2008优秀论文(3).doc

数码相机定位摘要本文解决的是一个数码相机定位的问题，先通过靶标及其成像求出物体相对相机的相对位置然后转换为相机相对物体的位置，从而解决本问题。对于问题一，我们引入了旋转参数矩阵R和位移向量T，可以将空间任意点在靶标坐标系中的坐标转化其为光心坐标系下的坐标。结合像坐标系和光心坐标系中坐标的关系可以确定圆心成像后的像坐标，并且求解出旋转参数矩阵R和靶标坐标平面相对光心坐标平面的3个旋转角的关系，结果见正文。对于问题二，我们引入了五个定理，并给出了证明，从而得到了靶标中圆的公切线成像后也是图像的公切线。再由对应切点的连线必过圆心的原理，通过在像图中的切点连线确定圆心在像图中的位置，利用编程实现算法，最后求得五个圆心的像坐标的结果为：（-188,-197,f），（-91,-188,f），（131,-171,f），（70,121,f），（-226,119,f） 其中f=1557对于问题三，结合问题一所建立的数学模型和问题二中算得的圆心坐标的结果、旋转参数矩阵R和位移向量T。从题中图1中选取若干检测点，计算出其在像素坐标系中的坐标值，与从像素图中读取该点像素坐标值进行比较、分析，通过做差求误差检验精度：最大为2.67个像素，精度较好；对这些误差求方差，得到x、y坐标的方差分别为0.57、0.48，说明模型稳定性较好。对于问题四，我们根据前3个问题的讨论，通过用光心坐标系中的坐标减去位移向量T再左乘矩阵R的逆，可以将光心坐标转换为靶标坐标系下的坐标。通过计算两个2个相机的光心在靶标坐标系下的坐标，确定2个相机之间的相对位置；通过计算相机的焦点和光心在靶标坐标系下的坐标，确定相机的光轴方向即拍摄方向。一 问题重述数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。并用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。解决如下问题：（1）建立数学模型和算法以确定上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光心，x-y平面平行于像平面；（2）对由图2、图3分别给出的及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即光心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024786；（3）设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；（4）建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。（图见附录一）二 基本假设1 像坐标系的原点取在相机的光心，且像平面垂直于光轴，X轴和Y轴分别为平行于图像平面的两条垂直边，且x、y坐标表示的是像素的行、列数；2 光心坐标系的原点取在相机的光心， X轴和Y轴分别为平行于像坐标系的X轴和Y轴，光轴为Z轴，方向指向焦点方向；3 像素坐标系以左上方顶点为原点，X轴与Y轴平行与光心坐标系的X轴与Y轴，且以分辨率为单位；4 靶标坐标系的原点取在靶标的中心，Z轴垂直于靶标平面，X轴和Y轴分别于靶标上正方形的边平行；5 试验所用的相机的相距，即光心到像平面的距离，是1577个像素单位，分辨率为1024*768；6 1毫米约为3.78个像素单位；7 成像符合相机的成像原理；三 符号说明：相机的焦距：旋转系数矩阵：位移向量：靶标坐标的X-Y平面相对于光心坐标的X-Y平面旋转的角度：靶标坐标的Y-Z平面相对于光心坐标的Y-Z平面旋转的角度：靶标坐标的Z-X平面相对于光心坐标的Z-X平面旋转的角度：点在靶标坐标系下的坐标值：点在光心坐标系下的坐标值：点在像坐标系下的坐标值，特别的在成像平面内点的坐标值为：点在像素坐标系下的坐标值四 问题分析数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。系统标定的关键就是精确地确定两部相机的相对位置。题中给出了一种标定做法，在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。实际的做法是在物平面上设定若干个，只要确定它们的圆心的像坐标，就可以实现标定。照相机的成像原理如同凸透镜成像原理，当u2f时，相机所成的像是倒立缩小的实像，且fv2f，其中u、v、f分别表示物距、像距、焦距。（相机成像原理如图4.1）图4.1由图中不难发现，当点P离O点越远时，其成的像P的位置就越接近于点P，这个关系也满足物理学中的公式。可以看出，若物距相对于像距足够大，则像距可以近似等于焦距。一般情况下，相机的物距相对于像距也是很大的，所以这里我们也近似认为像平面位于相机的焦距处。这样我们所利用的光学成像的理论模型便成为针孔模型。4.1问题一要建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，首先要确立一个坐标系来描述实物中各个点的位置关系。这里以照相机光学中心为原点，X轴、Y轴平行于像平面的两条垂直边，并且以相机的光轴为Z轴建立坐标系，称之为光心坐标系。这样，空间内任意一点P在光心坐标系中的坐标可以表示为。根据上文中的分析，我们所利用的光学成像的理论模型便成为针孔模型。这样便可以根据相似三角形中边的比例关系，求出任意一点其成的像在光心坐标系中的坐标。由像坐标的定义，可以知道该点的像坐标即为。4.2问题二由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标。图2是一个边长为100mm的正方形，分别以4个顶点为圆心以12mm为半径画了4个圆，为了消除对称可能会导致的不确定性（即靶标和像上的点不能一一对应），增加了一个同样大小的圆，这样图3中上面三个圆即为对应的原靶标图中上面的三个圆。为了方便图像的处理，引入像素坐标，将像素坐标的坐标原点定在像素平面的左上角，X轴和Y轴与图像坐标的X轴和Y轴平行，坐标值用表示，范围为1024*768的一个离散值，则像素坐标和像坐标的转换关系为。用Matlab的Imread命令【1】可以把图片以像素形式读入，把图片中像分为两部分，一部分为图像的边缘部分点的集合，一部分为圆的内部点的集合。利用小孔成像原理，先引入五个定理：定理一：不考虑像素问题，两个不同的点拍摄后得到的图像为二个不同的点，不可能由两个点成的像为同一个点；定理二：同一条直线上的点成像后在图像上也在同一条线上；定理三：原图中的切点为成像后图像上的切点；定理四：原图中的切线为成像后图像上相应位置的切线。定理五：原图像中过圆心的两个切点在成像后图像中的连线必过圆心。证明在模型建立中给出，通过以上五个定理，我们只要求出圆A,B,C的两条公切线。切点分别为，这样由定理五可得的连线必过成像中圆A的圆心，同理的连线、的连线必过圆B和圆C的圆心。同样在竖直方向上，求出圆A,E的2条公切线。切点分别为。则由定理五得到的连线必定过成像中圆A的圆心，的连线过圆E的圆心。这样和为过成像中圆A圆心的2条直线，即和的交点即为圆心，同理可以得到其他4个圆的圆心，然后由MATLAB程序可以得到5个圆心的像素坐标值，结合像素坐标相对于像坐标的X轴、Y轴偏移，便容易推出每个圆心相对于像平面的像坐标。4.3问题三问题一中建立的模型是由靶标坐标系下是圆心坐标求得其成像后在像平面的中的坐标，问题二是根据图像成像后的像素图求解出靶标中的圆心在像平面的坐标，所以可以通过问题二中求得的像平面坐标带入问题一中建立的求解模型确定待定的旋转系数矩阵R和位移向量T。根据题中所给的图3，可以求出靶标图中各圆心的成像后在像素坐标平面中的坐标，像素坐标到像坐标的转换关系为： 其中，、分别为像素单位在X、Y轴上宽度将其联立得到方程组，当、已知时，上述方程组中共有12个未知数，所以当把6个点成像后在像素坐标平面中的坐标带入上述方程组，可以由12个方程组成的12元一次方程组，联立即可求得方程组的解，即可解出旋转系数矩阵R以及位移向量T。确定了模型中的未知参数后，就可以进行对模型的精度和稳定性的研究。从靶标图中选取若干个检测点，结合问题一、问题二中的结论，计算出这些检测点成像后的像素坐标系中的坐标，并与题中图3中这些点对应的像素坐标进行比较。以计算值与精确值的差值作为反映模型精度的标准，以计算值与精确值的差值的方差衡量模型的稳定性。4.4问题四前三问的模型建立计算与验证，我们可以通过空间中点在靶标坐标系中的坐标与其在光心坐标系中的坐标进行相互转换，也就是说已知一个空间点在光心坐标系中的坐标，我们也可以得到其靶标坐标系中的坐标。那么对于两台相机，有两个不同的光心坐标系，由于靶标坐标系的定义始终与靶标自身有关，所以我们可以把在这两个不同坐标系中的坐标转换到同一个靶标坐标系中，这样，两个不同相机的光心坐标系中的光心点就可以通过靶标坐标系中的坐标进行相对位置的计算。对于一台相机我们可以得到一个靶标坐标系中的坐标和光心坐标系中的坐标存在一个转换关系，即其中为该点在靶标坐标系下的坐标值，为该点在相机光心坐标系下的坐标值。由于是一个可逆的参数矩阵，就可以把光心坐标系下的坐标转换为靶标坐标系下的坐标，转换关系为：。同理可以将另一台相机的光心坐标转换为靶标坐标系下的坐标，这样就可以实现，两台相机的不同的光心坐标转换为同一个靶标的靶标坐标。而相机在现实中不可能用质点描述，所以我们又通过引入相机对于实物的拍摄角度进行对相机相对位置的标定。 显然的，相机的光轴方向就是相机的照射方像。而光轴的方向可以用焦点和光心坐标之差来表示。五 模型的建立与求解5.1问题一5.1.1模型建立要建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，首先要确立一个坐标系来描述实物中各个点的位置关系。这里以照相机光学中心为原点，X轴、Y轴平行于像平面的两条垂直边，并且以相机的光轴为Z轴建立坐标系，称之为光心坐标系。 这样，空间内任意一点P在光心坐标系中的坐标可以表示为。我们所利用的光学成像的理论模型是针孔模型（如图5.1.1），根据这个模型，光心坐标系中任意一点P经过相机成的像P的坐标可以通过相似三角形的相关计算求出：图5.1.1由题中定义，像坐标系的原点在相机的交点处，X轴、Y轴分别与光心坐标系的X轴、Y轴平行，则对于空间中任意一点P在像平面的像坐标为。由于对于靶标中的各个点的在光心坐标系中的坐标很难直接得到，我们通过先建立一个靶标坐标系描述靶标中各点之间的关系，将问题转换为求解靶标坐标到光心坐标的转换系数。设空间中任意点P在靶标坐标下的坐标为，由靶标坐标系到光心坐标系的转换关系为，其中为正交的旋转系数矩阵，为位移向量【2】。将上述转换关系带入之前求得的由物点P到像点P的对应关系中，可以得到数学模型：对于空间中任意一点P在像平面中的坐标为：其中，为点P在标靶坐标系中的坐标 为旋转系数矩阵中的元素为位移向量 中的元素f为相机的焦距旋转矩阵R与位移向量T由实物与相机的相对位置决定。下面给出靶标坐标系与光心坐标之间的旋转系数矩阵R、位移向量T，与个坐标轴对应所成夹角的关系。设靶标坐标系中的空间内任意一点的坐标为，而靶标坐标的原点到光心坐标的原点的位移向量。我们考虑固定光心坐标系，建立靶标坐标到光心坐标的转换，我们旋转靶标坐标轴，理解为X-Y平面旋转角，然后Y-Z平面旋转角，然后Z-X平面旋转角。这样对于任靶标坐标系中任意一点P的坐标，都能通参数转换到其在光心坐标系下的坐标。我们将X-Y轴顺时针旋转角。如图5.1.2：图4.1.2其中：c点的坐标为，即。O点为靶标坐标系的原点。从O点到光心的位移向量为。则所以X-Y平面旋转了角后可以得到靶标坐标系中的坐标相对于光心坐标的变化量。此时的坐标为C点的坐标为：。Y-Z平面内转角，即将C点的坐标的Y和Z值拿出做上面的处理。得到此时的坐标为C点的坐标为：在Z-X平面内转角后，可以得到最终结果。 经过转换后的C点的坐标的坐标值分别为：即若求得R的数值，则可根据，准确的求得，再带入其他等式求出，从而可以确定出相机光兴于实物的中O点的空间位置关系。5.1.2模型求解以靶标正方形的中心为坐标原点，X轴、Y轴分别平行于正方形的两条邻边，Z轴垂直于X-Y平面，则靶标中的圆心A、B、C、D、E的坐标为，带入上文中的模型可以求得靶标上的圆的圆心在该相机像平面的像坐标为：A：B：C：D：E：5.2问题二模型的建立与求解问题二已知实物及其通过数码相机拍照后的像，通过一定的算法求出靶标图中的圆心在像平面的坐标，我们先把靶标的像用Matlab的Imread命令将图像以像素的形式读入，并且存储成两部分，一部分为图像的边缘部分点的集合，一部分为圆的内部点的集合。为了得到靶标中圆心所成的像的坐标，先给出以下五个定理。定理一：不考虑像素问题，两个不同的点拍摄后得到的图像为两个不同的点，不可能有两点成的像为同一个点；证明：若标靶图上存在两个不同的点对应成像上的同一个点。而成像过程是近视为小孔成像，光心为小孔，即光心在一条直线上,也在一条直线上。而两点就确定一条直线，即通过一条直线，在组成的直线上，即在任意一个平面内，与不在标靶图上矛盾。所以得证二个不同的点拍摄后得到的图像为二个不同的点。定理二：同一条直线上的点成像后在图像上也在同一条线上；证明：如图5.2.1，建立模型中的坐标系以图像中心为原点，以垂直于光轴的平面为X-Y平面，以光轴为Z轴。建立空间直角坐标系，则光心坐标为(0,0,d)，其中d为光心到成像之间的距离。设靶标上两点的坐标分别为，则靶标上的两点通过光心成像后符合小孔成像规律，即为直线映射，所以设图像中二点的像坐标为，则，由此，同理。取原靶标上二点之间的一个点，我们取中点为，对应映射的点为。不难计算点到靶标中的映射点的斜率等于到靶标中的映射点的斜率。即可以得证，原来在同一直线上的三点通过光心成像后在像中也在同一直线上，只是原来的中点成像后不是像中线段的中点。图5.2.1定理三：原图中的切点仍为成像后图像上的切点；证明：若假设原图中的切点在成像后的图像上不为切点，例如过A的一条公切线与A的交点为，而在A成像后的图上的像点不为切点。由我们的定理二可得，原来A的一条切线在成像的图上也为一条直线。的像点为，若由我们的假设不为所成像上的切点，即过且与圆A的像还有另一个交点。圆A上的点通过光心与像点一一对应，则由定理二，在原图圆A的切线上还有一个点也在圆A上，与切线和圆A只有一个交点矛盾。所以假设不成立。原图中的切点仍为成像后图像上的切点得证。定理四：原图中的切线仍为成像后图像上相应位置的切线；证明：由我们的定理三可得，原图中的切点仍为成像后的切点，又由定理二同一条直线上的点成像后在图像上也在同一条线上。则圆A,B,C的公切线上的切点成像后为。那么也为切点，且在一直线上，因为经过3个公切点的直线即为公切线，所以的成像为成像后图像上的A,B,C的切线。定理五：原图中两个连线过圆心的切点成像后的两个像点的连线也必过圆心。证明：设原图中有两个切点，易得的连线为直径即过圆心。而成像后的点为。由我们的定理二同一条直线上的点成像后在图像上也在同一条线上。圆心和切点在同一直线上，所以圆心的成像也在成像后的点为的连线上，所以得证。由以上五个定理，层层深入，我们就可以得到图像成像后圆心所对应的像坐标。由于定理五原图中两个连线过圆心的切点成像后的两个像点的连线也必过圆心。则我们只要找到成像两个图像之间的外公切线，此公切线在原图中也为公切线，且原图中的公切线的连线必过圆心，这样，只要找到成像中两个圆的公切线即可以得到公切线和成像的圆的交点,而通过以上五个定理即可以得出，交点的连线必过圆心。于是我们建立求解各个圆的圆心的模型如图5.2.2：图5.2.2求出圆A、B、C像图中的2条公切线。切点分别为，这样由定理五可得的连线必定过成像中圆A的圆心，同理的连线、的连线必定过圆B和圆C的圆心。同样在竖直方向上，求出圆A,E的1条外公切线和圆C,D的1条外公切线。切点分别为。则由定理五得到的连线必定过成像中圆A、B、C的圆心，的连线过圆E，D的圆心。这样和为过成像中圆A圆心的两条直线，即和的交点即为圆A的圆心，同理可以得到其他四个圆的圆心。Matlab编程程序算法如下：Step1：先把像素图中点以像素形式读进，并且以两部分存储，一部分存储拍摄到的圆的边缘的点，另一部分存储拍摄的圆的内部的点，并且将图中五个圆分开存储。Step2：选取任意2个圆，实际中我们可以选取A,C；D,E；A,E；C,D 4种组合，选取其中一个圆的点iStep3：遍历另一个圆上的点j，计算斜率存储并且比较求出斜率最大的。斜率最小的。结束后，第一个圆取下一个点，循环执行step3，直到第一个圆上所有的点都遍历完。 Step4：在斜率最大的矩阵中找到斜率最小的点，此时对应的两个圆上的点即为对应圆的上方的公切线。在斜率最小的矩阵中找到斜率最大的点即为对应的圆的下方的公切线。Step5：公切线的点求出后，然后就可以联立求出圆心通过以上证明和算法思想，根据像素坐标系的定义，即以左上角为原点，以横轴为u轴，以纵轴为v轴。得到如下的结果点A、B、C、D、E成像后的像素坐标为：（324,187），（421,196），（643,213），（582,505），（286,503）像素坐标系中坐标与像坐标系中坐标转换关系如下：那么在像坐标系中，A、B、C、D、E所成像的坐标值为：（-188,-197,f），（-91,-188,f），（131,-171,f），（70,121,f），（-226,119,f） 其中 f=15575.3问题三5.3.1模型建立问题一中建立的模型是由靶标坐标系下是圆心坐标求得其成像后在像平面的中的坐标，问题二是根据图像成像后的像素图求解出靶标中的圆心在像平面的坐标，所以可以通过问题二中求得的像平面坐标带入问题一中建立的求解模型确定待定的旋转系数矩阵R和位移向量T。根据题中所给的图3，可以求出靶标图中各圆心的成像后在像素坐标平面中的坐标，像素坐标到像坐标的转换关系为： 其中，、分别为像素单位在X、Y轴上宽度与问题一中建立的模型联立：整理后得到方程组：当、，已知时，上述方程组中共有12个未知数，所以当把6个点成像后在像素坐标平面中的坐标带入上述方程组，可以由12个方程组成的12元一次方程组，联立即可求得方程组的解，即可解出旋转系数矩阵R以及位移向量T。确定出解出旋转系数矩阵R以及位移向量T后，在题中图1中选定一检测点D，带入下列方程组：计算出该点成像后在像素坐标系中的坐标，与题中图2对应的像点像素坐标进行比较，根据，我们定义模型的精度即为原图中一点成像后在通过计算公式求得的像素坐标和该点成像后在像素坐标中理论点的差值，即精度为。我们定义稳定度为10个点的差值的方差。5.3.2模型求解根据问题二中求出的A、B、C、D、E以及靶标坐标系中的原点O成像后的像素坐标（324，187）、（421，196）、（643，213）、（582，505）、（286，503）、（464，360），分别带入模型建立中整理出的方程组，得到一个由12个方程组成的12元一次方程组，令，可以利用最小二乘法求解出方程组的解：下面，对该模型进行检验。取靶标图中的10个监测点（如图5.3.1），他们在标靶坐标系中的坐标分别为：(-50,62),(-50,38),(-20,62),(-20,38),(50,62),(50,38),(50,-38),(50,-62),(-50,-38),(-50,-62)图5.3.1根据5.3.1中所述的计算方法，可以求得其成像后在像素坐标系中的坐标，并再由题中图2所示，求出该点的实际像素坐标，列表如下：i12345678910315328418429651635282290589575230148.237156176251538467472537317.7327.2417.8429.5650.7634.8282.5290.4588.9575.6288.7145.6235.7154.7174.3250.9537.0468.1472.9537.1其中，为从题中图2中得到的点的实际像素坐标 为经过上述算法计算出的点的计算像素坐标利用公式求得计算值与实际值的误差，列表如下：i123456789102.67-0.85-0.170.45-0.31-0.160.520.37-0.110.59-1.27-2.45-1.26-1.35-1.67-0.08-0.991.130.880.14由上表最大像素坐标值差距为2.67，并且画出横轴和纵轴的误差曲线，如下：方差为0.570214方差为0.476549由计算结果可以看出，误差与方差均较小，所以可以认为该模型的精度与稳定较好。由图上也可以看出，这些计算值能较均匀地分布在精确值的两侧，说明该模型的精度和稳定度均较好。5.4问题四的模型建立前三问的模型建立计算与验证，我们可以通过空间中点在靶标坐标系中的坐标与其在光心坐标系中的坐标进行相互转换，也就是说已知一个空间点在光心坐标系中的坐标，我们也可以得到其靶标坐标系中的坐标。那么对于两台相机，有两个不同的光心坐标系，由于靶标坐标系的定义始终与靶标自身有关，所以我们可以把在这两个不同坐标系中的坐标转换到同一个靶标坐标系中，这样，两个不同相机的光心坐标系中的光心点就可以通过靶标坐标系中的坐标进行相对位置的计算。由前面三问的讨论，对于一台相机我们可以得到一个靶标坐标系中的坐标和光心坐标系中的坐标存在一个转换关系，即，其中该点为靶标坐标系下的坐标，为该点在相机光心坐标系下的坐标，为其旋转系数矩阵，为位移向量。同样的，对于另一部相机也存在这样的一个关系，即。的求解可以根据该相机所摄的图像取点进行求解，具体方法见问题3。设照相机1的光心在其光心坐标系下和其在靶标坐标系下的坐标分别为，；照相机2在光心和靶标坐标系下的坐标分别为，。通过上文中给出的空间中任意一点在光心坐标系和靶标坐标系中的坐标的转化关系，可