高中数学竞赛解题方法篇(不等式)

第 1 页 共 15 页 高中数学竞赛中不等式的解法 摘要摘要 本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式 平均值不等式 柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程 并 挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助 不等式在数学中占有重要的地位 由于其证明的困难性和方法的多样性 而成为竞赛数学中的热门题型 在解 决竞赛数学中的不等式问题的过程中 常常要用到几个著名的代数不等式 排序不等式 平均值不等式 柯西不等 式 切比雪夫不等式 本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用 1 1 排序不等式 定理定理 1 1设 则有 1212 nn aaa bbb 倒序积和 1211 nnn aba ba b 乱序积和 12 12 n rrnr aba ba b 顺序积和 1 122 nn aba ba b 其中是实数组一个排列 等式当且仅当或时成立 1 2 n r rr 1 2 n b bb 12 n aaa 12 n bbb 说明 本不等式称排序不等式 俗称倒序积和乱序积和顺序积和 证明证明 考察右边不等式 并记 12 12 n rrnr Saba ba b 不等式 的意义 当时 S 达到最大值 12 12 n rrnr Saba ba b 12 1 2 n rrrn 因此 首先证明必须和搭配 才能使 S 达到最大值 也即 设且和某个 1 122 nn aba ba b n a n b n rn n b 搭配时有 k a kn 1 1 nn knnrkrnn a ba ba ba b 事实上 0 nnn nnkrknnrnrnk a ba ba ba bbbaa 不等式 1 1 告诉我们当时 调换和的位置 其余 n 2 项不变 会使和 S 增加 同理 调整好 n rn n b n r b 和后 再调整和会使和增加 经过 n 次调整后 和 S 达到最大值 这就证 n a n b 1n a 1n b 1 122 nn aba ba b 明了 12 12 n rrnr aba ba b 1 122 nn aba ba b 再证不等式左端 第 2 页 共 15 页 由及已证明的不等式右端 1211 nnn aaabbb 得 1211 nnn aba ba b 12 12 n rrnr aba ba b 即 1211 nnn aba ba b 12 12 n rrnr aba ba b 例例 1 1 美国第 3 届中学生数学竞赛题 设 a b c 是正数 求证 3 a b c abc a b cabc 思路分析思路分析 考虑两边取常用对数 再利用排序不等式证明 证明证明 不妨设 则有abc lglglgabc 根据排序不等式有 lglglglglglgaabbccabbcca lglglglglglgaabbccacbacb 以上两式相加 两边再分别加上 lglglgaabbcc 有 3 lglglg lglglg aabbccabccab 即 lglg 3 abc abc a b cabc 故 3 a b c abc a b cabc 例例 2 2 设 a b c 求证 R 222222333 222 abbccaabc abc cabbccaab 思路分析思路分析 中间式子每项都是两个式子之和 将它们拆开 再用排序不等式证明 证明证明 不妨设 则 且abc 222 abc 111 cba 根据排序不等式 有 222 222 111abc abc cababc 222 222 111abc abc bcaabc 两式相加除以 2 得 第 3 页 共 15 页 222222 222 abbcca abc cab 再考虑 并且 333 abc 111 bccaab 利用排序不等式 333 333 111 abc abc bccaabcaabbc 333 333 111 abc abc bccaababbcac 两式相加并除以 2 即得 222222333 222 abbccaabc cabbccaab 综上所述 原不等式得证 例例 3 3 设 而与是的两个排列 1212 0 0 nn aaabbb 1 2 n i ii 1 2 n j jj1 2 n 求证 1 2 1111 rs nnnn ij rs rsrs a b a b rsrs 思路分析思路分析 已知条件中有两组有序实数 而式 1 2 具有 积和 形式 考虑使用排序不等式 证明证明 令 r 1 s n j r s b d rs 1 2 n 显然 12 n ddd 因为 且 12 n bbb 111 1 1rnrnr 由排序不等式 1 n s r s b d rs 又因为 12 n aaa 所以 且 注意到0 11 r nn rrir rr a da d 111 nnn s rrr rsr b aa d rs r a 第 4 页 共 15 页 故 11111 rss r nnnnn ijj irir rsrsr a bb aa d rsrs 11111 nnnnn srs rrr rrsrs ba b a da rsrs 故 原式得证 2 均值不等式 定理定理 2 2 设是 n 个正数 则称为均值不等式 12 n a aa H nG nA nQ n 其中 12 1 111 n H n aaa 12 n n G na aa 12 n aaa A n n 222 12 n aaa Q n n 分别称为的调和平均数 几何平均数 算术平均数 均方根平均数 12 n a aa 证明证明 先证 G nA n 记 令 12 n n ca aa i i a b c 则 原不等式 12 n bbbn 其中 1 212 1 1 nn n bbba aa c 取 使 则 12 n x xx 112 121 23 n n n xxx bbb xxx 1 n n x b x 由排序不等式 易证 11 12 21 nn n n xxx bbbn xxx 第 5 页 共 15 页 下证 A nQ n 因为 2222 1212 1 nn aaaaaa n 222 12131 n aaaaaa 2222 232421 nnn aaaaaaaa 2 12 1 n aaa n 所以 222 1212 nn aaaaaa nn 从上述证明知道 当且仅当时 不等式取等号 12 n aaa 下面证明 H nG n 对 n 个正数 应用 得 12 111 n aaa G nH n 12 12 111 1 11 n n n aaa na aa 即 等号成立的条件是显然的 H nG n 例例 4 4 已知 求证 22 01 0axy 1 log log 2 8 xy aa aa 证明证明 由于 01a 0 0 xy aa 有 22 xyxyx y aaa aa 从而 log log 2 log 2 2 xyxy aaa xy aaa a 下证 即 1 28 xy 1 4 xy 又因为 等号在 x 这时 y 时取得 2 111 244 xyxxx 1 2 1 4 所以 1 log log 2 8 xy aa aa 例例 5 5 IMO 设 a b c 是正实数 且满足 abc 1 证明 111 1 1 1 1abc bca 第 6 页 共 15 页 证明证明 令 其中 x y z 是正实数 将原不等式变形为 yyz abc xzx 2 1 xyzyzx zxyxyz 记 uxyz vyzx wzxy 注意到 u v w 任意两个之和是一个正数 所以它们中间至多有一个负数 如果恰有一个负数 那么 2 1 式成立 0uvwxyz 如果这三个数都大于 0 由算术 几何平均不等式 1 2 uvxyzyzxx 同理可证 vwy wuz 于是 uv vw wuxyz 即 2 1 式得证 uvwxyz 例例 6 6 已知 且 12 0 n a aa 12 1 n aaa 求证 12 2313121 1 1 1 21 n nnn aaan aaaaaaaaan 思路分析思路分析 左边各项形式较复杂 首先将其化简为 11 2 1 22 nn i ii ii a aa 左边为和的形式 但其各项之和难与右边联系 利用算术平均大于几何平均难以求证 而左边各项可看为 2 2 i a 倒数形式 尝试用调和平均 证明证明 不等式左边化为 11 2 1 22 nn i ii ii a aa 对 利用有 12 222 222 n aaa A nH n 1 1 1 22 2 n i n ii i i an ana 第 7 页 共 15 页 即 222 1 1 22 11 221 22 n i n i i i annn n nna 所以 2 111 222 1 22221 nnn ii iii ii aan nn aan 21 n n 3 3 柯西不等式 柯西不等式 定理定理3 3 设 i 1 2 n 恒有不等式 当且仅当时 i a i bR 222 111 nnn iiii iii abab 12 12 n n bbb aaa 等式成立 构造二次函数证明构造二次函数证明 当或时 不等式显然成立0 21 n aaa 0 21 n bbb 令 当中至少有一个不为零时 可知 A 0 n i i aA 1 2 n i iib aB 1 n i i bC 1 2 n aaa 21 构造二次函数 展开得 CBxAxxf 22 2 02 1 2 1 2 2 2 n i ii n i iiii bxabxbaxaxf 故的判别式 xf044 2 ACB 移项得 得证 2 BAC 向量法证明向量法证明 令 则对向量有 由 nn bbbaaa 2121 1 cos 得当且 nnb ababa 2211 n i i n i i ba 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 n i i n i i n i ii baba 仅当 即平行时等号成立 1 cos 数学归纳法证明数学归纳法证明 i 当 n 1时 有 不等式成立 2 2 2 1 2 11 baba 当 n 2时 2211 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2211 2babababababa 第 8 页 共 15 页 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 bababababbaa 因为 故有 2211 2 1 2 2 2 2 2 1 2babababa 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2211 bbaababa 当且仅当 即时等号成立 1221 baba 2 2 1 1 b a b a ii 假设 n k 时不等式成立 即 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211kkkk bbbaaabababa 当且仅当时等号成立 k k b a b a b a 2 2 1 1 那么当 n k 1时 2 1 2 1221111 2 2211 2 112211 2 kkkkkkkk kkkk babababababababa babababa 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 1 22 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 1 22 2 2 1 2 1 2 1221111 22 2 2 1 22 2 2 1 2 kk kkkkkkkkkk kkkkkkkk bbbaaa baabbaabbabbbaaa babababababbbaaa 22 2 2 1 22 2 2 1nn bbbaaa 当且仅当时等号成立 1112121111 kkkkkkkk abbaabbaabba 即时等号成立 1 1 2 2 1 1 k k k k b a b a b a b a 于是 n k 1时不等式成立 由 i ii 可得对于任意的自然数 n 柯西不等式成立 利用恒等式证明利用恒等式证明 先用数学归纳法证明如下恒等式 然后证明柯西不等式 对于两组实数有柯西 拉 nn bbbaaa 2121 格朗日恒等式 2 11 2 22 2 2332 2 11 2 1331 2 1221 2 2211 22 2 2 1 22 2 2 1 nnnnnn nn nnnn babababababa babababababa babababbbaaa 由实数性质可得柯西不等式成立 R 0 2 以上给出了柯西不等式的几种证法 不难看出柯西不等式的重要性 它的对称和谐的结构 广泛的应用 简洁 明快的解题方法等特点深受人们的喜爱 所以 若将此定理作进一步剖析 归纳它的各类变形 将会有更多收获 第 9 页 共 15 页 柯西不等式的推广柯西不等式的推广 命题命题1 1 若级数收敛 则有不等式 n i i n i i ba 1 2 1 2与 n i i n i i n i ii baba 1 2 1 2 2 1 证明 收敛 n i i n i i ba 1 2 1 2 n i i n i i n i ii baba 1 2 1 2 2 1 0 收敛 且 i n i ib a 1 n i i n n i i n n i ii n baba 1 2 1 2 2 1 limlimlim 从而有不等式成立 n i i n i i n i ii baba 1 2 1 2 2 1 命题命题2 2 3 3 若级数收敛 且对有 则对定义在上的任意连续函 n i i n i i ba 1 2 1 2与 Nn n i i n i i n i ii baba 1 2 1 2 2 1 ba 数有不等式 xgxf dxxgdxxfdxxgxf b a b a b a 22 2 证明 因为函数在区间上连续 所以函数在上可积 将 xgxf ba xgxfxgxf 22 与 ba 区间 n 等分 取每个小区间的左端点为 由定积分的定义得 ba i xgdxxgxfdxxf xgdxxgxfdxxf i n i n b a i n i n b a n i i n b a n i i n b a 1 22 1 22 11 lim lim lim lim 令 则收敛 由柯西不等式得 1 2 2 11 2 2 1 gbfa n i i n i i ba 1 2 1 2与 从而有不等式 n i i n n i i n n i ii n n i i n i i n i ii xgxfxgf xgxfxgf 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 limlimlim dxxgdxxfdxxgxf b a b a b a 22 2 赫尔德不等式赫尔德不等式 4 4 第 10 页 共 15 页 设满足则 等号 0 0 2 1 0 0 11 qpniba 1 11 qp q n i q i p n i p i n i ii baba 1 1 1 11 成立的充分必要条件是 0 2 1 niba q i p i 证明 首先证明时 对任何正数 A 及 B 有 1 11 qp ABB q A p qp 11 对凹函数有 ln xxf 11 lnln 1 ln 111 lnABB q A p ABB q A p B q A p qPqpqP 令代入以上不等式并对于 把这 n 个不等式相加 1 1 1 1 q n i q i k p n i p i k b b B a a A nk 2 1 即 1 1111 1 11 1 1 1 1 1 qp b b q a a p ba ba n k n i q i q k n i p i p k n k q n i q i p n i p i kk 成立 等号成立的充分必要条件是 即 q n i q i p n i p i n i ii baba 1 1 1 11 11 n i q i q i n i p i p i b b a a 例例 7 7 设 求证 12 n x xxR 2222 112 12 231 nn n n xxxx xxx xxxx 思路分析思路分析 注意到式子中的倒数关系 考虑运用柯西不等式来证明 证明证明 因为0 故由柯西不等式 得 12 n x xx 2222 112 231 231 2 112 231 231 2 231 nn n n nn n n n xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx 所以 2222 112 12 231 nn n n xxxx xxx xxxx 第 11 页 共 15 页 例例 8 8 已知实数 e 满足 求 e 的取值范围 a b c d 22222 8 16abcdeabcde 思路分析思路分析 由联想到应用柯西不等式 22222 abcde 解解 因为 22222222 4 1 1 1 1 abcdabcd 2 abcd 即 22 4 16 8 ee 22 64464 16eee 即 所以 2 5160ee 516 0ee 故 6 0 5 e 评述评述 此题十分巧妙地应用柯西不等式求最值 十分典型 它是将重要不等式应用于求最值问题的一道重要题目 例例 9 9 满足 求的最小值 123 x x xR 222 123 1xxx 312 222 123 111 xxx xxx 解解 容易猜到时 取最小值 123 1 3 xxx 312 222 123 111 xxx xxx 3 3 2 为了证明这一点 利用柯西不等式 得 333 322 2 111 1 1 1 i iii iii i x xxx x 只需要证明 3 32 1 2 1 3 3 ii i xx 等价于 3 1 33 53 11 2 3 3 ii ii xx 由几何 算术平均不等式 得 222 553 111 3 111 2 3 3 33 33 3 xxx xxx 同理可证 222 553 222 3 222 2 3 3 33 33 3 xxx xxx 第 12 页 共 15 页 222 553 333 3 333 2 3 3 33 33 3 xxx xxx 以上三式相加 3 1 式得证 进而证得 的最小值是 当且仅当时 312 222 123 111 xxx xxx 3 3 2 123 1 3 xxx 评述评述 柯西不等式中的的项如何拆成两个因式和的积 可以说是应用此不等式的主要技巧 上 ii ab ii ab i a i b 例 我们将中的表示为和的积 正因为可以按照 3 32 1 2 1 3 3 ii i xx 3 2 1 i i x 2 i x 2 1 i i x x 32 1 ii xx ii ab 我们的需要加以分解 柯西不等式的应用更为广泛 例例 1010 试问 当且仅当实数满足什么条件是 存在实数使得 01 2 n x xx n 01 n yyy 成立 其中 i 为虚数单位 k 0 1 n 证明你的结论 高中联赛 2222 012 n zzzz kkk zxiy 1997 思路分析思路分析 将成立转换到实数范围内求解 根据表达式的特点 结合柯西不等式寻找 2222 012 n zzzz 的范围 1 2 i x in 解解 将转化到实数范围内 即 2222 012 n zzzz 3 2 2222 00 11 00 1 nn kk kk n kk k xxyy x yx y 若存在实数使 3 2 成立 则 01 n yyy 222 00 1 n kk k x yx y 由柯西不等式可得 3 3 2222 00 11 nn kk kk x yxy 如果 由 3 2 可知 从而 22 0 1 n k k xx 22 0 1 n k k yy 与 3 3 矛盾 2222 00 11 nn kk kk x yxy 第 13 页 共 15 页 于是得 3 4 22 0 1 n k k xx 反之若 3 4 成立 有两种情况 则取 k 0 1 2 n 显然 3 2 成立 22 0 1 n k k xx kk yx 记 则不全为 0 22 0 1 n k k xx 222 0 1 0 n k k axx 1 n xx 不妨设 0 n x 取 并且取 0 0 1 2 2 k ykn 1 1 2222 11 nn nn nnnn axax yy xxxx 易知 3 2 成立 综上 所求的条件为 22 0 1 n k k xx 4 4 切比雪夫不等式 切比雪夫不等式 定理定理 4 4 设 为任意两组实数 若且或 12 n x xx 12 n y yy 12 n xxx 12 n yyy 且 则 12 n xxx 12 n yyy 4 1 111 111 nnn iiii iii x yxy nnn 若且或且 则 12 n xxx 12 n yyy 12 n xxx 12 n yyy 4 2 111 111 nnn iiii iii x yxy nnn 当