沪教版七年级上册的知识点总结

七年级上册 第第 9 章章 整式整式 第第 1 1 节节 整式的概念整式的概念 9 19 1 字母表示数字母表示数 1 字母可以表示任意的数或符合某种条件的某个数 还可以表示具有某种规律 的数 甚至可以表示特定意义的公式 2 在省略乘号时 要把数字写在字母前面 用 来代替 如 2 a 写成 2a 3 除法运算要用分数线来表示 如 C 2r 要写成 r2 C 9 29 2 代数式代数式 1 用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式 2 单独的一个数或者一个字母也是代数式 如 a 0 3 等号和不等号都不属于运算符号 所以它们都不是代数式 9 39 3 代数式的值代数式的值 1 概念 概念 用数值代替代数式里的字母 按代数式中的运算关系计算得出的结果 2 注意 注意 1 如果代数式中省略乘号 代入后要添上 2 如果字母的取值是分数 做乘方运算时要加上括号 如 3 2 1 3 如果字母的取值是负数 代入后也要加上括号 4 如果代数式表示的是一个具体的实际问题 那么不能使代数式失 去实际意义 如某班有 a 人 则 a 必须是正整数 3 求代数式的值的步骤 求代数式的值的步骤 1 代入数值 2 计算出结果 9 49 4 整式整式 七年级上册 一 单项式一 单项式 1 单项式的概念 单项式的概念 由数与字母的积或者字母与字母的积所组成的代数式 如 4 a 2 单项式的类型 单项式的类型 数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子 如 2a ab 单独的一个数 如 1 单独的一个字母 如 m 注意注意 1 单项式中不能含有加减运算 2 但若分母中含有字母 如 5 m 3 单项式的系数 单项式的系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 4 如何确定单项式的系数如何确定单项式的系数 先将单项式写成数与字母的乘积的形式 再确定 注意注意 1 圆周率 是常数 单项式中出现 时 应看作系数 2 当一个单项式的系数是 1 或 1 时 1 通常省略不写 3 单项式的系数是带分数时 通常写成假分数 如 写成 2 1 1 4 x y 2 5 4 x y 5 5 单项式的次数 单项式的次数 一个单项式中 所有字母的指数的和叫做这个单项式的次 数 注意 注意 1 没有写指数的字母 实际上其指数是 1 计算时不能将其遗 漏 2 不能将数字的指数一同计算 二 多项式二 多项式 1 多项式的概念多项式的概念 几个单项式的和叫做多项式 几个 是指两个或两个以 上 七年级上册 2 多项式的项多项式的项 每个单项式叫做多项式的项 不含字母的项叫做常数项 注意 注意 1 多项式的每一项包括它前面的符号 2 一个多项式含有几项 就叫几项式 如 是一个三项式 2 627xx 3 多项式的次数多项式的次数 多项式里次数最高项的次数 叫做这个多项式的次数 不 是所有项的次数之和 注意 注意 一个多项式中的最高次项有时不止一个 在确定最高次项时 都应写 出 4 多项式没有系数 但对多项式的每一项来说都要系数 都要带上前面的符号 5 5 多项式的排列 多项式的排列 按某个字母的指数从大到小的顺序排列 叫降幂排列 按某个字母的指数从小到大的顺序排列 叫升幂排列 三 三 整式整式 1 单项式与多项式统称为整式 2 单项式 多项式 整式这三者之间的关系如图所示 即单项式 多项式必是整式 但反过来就不一定成立 3 分母中含有字母的式子一定不是整式 第第 2 2 节节 整式的加减整式的加减 9 59 5 合并同类项合并同类项 1 同类项 同类项 所含的字母相同 并且相同字母的指数也相同的单项式 几个常数 七年级上册 项也叫同类项 2 合并同类项 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项 不是同类项的不能合并 无 同类项的项不能遗漏 3 合并同类项的法则合并同类项的法则 把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数 字母和 字母的指数不变 4 合并同类项的过程中可以运用加法的交换律 结合律和分配律 5 求代数式的时候 先合并再代入 更简便 9 69 6 整式的加减整式的加减 1 去括号法则去括号法则 括号前面是 号 去掉 号和括号 括号里的各项不变号 括号前面是 号 去掉 号和括号 括号里的各项都变号 2 添括号法则 添括号法则 添括号后 括号前面是 号 括到括号里的各项都不变符号 添括号后 括号前面是 号 括到括号里的各项都要改变符号 3 一般地 几个整式相加减 如果有括号就先去括号 然后再合并同类项 注意 注意 1 整式加减的一般步骤是 先去括号 再合并同类项 2 两个整式相加减时 减数一定先要用括号括起来 3 整式加减的最后结果中 不能含有同类项 即要合并到不能再合并为止 七年级上册 一般按照某一字母的降幂或升幂排列 不能出现带分数 带分数要化成假分数 第第 3 3 节节 整式的乘法整式的乘法 9 79 7 同底数幂的乘法同底数幂的乘法 1 1 叫做幂 读作 a 的 n 次方 或 a 的 n 次幂 其中 a 是底数 n 是指 n a 数 2 2 同底数幂的乘法性质 同底数幂的乘法性质 其中都是正整数 即同底数幂相乘 底数不变 指数相加 mnm n aaa 注意 注意 1 同底数幂是指底数相同的幂 底数可以是任意的实数 也可以 是单项式 多项式 2 三个或三个以上同底数幂相乘时 也具有这一性质 即 都是正整数 mnpm np aaaa m np 3 逆用公式 把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积 其中它们 的底数与原来的底数相同 它们的指数之和等于原来的幂的指数 即 都是正整数 m nmn aaa m n 七年级上册 3 把底数不同的幂转化成相同底数的幂时 常把 4 8 16 转化成以 2 为底数 的幂的形式 把 3 9 27 转化成以 3 为底数的幂的形式 把 25 125 转 化成以 5 为底数的幂的形式等等 9 89 8 幂的乘方幂的乘方 1 幂的乘方法则幂的乘方法则 其中都是正整数 即幂的乘方 底数不 mnmn aa m n 变 指数相乘 注意 注意 1 公式的推广 均为正整数 mnpmnp aa0 a m n p 2 逆用公式 根据题目的需要常常逆用幂 nm mnmn aaa 的乘方运算能将某些幂变形 从而解决问题 2 当遇到既有乘方又有乘法的混合运算时 一定要先乘方 在乘法 3 如果底数中有负号 那么一定要先确定结果的符号 9 99 9 积的乘方积的乘方 1 1 积的乘方法则积的乘方法则 其中是正整数 即积的乘方 等于把积的每一个因式分 nnn ababn 别乘方 再把所得的幂相乘 注意 注意 1 公式的推广 为正整数 nnnn abcabcn 2 逆用公式 逆用公式适当的变形可简化运算过程 n nn a bab 七年级上册 尤其是遇到底数互为倒数时 计算更简便 如 1010 10 11 221 22 2 积的乘方的底数是数字或字母的积的形式 切莫把和混为一谈 nnn abb a n ab n b a 9 109 10 整式的乘法整式的乘法 1 1 单项式的乘法法则单项式的乘法法则 单项式与单项式相乘 把它们的系数 相同字母分别相乘 对于只在一个 单项式里含有的字母 则连同它们的指数作为积的一个因式 注意注意 1 单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘 法法则的综合应用 2 单项式的乘法方法步骤 积的系数等于各系数的积 是把 各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算 先确 定符号 再计算绝对值 相同字母相乘 是同底数幂的乘 法 按照 底数不变 指数相加 进行计算 只在一个单 项式里含有的字母 要连同它的指数写在积里作为积的一 个因式 3 运算的结果仍为单项式 也是由系数 字母 字母的指数 这三部分组成 4 三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则 2 2 单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘 就是用单项式去乘多项式的每一项 再把所得的积 相加 即 m abcmambmc 注意注意 1 单项式与多项式相乘的计算方法 实质是利用乘法的分配律将 其转化为多个单项式乘单项式的问题 七年级上册 2 单项式与多项式的乘积仍是一个多项式 项数与原多项式 的项数相同 3 计算的过程中要注意符号问题 多项式中的每一项包括它 前面的符号 同时还要注意单项式的符号 4 对混合运算 应注意运算顺序 最后有同类项时 必须合 并 从而得到最简的结果 3 3 多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项 再把所得的积相加 即 abmnamanbmbn 注意注意 多项式与多项式相乘 仍得多项式 在合并同类项之前 积的项数应 该等于两个多项式的项数之积 多项式与多项式相乘的最后结果需化简 有同类 项的要合并 特殊的二项式相乘 2 xaxbxab xab 第第 4 4 节节 乘法公式乘法公式 9 119 11 平方差公式平方差公式 1 1 平方差公式 22 ab abab 两个数的和与这两个数的差的积 等于这两个数的平方差 注意注意 在这里 既可以是具体数字 也可以是单项式或多项式 ba 常见的变式有以下类型 1 位置变化 如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 abba 2 系数变化 如 3 指数变化 如 35 35 xyxy 3232 mnmn 4 符号变化 如 5 增项变化 如 ab ab mnp mnp 七年级上册 6 增因式变化 如 2244 ab ab abab 2 平方差公式的特点是 左边的两个多项式中 各有一项相同 一项相反 右边的结果是用相同的那一项的平方减去相反那一项的平方 运用这个特点 可以非常方便地进行计算 避免一些符号变形带来的麻烦 9 129 12 完全平方公式完全平方公式 1 1 完全平方公式 2 22 2abaabb 222 2 bababa 两数和 差 的平方等于这两数的平方和加上 减去 这两数乘积的两倍 注意注意 公式特点 左边是两数的和 或差 的平方 右边是二次三项式 是这两数的平方和加 或减 这两数之积的 2 倍 以下是常见的变形 2 22 2ababab 2 2abab 22 4ababab 2 2 补充公式补充公式 2 xp xqxpq xpq 2233 ab aabbab 33223 33abaa babb 2222 222abcabcabacbc 3 利用乘法公式进行综合计算 如计算 x y z x y z 4 注意之间的转化 22 abab 第第 5 5 节节 因式分解因式分解 9 139 13 提取公因数法提取公因数法 1 确定公因式的方法 确定公因式的方法 提取的公因式应是各项系数的最大公因数 系数都是整 七年级上册 数时 与各项都含有的相同字母的最低次幂的积 2 2 注意 注意 如果多项式的第一项的系数是负数 通常在提取公因式时连同负号一 起提出来 以保证括号内的第一项的系数是正的 3 3 多项式中各项的公因式是一个多项式时 可以把这个多项式看成一个整体 直接提取公因式 在提取一个多项式作为公因式时 要注意符号 一般的规律 是 nnnn yxxyyxxy 221212 4 经过一次提取公因式后 括号内若有同类项 则一定要合并 然后观察是否 还需要提取公因式 9 149 14 公式法公式法 1 1 因式分解的平方差公式 因式分解的平方差公式 22 ababab 2 注意 1 分解因式时 有公因式一定要先提取 2 分解因式要分解到每一个因式都不能再分解为止 3 能够利用平方差公式进行因式分解的多项式一定要满足下列条件 1 这个多项式时二项式 或可以看成是二项式 2 这个二项式能够写成两数 或两个式子 平方差的形式 4 因式分解的完全平方公式 因式分解的完全平方公式 2 22 2aabbab 2 22 2aabbab 5 能够利用完全平方式的结构特征 1 是一个三项式 2 其中两项可写 成两数平方和的形式 另外一项是这两数积的两倍 七年级上册 注意注意 在分解因式时 可以按照两数积的两倍的前面的符号来选择运用哪一个 完全平方公式 6 运用整体的数学思想 可以把多项式看作是 22 b 2 babaaba 一个三项式 然后用完全平方公式去分解因式 7 有些不是完全平方式的三项式 看能否先提取公因式 然后看提取公因式后 三项式是否完全平方式 若是 则要继续分解 9 159 15 十字相乘法十字相乘法 1 1 十字相乘法十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数 把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘 法 对于二次三项式 若存在 则 2 xbxc pqc pqb 2 xbxcxpxq 2 运用整体的数学思想 可以把有些多项式转化成二次三项式 用十字相乘法 3 如 解 1 因为 7 8xxx 所以 原式 78xx 9 169 16 分组分解法分组分解法 1 1 分组分解法分解因式常用的思路有 七年级上册 方法分类分组方法特点 二项 二项 按字母分组 按系数分组 符合公式的两项分组 四项 三项 一项先完全平方公式后平方差公式 五项三项 二项各组之间有公因式 三项 三项 二项 二项 二项 各组之间有公因式 分组分 解法 六项 三项 二项 一项可化为二次三项式 2 2 如 如 把分解因式3443axbyaybx 解法一 3443 34 34 axbyaybxaxaybxby 34 34 34 axybxyxyab 解法二 3443 33 44 axbyaybxaxbxayby 3 4 34 x aby ababxy 第第 6 6 节节 整式的除法整式的除法 9 179 17 同底数幂的除法同底数幂的除法 1 1 同底数幂的除法法则 同底数幂的除法法则 同底数幂相除 底数不变 指数相减 即 0 都是 mnm n aaa am n 正整数 并且 mn 注意 注意 1 同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算 2 被除式 除式的底数相同 被除式的指数大于除式指数 0 不能作除式 七年级上册 3 当三个或三个以上同底数幂相除时 也具有这一性质 4 底数可以是一个数 也可以是单项式或多项式 2 2 零指数幂 零指数幂 任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1 即 0 0 1a a 注意 注意 底数不能为 0 无意义 任何一个常数都可以看作与字母 0 次方a 0 0 的积 因此常数项也叫 0 次单项式 9 189 18 单项式除以单项式单项式除以单项式 1 1 单项式除以单项式法则 单项式除以单项式法则 单项式相除 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式 对于只有被除式 里含有的字母 则连同它的指数作为商的一个因式 注意 注意 1 法则包括三个方面 系数相除 同底数幂相除 只在被 除式里出现的字母 连同它的指数作为商的一个因式 2 单项式除法的实质即有理数的除法 系数部分 和同底数 幂的除法的组合 单项式除以单项式的结果仍为单项式 9 199 19 多项式除以单项式多项式除以单项式 1 1 多项式除以单项式法则 多项式除以单项式法则 多项式除以单项式 先把多项式的每一项除以这个单项式 再把所得的商 相加 即 ambmcmmammbmmcmmabc 注意 注意 1 由法则可知 多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解 决 其实质是将它分解成多个单项式除以单项式 2 利用法则计算时 多项式的各项要包括它前面的符号 要 注意符号的变化 七年级上册 第十章第十章 分式分式 第第 1 1 节节 分式分式 10 110 1 分式的意义分式的意义 1 分式的概念分式的概念 分母中含有字母的数字叫分式 2 如何区别分式和整式如何区别分式和整式 看分母有没有含字母 是整式 因为 是常数 1 3 分式有意义条件分式有意义条件 分母不等于 0 分式无意义条件分式无意义条件 分母等于 0 分式值为分式值为 0 0 条件条件 分子为 0 且分母不为 0 分式值为分式值为 1 1 条件条件 分子分母相等 分式值为负数条件分式值为负数条件 分子小于 0 分母大于 0 或或 分子大于 0 分母小于 0 七年级上册 10 210 2 分式的基本性质分式的基本性质 1 概念 概念 分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为 0 的整式 分式的值不变 2 分式约分分式约分 把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程 3 最简分式最简分式 分式的分子和分母没有相同的因式 1 除外 4 变括号法则变括号法则 m n m n m n m n m n m n 5 化简结果必须要最简 第第 2 2 节节 分式的运算分式的运算 10 310 3 分式的乘除分式的乘除 1 乘法法则乘法法则 BD AC D C B A 2 除法法则除法法则 BC AD D C B A 10 410 4 分式的加减分式的加减 1 同分母分式加减法则 同分母分式加减法则 分母不变 分子相加减 最后化简 2 异分母分式加减法则异分母分式加减法则 先通分 再按同分母法则相加减 最后化简 3 通分通分 先确定公分母 公分母为分母各系数的最小公倍数 与字母因式最高 次幂的积作为公分母 4 运算顺序 运算顺序 先乘方 再乘除 后加减 有括号的先算括号里面 10 510 5 可以化成一元一次方程的分式方程可以化成一元一次方程的分式方程 1 概念概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程 七年级上册 2 解分式方程的步骤解分式方程的步骤 一 去分母 方程左右两边同时乘以公分母 二 解一元一次方程 三 带入公分母检验 X 是否是原方程的根 若公分母为 0 即为增根 3 解分式应用题的常用关系式解分式应用题的常用关系式 时间 路程 速度 浓度 溶质 溶液 或 溶质 溶质 溶 剂 增长率 增长的数 原来的基数 工作时间 工作量 工作效率 顺水速度 静水速度 水流速度 逆水速度 静水速度 水流速度 10 610 6 整数指数幂及其运算整数指数幂及其运算 1 零指数幂 零指数幂 任何不等于零的数的零次幂都等于 1 即 0 10aa 要点诠释 同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂 即 mnm n aaa 为整数 当时 得到 0a mnmn 0 10aa 2 负整数指数幂 负整数指数幂 0 是正整数 推广 1 n n a a an pp a b b a 为整数 mnm n a aa mn0a 为整数 m mm aba b m0a 0b 为整数 n mmn aa mn0a 3 科学记数法的一般形式科学记数法的一般形式 七年级上册 1 把一个绝对值大于 10 的数表示成的形式 10na 1 10a 2 利用 10 的负整数次幂表示一些绝对值较小的数 即的形式10 n a 其中 N 的绝对值 小数点移动的位置 七年级上册 第第 11 章章 图形的运动图形的运动 第第 1 1 节节 图形的平移图形的平移 第第 2 2 节节 11 111 1 平移的概念平移的概念 1 概念 概念 将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动 叫平 移 如图 平移三角形 ABC 就可以得到三角形 A B C 点 和点 A 点 B 和 B 点 C 和点 C 是对应点对应点 线段 和 B BC 和 B C AC 和 A C 是对应线段对应线段 与 A 与 与 是对应角对应角 2 平移的性质平移的性质 1 图形平移后 对应点之间的距离 对应线段的长度 对应角的大小相等 2 图形平移后 图形的大小 形状都不变 3 图形平移的距离图形平移的距离 平移后各对应点之间的距离 4 平移的两个要素平移的两个要素 平移的方向和平移的距离 第二节第二节 图形的旋转图形的旋转 11 211 2 旋转旋转 1 概念概念 在平面内 将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一 个角度 这样的运动叫做图形的旋转 这个定点叫做旋转中心 如点 O 转 动的角度叫做旋转角 如 AO A 如图 三角形 A B C 是三角形 ABC 绕点 O 旋转所得 则点 和点 A 点 B 和 B 点 C 和点 C 是对应点对应点 线段 和 B BC 和 B C AC 和 A C 是对应线段对应线段 是旋转角旋转角 C B A A BC 七年级上册 2 旋转的三个要素旋转的三个要素 旋转中心 旋转方向和旋转角度 3 旋转的性质旋转的性质 1 对应点到旋转中心的距离相等 OA OA 2 对应线段的长度相等 B 3 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 A 4 旋转的作图旋转的作图 在画旋转图形时 首先确定旋转中心 作图的步骤 1 连接图形中的每一个关键点与旋转中心 2 把连线按要求 顺时针或逆时针 绕旋转中心旋转一定的角度 3 在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离 得到各点的对应点 4 连接所得到的各对应点 七年级上册 11 311 3 旋转对称图形与中心对称图形旋转对称图形与中心对称图形 1 旋转对称图形旋转对称图形 把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后 与初始图形重合 这种图形叫做旋转对称图形旋转对称图形 这个定点叫做旋转对称中心旋转对称中心 旋转的角度叫做旋旋 转角转角 旋转角 360 2 2 中心对称图形中心对称图形 如果把一个图形绕着一个定点旋转 180 后 与初始图形重 合 那么这个图形叫做中心对称图形中心对称图形 这个点叫做对称中心对称中心 3 3 旋转对称图形与中心对称图形的比较 旋转对称图形与中心对称图形的比较 4 4 旋转对称图形不一定是中心对称图形旋转对称图形不一定是中心对称图形 中心对称图形一定是旋转对称图形中心对称图形一定是旋转对称图形 5 5 常见的中心对称图形 常见的中心对称图形 线段 平行四边形 菱形 矩形 正方形 圆 11 411 4 中心对称中心对称 1 1 概念 概念 把一个图形绕着某一个点旋转 180 后 和另一个图形重合 那么叫 做这两个图形关于这个点对称也叫做这两个图形中心对称 这个点叫做对称中对称中 心心 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点 2 2 性质 性质 1 中心对称是旋转角为 180 的旋转对称 O 七年级上册 2 寻找对称中心 只需分别联结两对对应点 所得两条直线的交点就是对称 中心 3 对称点所连线段经过对称中心 而且被对称中心平分 3 3 中心中心对称与中心对称图形的区别与联系 对称与中心对称图形的区别与联系 中心对称中心对称图形 区 别 指两个全等图形之间的 相互位置关系 对称中心不定 指一个图形本身成中心 对称 对称中心是图形自身或 内部的点 联 系 如果将中心对称的两个图 形看成一个整体 一个图 形 那么这个图形就是中 心对称图形 如果把中心对称图形对称 的部分看成是两个图形 那么它们又是关