湖南长沙市一中高中数学 2.4等比数列（二） 教案 新人教版必修5

用心 爱心 专心 1 2 42 4 等比数列 二 等比数列 二 教学目标教学目标 一 一 知识与技能目标知识与技能目标 1 等比中项的概念 2 掌握 判断数列是否为等比数列 常用的方法 3 进一步熟练掌握等比数列的通项公式 性质及应用 二 二 过程与能力目标过程与能力目标 1 明确等比中项的概念 2 进一步熟练掌握等比数列的通项公式 性质及应用 教学重点教学重点 等比数列的通项公式 性质及应用 教学难点教学难点 灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题 教学过程教学过程 一 复习 1 等比数列的定义 2 等比数列的通项公式 0 1 1 1 qaqaa n n 0 qaqaa m mn mn 0 BAABa n n 3 an 成等比数列 0 1 qNnq a a n n 4 求下面等比数列的第 4 项与第 5 项 1 5 15 45 2 1 2 2 4 4 8 3 2 2 1 2 4 8 3 2 1 3 2 二 讲解新课 二 讲解新课 思考 类比等差中项的概念 你能说出什么是等比中项吗 思考 类比等差中项的概念 你能说出什么是等比中项吗 1 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G 使a G b成等比数列 那么称这个数G 为a与b的等比中项 即G ab a b同号 则 abGabG G b a G 2 反之 若G 2 ab 则 G b a G 即a G b成等比数列 a G b成等比数列 G 2 ab a b 0 例 1 三个数成等比数列 它的和为 14 它们的积为 64 求这三个数 解 设m G n为所求的三个数 有已知得m n G 14 64 Gnm 2 mnG 464 3 GG 16 10 nm nm 8 2 2 8 n m n m 或 用心 爱心 专心 2 这三个数为 8 4 2 或 2 4 8 解法二 设所求三个数分别为 aqa q a 则 4 64 3 aa 又 14 aqa q a 1444 4 q q 解得 2 1 2 qq或 这三个数为 8 4 2 或 2 4 8 2 等比数列的性质 若m n p k 则 kpnm aaaa 在等比数列中 m n p q kpnm aaaa 有什么关系呢 由定义得 1 1n 1 1 nm m qaaqaa 1 1k 1 1 kp p qaaqaa 2 2 1 nm nm qaaa 2 2 1 kp kp qaaa 则 kpnm aaaa 例 2 已知 n a 是等比数列 且252 0 645342 aaaaaaan 求 53 aa 解 n a 是等比数列 2 a 4 a 2 3 a 5 a 4 a 6 a 3 a 5 a 2 25 又 n a 0 3 a 5 a 5 3 判断等比数列的常用方法 定义法 中项法 通项公式法 例 3 已知 nn ba 是项数相同的等比数列 求证 nn ba 是等比数列 证明 设数列 n a的首项是 1 a 公比为 1 q n b的首项为 1 b 公比为 2 q 那么数列 nn ba 的第n项与第n 1 项分别 nn nnnn qqbaqqbaqbqaqbqa 2111 1 21112111 1 21 1 11 与即为与 21 1 2111 211111 qq qqba qqba ba ba n n nn nn 它是一个与n无关的常数 所以 nn ba 是一个以q1q2为公比的等比数列 思考 思考 1 an 是等比数列 C 是不为 0 的常数 数列 n ca是等比数列吗 2 已知 nn ba 是项数相同的等比数列 n n b a 是等比数列吗 4 等比数列的增减性 当q 1 a1 0 或 0 q 1 a11 a1 0 或 0 q0 时 an 是递减数列 当q 1 时 an 是常数列 当q 0 时 an 是摆动数列 思考 思考 通项为 1 2 n n a的数列的图象与函数 1 2 x y的图象有什么关系 三 例题讲解三 例题讲解 例 4 已知无穷数列 10 10 10 10 5 1 5 2 5 1 5 0 n 求证 1 这个数列成等比数列 2 这个数列中的任一项是它后面第五项的 10 1 3 这个数列的任意两项的积仍在这个数列中 证 1 5 1 5 2 5 1 1 10 10 10 n n n n a a 常数 该数列成等比数列 2 10 1 10 10 10 1 5 4 5 1 5 n n n n a a 即 5 10 1 nn aa 3 5 2 5 1 5 1 101010 qpqp qpa a Nqp 2 qp 11 qp且 Nqp 1 5 1n 5 2 1010 qp 第1 qp项 四 练习四 练习 教材第