相似矩阵及二次型

1 第五章 相似矩阵及二次型 5 4对称矩阵的对角化 5 3相似矩阵 5 2方阵的特征值与特征向量 5 1向量的内积 长度及正交性 5 5二次型及其标准形 5 6用配方法化二次型成标准形 5 7正定二次型 2 n维向量空间是三维向量空间的直接推广 但是只定义了线性运算 而三维空间中有向量夹角和长度的概念 它们构成了三维空间丰富的内容 5 1向量的内积 长度及正交性 引言 我们希望把这两个概念推广到n维向量空间中 在解析几何中 我们曾定义了向量的内积 数量积 建立标准的直角坐标系后 可用向量的坐标来计算内积 3 内积 一 内积的定义及性质 定义 4 性质 著名的Cauchy Schwarz不等式 即 5 二 向量的长度及性质 定义 性质 三角不等式用Cauchy Schwarz不等式易证 见P114 6 单位向量 夹角 三 单位向量和n维向量间的夹角 正交 7 四 正交向量组 定义 若一个不含零向量的向量组中的向量两两正交 则称该向量组为正交向量组 又如果这些向量都是单位向量 则称该向量组为规范正交向量组 若该向量组是一个向量空间V的基 又分别称为向量空间V的正交基和规范正交基 8 正交向量组必线性无关 9 求得基础解系 即为所求 为 10 例1的一般化 也称正交基的扩张定理 设是中的一个正交向量组 证明必可找到个向量使构成的正交基 记 必有非零解 其任一非零解即为所求的 11 五 施密特正交化过程 找与等价的正交向量组 12 以三个向量为例 从几何直观上去求 上式两边与做内积 注意得 从而 13 我们已求得已正交 再求构造 1 式两边与内积 注意 得 1 式两边再与内积 类似可得 从而 14 设线性无关 令 则两两正交 且与等价 15 两两正交 可用数学归纳法严格证明 与等价 这是因为 只需看三个 16 求的一个规范正交基 并求向量 解易知线性无关 用施密特正交化方法 再单位化 在该规范正交基下的坐标 17 当建立规范正交基 相当于标准直角坐标系 后 求一个向量的坐标就特别方便 两边分别与内积 这里就不具体计算了 18 六 正交矩阵 A是正交矩阵 19 记 证 只证第三条 20 性质 1 A是正交矩阵 则和都是正交矩阵 2 A B都是正交矩阵 则AB也是正交矩阵 3 A是正交矩阵 则 4 P是正交矩阵 则 即正交变换保持向量的长度不变 21 第五章 相似矩阵及二次型 5 4对称矩阵的对角化 5 3相似矩阵 5 2方阵的特征值与特征向量 5 1向量的内积 长度及正交性 5 5二次型及其标准形 5 6用配方法化二次型成标准形 5 7正定二次型 22 5 2方阵的特征值与特征向量 引言 如果存在可逆矩阵P使 1 式成立 此时称方阵A是可 相似 对角化的 满足上式的称为A的特征值 称为A的对应于特征值的特征向量 23 把 1 改写为 24 注 第一章已求得 称为A的特征多项式 而称为A的特征方程 由代数基本定理 特征方程在复数范围恰有n个根 重根按重数计算 因此 n阶方阵在复数范围恰有n个特征值 本章关于特征值 特征向量的讨论永远假设在复数范围内进行 25 性质 又 26 求矩阵的特征值 两个特征值为 问 特征向量是实的还是复的 27 求A的特征值 因此 n个特征值为 问 对角矩阵 下三角矩阵的特征值为 28 求矩阵A B的特征值和特征向量 解 对矩阵A 29 A的特征值为 对于 解方程组 同解方程组为 令 得基础解系 因此 对应于特征值的所有特征向量为 30 对于 解方程组 同解方程组为 令 得基础解系 因此 对应于特征值的所有特征向量为 31 对矩阵B B的特征值为 32 对于 解方程组 同解方程组为 令 得基础解系 因此 对应于特征值的所有特征向量为 33 对于 解方程组 同解方程组为 令 得基础解系 因此 对应于特征值的所有特征向量为 34 回答问题 1 向量满足 是A的特征向量吗 2 实矩阵的特征值 特征向量 一定是实的吗 3 矩阵A可逆的充要条件是所有特征值 A有一个特征值为 4 A有一个特征值为 可逆 A的特征值一定不等于 35 6 一个特征值对应于几个特征向量 一个特征向量对应几个特征值 后面证明 7 A的各行元素之和均等于2 则A有一个特征值 是 它对应的特征向量是 5 A的特征值与的特征值有什么关系 特征向量的个数 是的一个特征值 它对应的最大无关的 36 证明 一个特征向量只能对应一个特征值 证假设A的特征值和对应的特征向量都是 则 37 设是方阵A的特征值 对应的一个特征向量 证明 1 是kA的特征值 对应的特征向量仍为x 2 是的特征值 对应的特征向量仍为x 3 当A可逆时 是的特征值 对应的 特征向量仍为x 证 38 推广 设是方阵A的特征值 则是的特征值 的特征值 是 是 39 设3阶矩阵A的三个特征值为 求 解A的特征值全不为零 故A可逆 的三个特征值为 计算得 因此 40 证明A的特征值只能取1或2 设是A的特征值 则 的特征值为 由于是零矩阵 其特征值全是零 故 证 41 第五章 相似矩阵及二次型 5 4对称矩阵的对角化 5 3相似矩阵 5 2方阵的特征值与特征向量 5 1向量的内积 长度及正交性 5 5二次型及其标准形 5 6用配方法化二次型成标准形 5 7正定二次型 42 5 3相似矩阵 设A B都是n阶矩阵 若有可逆矩阵P 使 则称B是A的相似矩阵 或说矩阵A与B相似 对A进行运算称为对A进行相似变换 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵 定义 特别地 如果A与对角矩阵相似 则称A是可对角化的 43 性质 1 相似关系是一种等价关系 2 A与B相似 则r A r B 3 A与B相似 则 从而A与B有相同的特征值 4 A与B相似 则 5 A与B相似 则 6 A与B相似 则与相似 其中 7 A与B相似 且A可逆 则与相似 44 求x与y和A的特征值 求a与b 解 1 A的特征值等于B的特征值为 45 2 46 下面讨论对角化的问题 这说明 如果A可对角化 它必有n个线性无关的特征向量 就是P的n个列 反之 如果A有n个线性无关的特征向量 把它拼成矩阵P 可逆 把上面过程逆过来即知A可对角化 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量 47 不同特征值对应的线性无关的特征向量合并以后仍是线性无关的 即设是矩阵A的不同的特征值 又设对应的无关特征向量为 对应的无关特征向量为 对应的无关特征向量为 则 仍是线性无关的 48 上式两边左乘A得 再由线性无关得 类似可得 由假设得 49 50 续第2节例3 首先看矩阵A 第1步求特征值 第2步求线性无关的特征向量 即求的基础解系 51 第3步如有n个线性无关的特征向量 把它们拼成矩阵P P可逆 令 第4步写出对角化形式 则 问 如果 对吗 52 这是二重根 但只有一个线性无关的特征向量 对于矩阵B不存在三个线性无关的特征向量 因为对B的任何一个特征向量 要么是属于的 此时与相关 要么是属于的 此时与相关 因此 B是不可对角化的 再看矩阵B 53 设的所有不同的特征值为 则 注 就是的重根数 称之为的 代数 重数 就是对应的最大无关特征向量的个数 称之为的几何重数 该定理说明 任一特征值对应的无关特征向量的个数至少有一个 至多不会超过它的重数 如果是单重特征值 它有一个且仅有一个无关的特征向量 54 证 参考 设对应的最大无关特征向量为 把上面特征向量扩充为n个线性无关的向量 则可逆 55 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每个特征值的代数重数等于它的几何重数 即 设 互不同 此时 则A可对角化的充要条件是 亦即 的重数恰好等于它对应的最大无关特征 向量的个数 简称 几重特征值有几个特征向量 56 证 充分性 设 个 它们仍是线性无关的 故可角化 把每个对应的最大无关特征向量合并后 共有 必要性 设A可对角化 57 58 问x为何值时 A可对角化 是单重根 恰有一特征向量 不需讨论 是二重根 A可对角化 59 提示 A可对角化 60 第五章 相似矩阵及二次型 5 4对称矩阵的对角化 5 3相似矩阵 5 2方阵的特征值与特征向量 5 1向量的内积 长度及正交性 5 5二次型及其标准形 5 6用配方法化二次型成标准形 5 7正定二次型 61 5 4 实 对称矩阵的对角化 62 63 把对称矩阵 正交对角化 第1步 求特征值 特征值必都是实数 64 第2步 求线性无关的特征向量 对 解方程组 求得基础解系 即无关特征向量 几个向量 65 对 解方程组 求得基础解系 即无关特征向量 几个向量 前面的 66 第3步 检验重特征值对应的特征向量是否正交 如果不正交 用施密特过程正交化 再把正交的特征向量单位化 67 第4步 把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵 单位化 则 令 68 提示 设对应于的无关特征向量为 的两个无关的解 基础解系 因此 上面方程组的 任意两个无关的解都是对应于的特征向量 解 1 可求得再正交化单位化构成正交矩阵Q 69 第五章 相似矩阵及二次型 5 4对称矩阵的对角化 5 3相似矩阵 5 2方阵的特征值与特征向量 5 1向量的内积 长度及正交性 5 5二次型及其标准形 5 6用配方法化二次型成标准形 5 7正定二次型 70 5 5二次型其次标准形 引言 判别下面方程的几何图形是什么 作旋转变换 代入 1 左边 化为 见下图 71 72 称为n维 或n元 的二次型 定义 含有n个变量的二次齐次函数 三维的二次型为 再改写 关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行 73 74 一般地 对于n维的二次型 上式称为二次型的矩阵表示 也常记为 75 任给一个对称矩阵A 令可唯一地确定一个二次型 因为 设xTAx xTBx A B都是对称矩阵 即 以三维为例 令类似 令 类似 76 对称矩阵A叫做二次型f的矩阵 f叫做对称矩阵A的二次型 对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩 记作r f 二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系 这说明 77 写出下面二次型f的矩阵表示 并求f的秩r f 解 问 在二次型中 如不限制A对称 A唯一吗 78 定义 只含平方项的二次型 称为二次型的标准形 或法式 平方项系数只在中取值的标准形 79 对给定的二次型 找可逆的线性变换 坐标变换 代入 1 式 使之成为标准形 称上面过程为化二次型为标准形 80 其中D为对角矩阵 注意到与D都是对称矩阵 而二次型与对称矩阵是一一对应关系 故 化二次型为标准形 又等价于 对给定的对称矩阵A 找可逆矩阵C 使 问 这件事情能够做到吗 以前学过吗 81 82 用正交变换化二次型为标准形的步骤 83 解 化为标准形 求A的特征值 求二次型的矩阵 84 求A的规范正交的特征向量 单位化 85 得正交的基础解系 单位化 求正交变换矩阵 86 写出二次型的标准形 用正交变换 二次型f化为标准形为 87 解 二次型的矩阵为 由题意 由相似矩阵的性质得 从而 88 解得 A与D有相同的特征值 分别为 求得它们对应的特征向量 正交 为 再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵 89 定义 设A和B是n阶矩阵 若有可逆矩阵C 使 则称A与B合同 性质 1 合同关系是一种等价关系 2 A与B合同 则r A r B 3 A与B合同 A对称 则B对称 二次型化标准形又相当于把一个对称矩阵合同变换为对角矩阵 在n阶对称矩阵集合中 矩阵的合同等价相当于二次型可以互化 也称二次型等价 90 定理 二次型必可化为规范形 证设二次型f x xTAx r A r 经正交变换化为 思考为什么一定可化为上面形式 再做一次可逆的线性变换 则f化为 思考 在可互化的二次型中最简单的是什么 在对称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么 91 思考并回答 1 二次型的标准形唯一吗 2 二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系 与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系 3 设CTAC D C可逆 D是对角阵 D的对角元是A的特征值吗 如果C是正交矩阵又如何 4 设4阶对称矩阵A的特征值为0 2 2 3 A的二次型的规范形是什么 92 第五章 相似矩阵及二次型 5 4对称矩阵的对角化 5 3相似矩阵 5 2方阵的特征值与特征向量 5 1向量的内积 长度及正交性 5 5二次型及其标准形 5 6用配方法化二次型成标准形 5 7正定二次型 93 5 6用配方法化二次型成标准形 配方法的步骤 1 若二次型含有的平方项 则先把含有的乘积项集中 然后配方 再对其余的变量同样进行 直到都配成平方项为止 经过可逆线性变换 就得到标准形 2 若二次型中不含有平方项 但是则先作可逆线性变换 化二次型为含有平方项的二次型 然后再按1中方法配方 94 例1 95 96 所用变换矩阵为 97 例2 由于所给二次型中无平方项 98 再配方 得 99 所用变换矩阵为 100 思考题 下面做法对吗 得标准形为 101 第五章 相似矩阵及二次型 5 4对称矩阵的对角化 5 3相似矩阵 5 2方阵的特征值与特征向量 5 1向量的内积 长度及正交性 5 5二次型及其标准形 5 6用配方法化二次型成标准形 5 7正定二次型 102 5 7正定二次型 本节讨论二次型的分类问题 重点是正定二次型 在n维的二次型中 如果两个二次型xTAx和yTBy可以互化 即 则称这两个二次型等价 这相当于 即在n阶对称矩阵中A与B合同等价 我们把等价的二次型分为同一类 相当于对称矩阵的合同等价类 103 什么条件决定两个二次型等价 我们知道 等价的二次型有相同的秩 也就是标准形中平方项个数相等 但秩相等的两个二次型不一定等价 例如与不可能等价 因为不存在可逆矩阵C满足 因为 104 在二次型的标准形中 正项个数与负项个数保持不变 或者说二次型的规范形是唯一 二次型的标准形中正