大地测量中病态性问题研究.doc

大地测量中病态性问题研究高立恒 (山东理工大学 建工学院测绘工程 山东 淄博 255000)摘要：目前，随着大地测量技术的迅速发展，在大地测量界对病态问题处理的精度和准确度的要求越来越高，人们所采用的数据处理手段也应随之发展。如何充分考虑大地测量实际，探讨有偏估计和观测方程直接解算的新方法，以满足大地测量发展的需要，是大地测量学者面临的一个新任务。关键词：大地测量；病态性问题；测量误差；数据处理引 言 在大地测量中，大部分实际问题都归结为解线性方程组问题。当方程组系数矩阵呈病态时，测量平差系统所得参数估值性质明显变差。病态性问题在测量工程中大量存在，而且有时是不可避免的，大地测量中是很常见的，如在GPS快速定位、某些控制网平差、大地测量反演、航天飞行器的精密轨道解算以及重力场的向下延拓等方面存在病态问题。探索病态问题处理的新方法，是现代测量误差理论及数据处理研究中一项重要课题国内为许多的专家学者已经提出不少解决病态问题的理论及方法。其中著名的有岭估计、广义岭估计、主成分估计法、遗传算法、加权迭代改善算法、奇异值分解法（SVD）等。1 病态性产生的原因病态性在数据处理中危害性是很大的。人们必须对病态性产生的原因和机理进行准确的分析和掌握，这将有助于对病态性进行正确的诊断，它是研究如何削弱和克服病态影响的基础。病态性的产生与参数选取、观测以及计算方法的选择密切相关。11参数选择的原因。人们在建立个平差模型时，在平差前，由于不可能对所有参数的规律全部了解掌握，往往造成过度参数化，使得参数之间存在着某些程度的复共线性，从而导致模型病态。例如，在测边网中，要用多台测距仪测量边长，为了补偿不同仪器的系统误差，在数据处理中，经常要附加参数，这样常常会造成过度参数化，引起模型病态。12 观测的原因。观测的原因是指统计分析中的采样不足或测量当中观测量不够。在统计分析中，由于某些条件限制，子样采样为局部结果。此时设计矩阵表现出严重的复共线性，其实质为采样不足而引起的模型病态。在测量实践中，因观测数据不足引起的系统病态也很常见的，主要发生在后方交会的观测模式中。比如，在GPS定位中，理论上只需要两个历元的双差观测值就可以进行LS估计并目解算模糊度，但是时间证明，如果历元间隔很小(例如1秒，2秒或30秒等)，Ls估计结果的偏差很大，不可能正确固定整周模糊度。分析其中的原因，发现Ls估计的法矩阵存在严重的病态性。实际上，当两个历元间隔时间很短时，观测卫星与接收机构成的空间几何图形几乎没有什么变化，第2个历元的观测只是保证了设计矩阵满秩的性质，并没有带着足够的信息，也就是观测信息不足。13计算方法选择的原因。从计算的角度讲，导致病态性的原因包括采用计算方法本身的和机器的字长两个方面。所谓的数值稳定性是指在计算过程中舍入误差增长迅速，造成计算解与真解相差很大，这种计算方法不稳定：反之，在计算过程中舍人误差的增长能够得到控制，该种计算方法稳定。稳定的汁算方法是获得精度较好的近似解的前提。另外，机器字长的限制也是引起结果失真的原因，在计算机计算的过程中，人们如果采用字长较长的杌君黼叶算，可以大大削弱或克服病态性的影响。2 病态性的诊断病态性诊断的主要工作包括分析没计矩阵的列向量间是否存在复共线I生、有几个复共线性关系、每个复共线性的严重程度、复共线性存在于哪些数据列之间以及评价采用Ls估计作为测量平差模型中未知参数的估汁的合理性等等。关于复共线胜的诊断、复共线性的度量以及复共线性对LS估计等的影响程度的研究，是近年来大地测量界人们关注的个热点问题，目前已经提出了多种方法。比如，特征分析法、条件数法、CIVDP法等。21特征分析法。人们把“视法矩阵是否有个特征值很接近于零作为判定复共线性的依据”的方法，称之为特征分析法。法矩N有多少个特征值非常接近于零，设汁矩阵A就有多少个复共线关系。特征分析法的优点是计算简单，且容易给出全部复共线关系。但是，法矩阵N的特征值“很接近于零”是个很模糊的说法，没有衡量指标，在具体应用时，究竟什么样的数算是“很接近于零”很难把握。22条件数法。假设N，W有微小的扰动 N、M，引起估计量X 有偏差。则扰动后的法方程可表达成：(N 十 N)(X + X )=(W + W)扰动后的法方程有唯解，为：fi到 【 lf + 1xl - I I。M J其中， 为矩阵的范数。我们般定义法矩阵N的条件为K=lufllfu f 0INI=法矩阵N为正定的 阵，有： I= N ：从直观上看，法矩阵N的特征 I呈度在条件数中体现了出来，可以用来度量复共线性的大小圾诊断系统的病态性。统计应用中的经验表明：若OKIO00，则认为存在严重的复共线性，系统病态。条件数法是目前最为常用的种度量病态I生程度的方法。病态的严重程度 陨于法矩阵的最小特征值相对于最大特征值有多小，即用最小特征值A作为度量“小”的程度的指标，它是个相对数。这样条件数法解决了特征分析法中究竟什么样的数算是“很接近于零”的把握问题。当然，每种方法都有它的局限性，条件数法也不例外。条件数法不能够判定设计矩阵的数据列间到底存在几个复共线关系，并且也不能确切断定出每个复共线 到底存在于哪 列之间，而这些信息对于我们全面把握病态性产生的机理和实质，以及消除或减弱病态性的不良影响具有重要的参考价值。23 CIVDP法。针对条件数法的缺陷，人们提出了种诊断病态性的新方法，即条件指标一方差分解比方法(简记为CIVDP)。这种方法定义了两个新概念，即条件指标和方差分解比。对于判定法矩阵有没有复共线性、有几个复共线性以及度量每个复共线性的程度，人们通过条件指标来解决；定位这些复共线性的位置，人们通过方差分解比来解决。这样，人通过条件指标和方差分解比的结合，就可以问题为减弱或克日暖病态 了坚实基础。CIVDP是种新的病态性诊断方法它的理论基础严密，有良好的应用前景。当然，它的应用效果还需要实践的进一步检验，方差分解比部分还需要进步完善。3 简单介绍一个解决方法（误差转移法）很多文献资料(如文献4和9)都对形如AX=b的方程组做过扰动分析，通过扰动分析，我们不难看出：即使是余量r=bAX非常小，但经过一个特大值k(A)作用后，估值偏差仍可能很大。反过来讲，则即使是用常规办法解得的估值向量 与真值相差很大，但其却能够很好的满足方程组(1)。由此设一中间变量y，令其满足：X=CY(C是与设计阵A有关的矩阵，也为病态阵)。此时，因为c是病态的，所以解得的y向量误差很大，但这种误差对真的估值 影响却很小。因此，若能确定合适的其真值。设方程组(1)的解算解为 ，则b=A 对误差较大的 也能较准确的成立。 =CY，将此式代人A =ACY=b (4)现在的问题是如何确定c才能保证算法的有效性。这里取：C=A 效果较好 。考虑到AA 可能由于矩阵元素较大而出现溢出，需要对原方程组分别进行一次行均衡处理和一次列均衡处理(鉴于篇幅限制，这里不再赘述。行列均衡处理过程详见文献7、8)。最终得到解式为：X=P(QAP) Z (5)z为均衡处理中产生的中间矩阵，可按文献7的方法解出。算例及计算结果为检验两种算法的有效性，我们选用GPS实测数据作试验，数据采样率为1 s，整个观测时段为1小时，当高度截止角设为10。时，观测了8颗卫星，组成双差方程。我们选取连续4个历元解算，则可形成设计阵A 。 。及 (事先对粗差做过一定处理)。为了验证用这4个历元解算的正确性，我们把其结果同整个数据用TGO专业软件解算的结果作比较。例1，选不同阶数的Hilbert矩阵。Hilbert矩阵是典型的病态阵。为验证方法的通用性，所用矩阵分别是截取了相应的阶数的Hilbert矩阵的一部分，使其为长方阵。例1：口 =1(i+ 一1)，(i， =1，2，rt)；b =口f (i=1，2， )显然准确解为 =(1，1，1，) ，解算结果见表1。奇异值分布见图1(为看清趋势，纵坐标取奇异值常用对数，图2也一样)。表1 解的有效数字位数Hilbert矩阵阶数 截断奇异值法 误差转移法 修正奇异值例1，以A 。和 组成方程组。估值是双差整周模糊度向量。法矩阵条件数为1863710加。显然设计阵A是病态的。现分别用SVD法和误差转移法解算，结果列于表2。奇异值分布见图_2。表2 截断奇异值法与误差转移法解算例2结果误差转移法 与真值差值 截断奇异值法 与真值差值12473e+0o2 5O0o1e 2 12478e+0o2 4O456e0O9 10828e+0o3 500o5e002 10828e+0o3 43626e00916936e+0o3 50o33e002 16936e+0o3 18645e-010 27713e+0o3 49915e002 -27719e+0o3 62651e-001 38852e+0o3 49953e002 38850e+0o3 60265le001 33430e+0o3 49952e002 -33407e+0o3 62650e001 40630e+0o2 49961e-002 40697e+0o3 62651e-001-74236e+0o2 49982e002 -74303e+0o3 62651e-001- 28579e+0o3 49950e002 -28585e+0o3 62650e001 29461e+0o3 49951e-002 -29468e+0o3 62651e-001结束语大地测量中病态问题的出现是常见的，其影响同样也是比较严重的，目前的局面已经引起大地测量界的广泛关注。病态问题的解决方法研究曾被国际大地测量协会（IAG）确立为现代测量误差理论及数据处理研究中的项重要课题。目前大地测量界对病态问题的研究主要集中在如何建立病态问题的有效诊断方法和寻求效果更好的病态问题解法这两个方面。参考文献【1】黄海兰病态模型参数估计理论及其在GPS整周模糊度解算中的应用研究【D】 武汉：武汉大学，2002【2】黄维彬近代平差理论及其应用【IM】北京：解放军出版社，1992【3】李家权，张菊清，病态模型平差