N 连 连 证法二证法二 过过 A 作直径作直径 AM 连接 连接 MB 则 则 AMB ACB 又 又 ABM ADC 直角 所直角 所 以以 BAM DAC 从而 从而 AE 平分平分 OAD GF BF AF 再根据射影定理得 再根据射影定理得 DF2 AF FB 所以 所以 DF2 HF GF 39 提示 连接 提示 连接 BD 交交 AC 于于 E 只需证明 只需证明 BEC ABC AC AE AC AC EC AC2 AC EC 40 提示 连接 提示 连接 AD 由 由 AB 为直径得为直径得 ADB 90 再由 再由 DE ADE AF DF 这就容易证出 这就容易证出 AF FG 41 提示 提示 AEO BEO FEP OAE AOC AEO APB FEP F 42 提示 连接 提示 连接 MB 因为 因为 AB 是是 O 的直径 所以的直径 所以 AMB 从而从而 AMD FMC 43 提示 连接 提示 连接