四年级奥数-教师版-第六讲幻方与数阵图

指南针小升初 0 第六讲第六讲 幻方与数阵图幻方与数阵图 知识导航知识导航 三阶幻方的性质 1 中心位置上的数等于幻和除以 3 2 角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数 3 中心数两头的数等于中心数的 2 倍 例例 1 我们先来一起解决三道难度相差很大的题目 目的在于总结出三阶幻方的若 干重要性质 如下图 将 1 9 填入 3 3 的方格表中 使得每行每列以及两条对角线上的三个数字 之和都相等 你一共可以得到多少种填法 解析 解析 首先 我们思考要填出一个三阶幻方 什么量的求出是最重要的 立刻我们 就知道 那个所谓的 幻和 即每行 每列 每条对角线三个数的和是最重要的 量 它是多少呢 哦 如果我们按照行 按照列也一样 把幻方中的九个数加起来 那么它们的总和不就是 3 倍的 幻和 吗 而另一方面 我们也知道 由于 1 到 9 这九个数字都只各用了一次 所以 3 倍的的 幻和 就等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 45 请复习学过的等差数列知识 于是最后 我们终于得到 这个至关重要的 幻和 就是 45 3 15 接下来第二步 我们来关心一下中间一格应该填哪个数字 同学们可能会说 中间一定填 5 因为 1 到 9 的中间数字就是 5 而幻方又是上 下左右对称的 没错 同学们有这样的数学直观很好 但是为了确定我们的判断 还是需要严格地说明一下 ABC DEF GHI 看上面的表格 由于我们还没有填入任何一个数字 所以就用了九个大写字母 来表示 下面就需要技巧了 我们现在只考虑包含 E 的四条直线 因为 A E I 15 B E H 15 C E G 15 D E F 15 所以如果我们把这四个式子的左右两边分别相加 就可以得到 A B C D E F G H I 3 E 60 第 1 题 指南针小升初 1 而 A B C D E F G H I 不就是所填数的总和吗 不论填法如何 这个数是 不变的 它就是 45 于是那么我们就得到 E 5 了 解 解 根据上面的分析 我们知道 幻和 15 而 E 5 从而我们知道 A I B H C G D F 10 也意味着在所有经过中心的直线上 两端的数字奇偶性相同 然后我们可以通过枚举的方法确定每个位置上数字的奇偶 性 大家自己完成 偶奇偶 奇5奇 偶奇偶 我们可以看到 如果 4 个角上的偶数被确定下来 那么其余 4 个奇数也就被确 定了 所以我们可以只考虑这 4 个偶数的填法 利用一点简单的乘法原理 大家就 可以知道本题共有 8 种填法 具体填法如下 294276834816 753951159357 618 438672492 总结 总结 这里要强调一点 奇偶性分析并不是解决幻方题的典型方法 只在某些特殊 的题目中会被用到 在上面这个解题过程中 我们用到了一点技巧 希望同学们加以领会 本题中 我们看到所有经过中心的直线上 两端数字的平均数就等于中间这个 E 那么我们来问一个深入一点的问题 你认为这是在这道题中才产生的特殊性质 还是所有的三阶幻方都应该具有类似的性质 还有 就是上面我们曾经得出的那个 幻和 的 3 倍就等于这九个数之和的这 条性质 它能不能推广到所有的三阶幻方 巩固巩固 请你将 3 11 这 9 个数字填入下面的方格中 使横 竖 斜行三个数的和 相等 解析 解析 首先将这列数中的中间数放在中间的格子里 可知幻和是 7 3 21 其次 将最小的数和最大的数分别放在这个数的横 向或竖向的两边 第三 中间数前面的第 2 和第 4 个数分 别填在最大数的两侧 这时就可以轻松的确定剩下的几个 空了 492438672618 357951159753 816 276834294 指南针小升初 2 例例 2 下图是一个三阶幻方 请说明幻和等于 3 倍的 E 且 D F 2 E 解析 解析 有了第 1 题的基础 大家应该对本题感到不是那么陌生了 只要把第 1 题的 一部分解题过程搬过来就行 这道题也是让大家看一看如何把一个特殊的解题过程 变成一条普遍的规律或性质 解 解 首先把题目中的空白格子标上不同的字母 以便表述 ABC DEF GHI 首先 只考虑包含 E 的四条直线 得到 A E I 幻和 B E H 幻和 C E G 幻和 D E F 幻和 然后 把这四个式子的左右两边分别相加 得到 A B C D E F G H I 3 E 4 倍的 幻和 而另一方面 如果我们只考虑幻方的三行 则有 A B C D E F G H I 幻和 因此 A B C D E F G H I 3 倍的 幻和 所以 3 E 幻和 而 幻和 D E F 于是 D F 2 E 总结 总结 同样的分析办法 还可以得到 A I B H C G D F 2 E 请大家自己说明 本题回答了例 1 评议中提出的两个问题 从而我们得到三阶幻方的两条重要性 质 性质性质 1 幻和幻和 的的 3 倍等于这九个数之和 倍等于这九个数之和 性质性质 2 所有经过中心的直线上 两端数字的平均数就等于正中间的数字 所有经过中心的直线上 两端数字的平均数就等于正中间的数字 例例 3 上 上图是一个三阶幻方 请说明 A B 2 C 894 3711 1056 4 3711 6 DEF 第 2 题 B A C 第 3 题 指南针小升初 3 解析 解析 这是一道难题 它之所以难 就在于条件太少 只有三阶幻方的概念可以用 于是我们就想到利用性质 1 和 2 看看能不能解决问题 当然 只利用题目中的 A B C 三个位置上的数字是不可能做出来的 至少还 要利用一个其它位置上的数字作为过渡 比如我们可以选择左上角的数字 并用 x 来表示它 xB A C 下面我们要用到比较法 其实也就是性质 1 解 解 现在考虑 处的数字 如果我们只看上面第一行和右边第一列 可以知道 C B x 也就是 B x C 而如果我们只看中间第二行和左上到右下的对角线 可 以知道 x C A 也就是 x C A 所以 B x C x C A 两边可以都去掉 x 就得到 A B 2 C 总结 总结 这就是幻方的性质 3 也被形象的称为 T 字型性质 当然 类似本题中这 样 A B 2 C 的性质还有另外 3 种不同方向的表达形式 大家应该自己可以总结出 来 T 字型性质是非常重要 而且神奇的性质 它神奇就神奇在三阶幻方有无穷 多个 看起来好像数字怎么填都可以 但是这条性质却告诉我们在离得这么远的三 个位置上的数字之间却有着这样简单的关系 三阶幻方中的数字不是随便怎么填都 可以的 中间还潜藏着一些更深层次的特殊性质 这正是数学的魅力所在 例例 4 那么究竟我们总结出来的 3 条性质有什么用呢 请完成下面的三阶幻方 解析 解析 本题需要综合利用上面的 3 条性质以及比较法来解决 目的主要是求出 幻 和 一旦 幻和 求出来了 一切就都没问题了 但是不同人的解题顺序和利用 性质的方式可能很不一样 所以下面我只是提供一种可行的解题顺序和方法 大家 应该有自己的解题顺序和方法 这类题是简单的 解 解 1 B A 100 19 95 10019 95 第 4 题 1 17 29 19 第 4 题 2 指南针小升初 4 根据性质 2 A 100 2 19 181 B 100 2 95 105 幻和 100 3 300 下 面就只要根据幻方的概念填就可以了 答案如下 24171 105 181 10019 9529176 2 17A 29C 19B 根据比较法 A 19 29 17 31 根据性质 3 B 17 29 2 23 根据性质 2 C 19 31 2 25 幻和 25 3 75 下面也就只要根据幻方的概念填就可以 了 答案如下 271731 292521 193323 总结 总结 最后重申几点注意事项 I 这些性质只适用于三阶幻方 对于四阶和四阶以上的幻方 有些性质可能 就不成立了 而有些需要修改 请同学们慎重 具体问题具体处理 II 这几条性质适合于所有的三阶幻方 并没有局限性 2 四阶幻方 四阶幻方 4 阶幻方的填法 将数字从左到右 从上到下按顺序填写 这个方阵的对角线 已经用颜色标出 将对角线上的数字 换成与它互补 同色 的数字 这里 n n 1 4 4 1 17 把 1 换成 17 1 16 把 6 换成 17 6 11 把 11 换成 17 11 6 换完后就是一个四阶幻方 见右上图 指南针小升初 5 数阵图数阵图 知识导航知识导航 数阵图问题千变万化 这一类问题要求数阵中填入了一些数以后 能保证数阵 中特定关系线 或关系区域 上的数的和相等 解决这类问题可以按以下步骤解决 问题 第一步 第一步 从整体考虑 将要求满足相等的几个数字和全部相加 一般为 n s 的形式 第二步 第二步 从个体考虑 分别计算每一个位置数字相加的次数 将比较特殊的 多加 或少加几次 位置数字用未知数表示 全部相加 一般为题目所给全部数字和 一 般位置数字相加次数 特殊位置数字和 多加或少加次数的形式 第三步 第三步 格局整体与个体的关系 列出等式即 n s 题目所给全部数字和 一般位 置数字相加次数 特殊位置数字和 多加或少加次数 第四步 第四步 根据数论植树即整除性确定特殊位置数的取值即相对应的 S 值 第四步 第四步 根据确定的特殊位置数字及 S 值进行数字分组及尝试 类型一 封闭类型的数阵图类型一 封闭类型的数阵图 例例 1 将 1 6 六个自然数分别填入下图的 内 使三角形每边上的三数之和都等于 11 解析 解析 此图是封闭 3 3 图 因为每条边上的和都为 11 那么三条边上的数字之和 为 11 而 1 2 5 6 21 所以三角形的三个数之和等于 33 21 12 在 1 6333 中选 3 个和为 12 的数 且其中任意两个的和不等于 11 这样的组合有 12 2 4 6 3 4 5 经试验 填法如图 例例 2 将 1 6 填入左下图的六个 中 是三角形每条边上的三个数之和都等于 k 请指出的取值范围 k 1 6 243 5 1 6 325 4 2 5 416 3 指南针小升初 6 4 3 516 2 解析 解析 设三角形三个顶点的数字之和为 因为每个顶点属于两条边公有 所以把s 三条边的数字和加起来 等于将 1 至 6 加一遍 同时将三个顶点数字多加一遍 于 是有 1 2 3 4 5 6 化简后为 由于是三个数之和 故s3k213Sk s 最小为 1 2 3 6 最大为 4 5 6 15 由此求出 9 和有四组取值 12k sk 9 6 k s 10 9 k s 11 12 k s 12 15 k s 通过实验 每组取值都相应一种填数方法 见右上图 像例题中的数阵图 它的各边相互连接 形成封闭图形 我们称它们为 封闭 型数阵图 天这样的图形 主要是顶点数字 抓住条件提供的关系方式 进行分析 用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和 最后填出数阵图 一般地 有条边 每条有个数的图形称为封闭型 或辐射型或复合型 mn 图 封闭型图有个重叠数 重叠次数都是 1 次 对于封闭型数阵图 mn mn m 因为重叠一次 所以 已知各数之和 重叠之和 每边各数之和边数 类型二 辐射类型的数阵图类型二 辐射类型的数阵图 例例 1 将 1 7 这七个数字 分别填入图中各个 内 使每条线段上的三个 内数的 和相等 指南针小升初 7 解析 解析 设中心 内填 由于三条线上的数字和相加应是 3 的倍数 其中一共加aa 了 3 次 所以 1 2 3 4 5 6 7 2 28 2一定是 3 的倍数 而 28 那aa391 么 2的余数应该是 2 因此 4 或 7 a3 1 a 1 当28 2 30 30 10 1 9 除中心外 其它两数的和应是 9 1 a 310 只要把 2 3 4 5 6 7 六个数按 和 是 9 分成三组填入相应的 内 就可以了 填法如图 1 2 当时 28 8 36 36 填法如图 2 4a 312 当时 28 14 42 42 填法如图 3 7a 314 指南针小升初 8 课后练习课后练习 1 在九宫图中 第一行第三列的位置上填 5 第二行第一列位置上填 6 如下图 请 你在其他方格中填上适当的数 使方阵横 纵 斜三个方向的三个数之和均 为 27 解析 解析 已知幻和是 27 可知中间数是 27 3 9 根据 和 差 减数 分别将其他数求出 答案如下 2 在下图的九个方格中 每行 每列 每条对角线上的三个数的和都相等 则 N 解析 解析 已知幻和 8 6 16 30 可求中间数是 30 3 10 设一个角上的数是 根据 幻和的特点 可将其他的空格一次算出 答案如下右图 3 请你将 5 13 这 9 个数字填入下面的方格中 使横 竖 斜行三个数的和相等 5 5 6 6 8145 6912 13410 8N 6 1612 8184 61014 16212 指南针小升初 9 解析解析 中间数是 9 幻和 27 可据此 分别填出其他的空格 不做过多的解释了 4 编制一个三阶幻方 使其幻和等于 24 解析 解析 根据幻和是 24 可以求出中间数是 24 3 8 再根据例题中的方法填其他的空格 5 用 1 至 16 这十六个数编制一个四阶幻方 解析 解析 可用 错位移动法 来填 解解 1 2 正确结果 10116 5913 1278 9105 4812 1167 1 234 5678 9101112 13141516 1234 5678 9101112 13141516 115144 12679 810115 13321