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利用换元法证明不等式廖东明 合理换元往往能简化题设的信息、凸显隐含条件、沟通量与量之间的联系，对发现解题思路、优化解题过程具有重要作用换元法在不等式证明中也具有独特的作用一、三角换元在一些代数不等式证明中，选用适当的三角函数进行换元，把代数问题转化为三角问题，充分利用三角函数的性质可以使问题化难为易例已知，求证：分析：条件表示的图形是一个圆环，可采用三角换元，分离出参变量和，进而利用同向不等式的乘积法则使问题获解证明：令，则，又，即点评：三角换元法依据的公式有，等，要求解题者善于类比和联想，并且根据具体问题灵活处理如对条件可作三角换元，二、代数换元对于那些具有一定结构特色的代数式，根据题目的特点，巧设某些代数式作换元，往往能收到化繁为简化难为易的功效局部式子换元例已知，且求证：分析：注意到，作换元（），便可凸显关系，简化书写，使问题快捷得解证明：令，由可知，即点评：解题过程中要善于联想和变用，如由（）可以得到恒等式（也满足）这样，可以开启思路，简化过程均值增量换元例已知，求证：分析：由于在条件等式和待证不等式中都具有轮换对称性，易知不等式在时取得等号，在中的平均值就是，故采用均值增量代换法证题证明：根据，设，其中，则点评：本例的均值增量代换，首先进行一系列的等式转化，最后利用非负数的性质由相等实现向不等转化，解答自然流畅，且降低了寻找解题突破口的难度简化分母换元例设是三角形三边的长，求证：分析：审视待证不等式，字母具有轮换对称性，易知在时取得等号，通过对分母换元简化分母，变成容易利用平均值不等式的形式来使问题获解证明：令，则均为正数，且，于是，当且仅当、即时取得等号故原不等式成立点评：通过对分母换元，简化分母，“复杂”分子，为利用平均值不等式创造有利条件，使问题化难为易例若，求证：分析：审视待证不等式，字母具有轮换对称性，令解得，即在时取得等号，通过对分母换元简化分母，巧妙利用平均值不等式进行证明证明：，设，、，则原不等式等价于而，即当且仅当及及，即亦即时取得等号故点评：本例两次应用平均值不等式，在第二次使用时还使用了
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