数列的函数特性

数列的函数特性数列的函数特性 一 教学目标一 教学目标 1 1 知识与技能 知识与技能 了解数列的概念和几种简单的表示方法 列表 图象 通项公式 理解 数列是一种特殊的函数 2 2 过程与方法 过程与方法 通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法 列表 图象 通项 公式 3 3 情态与价值 情态与价值 体会数列是一种特殊的函数 借助函数的背景和研究方法来研究 有关数列的问题 可以进一步让学生体会数学知识间的联系 培养用已知去研究未知的能 力 二 教学重点 二 教学重点 理解数列的概念 探索并掌握数列的几种间单的表示法 列表 图象 通 项公式 难点 难点 了解数列是一种特殊的函数 发现数列规律找出可能的通项公式 三 教学方法 三 教学方法 讲授法为主 四 教学过程四 教学过程 一 一 导入新课 导入新课 师师 同学们 昨天我们学习了数列的定义 数列的通项公式的意义等内容 哪位同学能谈一 谈什么叫数列的通项公式 生生 如果数列 an 的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式就叫做 这个数列的通项公式 师师 你能举例说明吗 生生 如数列 0 1 2 3 的通项公式为 an n 1 n N 1 1 1 的通项公式为 an 1 n N 1 n 3 1 的通项公式为 an n N 2 1 3 1 4 1 n 1 教师进一步启发上面数列教师进一步启发上面数列 an n 1 an 与函数有什么关系 你能 n 11 1 f xxf x x 用图象直观表示这个数列吗 由此展开本节新课 二 新知探究 二 新知探究 1 1 数列与函数的关系 数列与函数的关系 数列可以看作特殊的函数 项数是其自变量 项是项数所对应的函 数值 数列的定义域是正整数集 或是正整数集 的有限子集 于是我们研究数列就可借用函数的研究方法 用函数的观点看待数列 合作探究 合作探究 同学们看数列 2 4 8 16 256 中项与项之间的对应关系 项 2 4 8 16 32 序号 1 2 3 4 5 你能从中得到什么启示 生生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N 或它的有限子集 1 2 3 n 的函数 an f n 当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值 反过来 对于函数y f x 如 果f i i 1 2 3 4 有意义 那么我们可以得到一个数列f 1 f 2 f 3 f n 师师 说的很好 如果数列 an 的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示 那么这个 公式就叫做这个数列的通项公式 合作探究 合作探究 师师 函数与数列的比较 由学生完成此表 函数函数数列数列 特殊的函数特殊的函数 定义域定义域R 或 R 的子集N 或它的有限子集 1 2 n 解析式解析式 y f x an f n 图象图象点的集合一些离散的点的集合 师师 对于函数 我们可以根据其函数解析式画出其对应图象 看来 数列也可根据其通项公 式来画出其对应图象 下面同学们练习画数列 4 5 6 7 8 9 10 1 的图象 2 1 3 1 4 1 生生 根据这数列的通项公式画出数列 的图象为 师师 数列 4 5 6 7 8 9 10 的图象与我们学过的什么函数的图象有关 生生 与我们学过的一次函数 y x 3 的图象有关 师师 数列 1 的图象与我们学过的什么函数的图象有关 2 1 3 1 4 1 生生 与我们学过的反比例函数的图象有关 x y 1 师师 这两数列的图象有什么特点 生生 其特点为 它们都是一群孤立的点 生生 它们都位于 y 轴的右侧 即特点为 它们都是一群孤立的 都位于 y 轴的右侧 的点 2 2 数列的表示法 数列的表示法 数列可看作特殊的函数 其表示也应与函数的表示法有联系 首先请学生回忆函数的 表示法 列表法 图象法 解析式法 相对于列表法表示一个函数 数列有这样的表示法 用 表示第一项 用 表示第一项 用 表示第 项 依次写出成为 1 列举法 简记为 一个函数的直观形式是其图象 我们也可用图形表示一个数列 把它称作图示法 2 图示法 启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形 具体方法是以项数 为横坐标 相应的项 为纵坐标 即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点 以前面提到的 数列 为例 做出一个数列的图象 所得的数列的图形是一群孤立的点 因 为横坐标为正整数 所以这些点都在 轴的右侧 而点的个数取决于数列的项数 从图 象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势 有些函数可以用解析式 来表示 解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系 类似地有一些数列的 项能用其项数的函数式表示出来 即 这个函数式叫做数列的通项公式 3 通项公式法 如数列 的通项公式为 的通项公式为 的通项公式为 数列的通项公式具有双重身份 它表示了数列的第 项 又是这个数列中所有各项的 一般表示 通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系 给了数列的通项公式 这个数 列便确定了 代入项数就可求出数列的每一项 例如 数列 的通项公式 则 值得注意的是 正如一个函数未必能用解析式表示一样 不是所有的数列都有通项公 式 即便有通项公式 通项公式也未必唯一 除了以上三种表示法 某些数列相邻的两项 或几项 有关系 这个关系用一个公式 来表示 叫做递推公式 4 递推公式法 如前面所举的钢管的例子 第 层钢管数 与第 层钢管数 的关系是 再给定 便可依次求出各项 再如数列 中 这个数列就是 像这样 如果已知数列的第 1 项 或前几项 且任一项与它的前一项 或前几项 间的 关系用一个公式来表示 这个公式叫做这个数列的递推公式 递推公式是数列所特有的表 示法 它包含两个部分 一是递推关系 一是初始条件 二者缺一不可 可由学生举例 以检验学生是否理解 三 三 例题探析 例题探析 例 1 判断下列无穷数列的增减性 1 2 1 0 1 3 n 2 1 2 3 2 3 41 n n A A AA A A 学生探究交流 教师准对问题讲评并引导学生归纳方法 答案 1 递减数列 2 递 增数列 例 2 作出数列 的图像 并分析数列的增减性 1 11 11 2 48 162 n K K Y 1 2 1 4 O O 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 X X 1 4 1 2 解析 如图是这个数列的图象 数列各项的值正负相间 表