高三一轮复习集合函数知识点

1 第一章 集合与函数概念第一章 集合与函数概念 1 1 1 集合 集合 1 把研究的对象统称为元素 把一些元素组成的总体叫做集合 集合三要素 确定性 互异性 无序性 2 只要构成两个集合的元素是一样的 就称这两个集合相等 3 常见集合 正整数集合 或 整数集合 有理数集合 实数集合 N NZQ R 4 集合的表示方法 列举法 描述法 1 1 2 集合间的基本关系 集合间的基本关系 1 一般地 对于两个集合 A B 如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素 则 称集合 A 是集合 B 的子集 记作 BA 2 如果集合 但存在元素 且 则称集合 A 是集合 B 的真子集 记BA Bx Ax 作 A B 3 把不含任何元素的集合叫做空集 记作 并规定 空集合是任何集合的子集 4 如果集合 A 中含有 n 个元素 则集合 A 有个子集 个真子集 n 221 n 1 1 3 集合间的基本运算 集合间的基本运算 1 一般地 由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合 称为集合 A 与 B 的并集 记作 BA 2 一般地 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合 称为 A 与 B 的交集 记作 BA 3 全集 补集 U C Ax xUxU 且 1 2 1 函数的概念 函数的概念 1 设 A B 是非空的数集 如果按照某种确定的对应关系 使对于集合 A 中的任意一f 个数 在集合 B 中都有惟一确定的数和它对应 那么就称为集合x xfBAf A 到集合 B 的一个函数 记作 Axxfy 2 一个函数的构成要素为 定义域 对应关系 值域 如果两个函数的定义域相同 并且 对应关系完全一致 则称这两个函数相等 1 2 2 函数的表示法 函数的表示法 1 函数的三种表示方法 解析法 图象法 列表法 2 1 3 1 单调性与最大 小 值 单调性与最大 小 值 1 注意函数单调性的证明方法 1 定义法 定义法 设那么 2121 xxbaxx 上是增函数 0 21 baxfxfxf在 上是减函数 0 21 baxfxfxf在 步骤 取值 作差 变形 定号 判断 格式 解 设且 则 baxx 21 21 xx 21 xfxf 2 导数法 导数法 设函数在某个区间内可导 若 则为增函数 xfy 0 x f xf 若 则为减函数 0 x f xf 1 3 2 奇偶性 奇偶性 1 一般地 如果对于函数的定义域内任意一个 都有 那么就称 xfx xfxf 函数为偶函数 偶函数图象关于轴对称 xfy 2 一般地 如果对于函数的定义域内任意一个 都有 那么就 xfx xfxf 称函数为奇函数 奇函数图象关于原点对称 xf 知识链接 函数与导数知识链接 函数与导数 1 函数在点处的导数的几何意义 xfy 0 x 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率 xfy 0 x xfy 00 xfxP 0 x f 相应的切线方程是 000 xxxfyy 2 几种常见函数的导数 C0 1 nn nxxxxcos sin xxsin cos aaa xx ln xx ee ax x a ln 1 log x x 1 ln 3 导数的运算法则 1 uvuv 2 uvuvuv 3 2 0 uuvuv v vv 4 复合函数求导法则 复合函数的导数和函数的导数间的关系为 yf g x yf u ug x 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积 xux yyu yxyuux 解题步骤 分层 层层求导 作积还原 5 函数的极值 1 极值定义 极值是在附近所有的点 都有 则是函数的极大值 0 x xf 0 xf 0 xf xf 极值是在附近所有的点 都有 则是函数的极小值 0 x xf 0 xf 0 xf xf 3 2 判别方法 如果在附近的左侧 0 右侧 0 那么是极大值 0 x xf xf 0 xf 如果在附近的左侧 0 0 x xf 右侧 0 那么是极小值 xf 0 xf 6 求函数的最值 1 求在内的极值 极 yf x a b 大或者极小值 2 将的各极值点与 yf x 比较 其中最大的一个为 f af b 最大值 最小的一个为极小值 注 注 极值是在局部对函数值进行比较 局部性质 最值是在整体区间上对函数值进行 比较 整体性质 第二章 基本初等函数 第二章 基本初等函数 2 1 1 指数与指数幂的运算 指数与指数幂的运算 1 一般地 如果 那么叫做 的次方根 其中 axn xan Nnn 1 2 当为奇数时 naa nn 当为偶数时 naa nn 3 我们规定 mn m n aa 1 0 mNnma 0 1 n a a n n 4 运算性质 Qsraaaa srsr 0 Qsraaa rs s r 0 Qrbabaab rr r 0 0 1 a10 a 图 象 6 5 4 3 2 1 1 4 2246 0 1 6 5 4 3 2 1 1 4 2246 0 1 1 定义域 R 2 值域 0 3 过定点 0 1 即 x 0 时 y 1 4 在 R 上是增函数 4 在 R 上是减函数 性 质 5 0 1 x xa 0 01 x xa 5 0 01 x xa 0 1 x xa 4 2 1 2 指数函数及其性质 指数函数及其性质 1 记住图象 1 0 aaay x 2 性质 2 2 1 对数与对数运算 对数与对数运算 1 指数与对数互化式 log x a aNxN 2 对数恒等式 logaN aN 3 基本性质 01log a 1log a a 4 运算性质 当时 0 0 1 0 NMaa NMMN aaa logloglog NM N M aaa logloglog MnM a n a loglog 5 换底公式 a b b c c a log log log 0 1 0 1 0 bccaa 6 重要公式 loglog n m a a m bb n 7 倒数关系 a b b a log 1 log 1 0 1 0 bbaa 2 2 2 对数函数及其性质 对数函数及其性质 1 记住图象 1 0log aaxy a 0 a1 1 y ax o y x 0 a1 1 y logax o y x 5 2 性质 2 3 幂函数 幂函数 1 几种幂函数的图象 1 a10 a 图 象 3 2 5 2 1 5 1 0 5 0 5 1 1 5 2 2 5 112345678 0 1 1 3 2 5 2 1 5 1 0 5 0 5 1 1 5