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概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结第一篇:平面向量【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】 平面向量概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 一向量有关概念： 1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如： ruuur 已知A（1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a（1,3）平移后得到的向量是_（答：（3,0） 2零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； uuur 3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是 uuur AB)； |AB| 4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。 提醒： 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； r 平行向量无传递性！（因为有0)； uuuruuur 三点A、B、C共线AB、 AC共线； 6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如 rrrr 下列命题：（1）若a=b，则a=b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB=DC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形， rrrrrrrruuuruuurrrrr ,=c，,/c，则AB=DC。（5）若a=bb则a=c。（6）若a/bb则a/c。其中正确的是_ （答：（4）（5） 二向量的表示方法： 1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； 2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等； 3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量， rrr j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a=xi+yj=(x,y)，称(x,y)为向量a的坐标，a(x,y)叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面 内的任一向量a，有且只有一对实数l1、l2，使a=l1e1l2e2。如 rrrr （1）若a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，则c=_ r 1r3r （答：a-b）； 22 （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 uruururuur A. e1=(0,0),e2=(1,-2) B. e1=(-1,2),e2=(5,7) C. e1=(3,5),e2=(6,10) D. e1=(2,-3),e2=(,-) ur uur uruur 1 234 uuuruuuruuurruuurruuur （3）已知AD,BE分别是DABC的边BC,AC上的中线,且AD=a,BE=b,则BC可用向量 （答：B）； rr a,b表示为_ （答：a+b）； （4）已知DABC中，点D在BC边上，且CD=2DB，CD=rAB+sAC，则r+s的 值是_ （答：0） 四实数与向量的积：实数l与向量a的积是一个向量，记作la，它的长度和方向规定 rr 如下：(1)la=la,(2)当l0时，la的方向与a的方向相同，当l0时，la的 rr 方向与的方向相反，当l0时，la=0，注意：l0。 五平面向量的数量积： uuurruuurr 1两个向量的夹角：对于非零向量，作OA=a,OB=b，AOB=q 2r 34r3 (0qp)称为向量a，b的夹角，当q0 当q 时，a，b同向，当qp时，a，b反向， p 时，a，b垂直。 2概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 2平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为q，我们把数量 rrrr ，记作：ab，即ababcosq。|a|b|cosq叫做a与b的数量积（或内积或点积） 规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如 （1）ABC中，|AB|=3，|AC|=4，|BC|=5，则ABBC=_ （答：9）； urrrurrrr1r1rrp （2）已知a=(1,),b=(0,-),c=a+kb,d=a-b，c与d的夹角为，则k等于_ 2 2 4 rrrrrr （3）已知a=2,b=5,agb=-3，则a+b等于_ （答：1）； ）； rrrrrrrrr （4）已知a,b是两个非零向量，且a=b=a-b，则a与a+b的夹角为_ r 3在上的投影为|b|cosq，它是一个实数，但不一定大于0。如 （答：30o） 已知|a|=3，|b|=5，且ab=12，则向量a在向量b上的投影为_ （答： r 4的几何意义：数量积等于的模|a|与在上的投影的积。 12） 5 5向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为q，则： rrrr abab=0； rr r2rrr2r当，同向时，ab，特别地，a=aa=a,a=；当与反向 rrrr b不同向，ab0是q为锐角的必时，ab；当q为锐角时，0，且a、 rrrr 要非充分条件；当q为钝角时，ab0，且a、 b不反向，ab0是q为钝角的必要非充分条件； rr rrrrab 非零向量，夹角q的计算公式：cosq=；|ab|a|b|。如 ab（1）已知a=(l,2l)，b=(3l,2)，如果a与b的夹角为锐角，则l的取值范围是_ 41 （答：l0且l）； 33 1（2）已知DOFQ的面积为S，且OFFQ=1，若Skk表示ab；求ab的最小值，并求此时a与b的夹角 q的大小 rrk2+11 (k0)；最小值为，q=60o） （答：ab=4k2 六向量的运算： 1几何运算： 向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共 uuuruuurruuurr 线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设AB=a,BC=b，那么向量AC rruuuruuuruuurrr 叫做a与b的和，即a+b=AB+BC=AC； uuurruuurrrruuuruuuruuur 向量的减法：用“三角形法则”：设AB=a,AC=b,那么a-b=AB-AC=CA，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如 uuuruuuruuuruuuruuuruuur （1）化简：AB+BC+CD=_；AB-AD-DC=_；uuuruuuruuuruuur (AB-CD)-(AC-BD)=_ uuuruuurr （答：AD；CB；0）； uuurruuurruuurrrrr （2）若正方形ABCD的边长为1，AB=a,BC=b,AC=c，则|a+b+c|_ （答：； uuuruuuruuuruuuruuur （3）若O是gABC所在平面内一点，且满足OB-OC=OB+OC-2OA，则gABC的形状为_ （答：直角三角形）； （4）若D为DABC的边BC的中点，DABC所在平面内有一点P，满足 uuur uuuruuuruuurr|AP| =l，则l的值为_ PA+BP+CP=0，设|PD| （答：2）； uuuruuuruuurr （5）若点O是ABC的外心，且OA+OB+CO=0，则ABC的内角C为_ （答：120o）； rr 2坐标运算：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则： rr 向量的加减法运算：ab=(x1x2，y1y2)。如 uuur uuur （1）已知点A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若AP=AB+lAC(lR)，则当l_时，点 P在第一、三象限的角平分线上 （答：）； r1uuupp （2）已知A(2,3),B(1,4),且AB=(sinx,cosy)，x,y(-,)，则x+y= 222 1 2 uuur 26 uuruuruururuuruuruur （3）已知作用在点A(1,1)的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1)，则合力F=F1+F2+F3 （答： p 或- p ）； 的终点坐标是 （答：（9,1） r 实数与向量的积：la=l(x1,y1)=(lx1,ly1)。 uuur 若A