高中数学 阶段性测试2 椭圆、双曲线新人教B版选修1-1

1 阶段性测试题二阶段性测试题二 椭圆 双曲线阶段性检测椭圆 双曲线阶段性检测 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 平面上有两个定点A B及动点P 命题甲 PA PB 是定值 命题乙 点P 的轨迹是以A B为焦点的双曲线 则甲是乙的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 当 PA PB AB 时 点P的轨迹是一条射线 故甲 乙 而乙 甲 故选 B 2 如果双曲线经过点 6 且它的两条渐近线方程是y x 那么双曲线方程 3 1 3 是 A 1 x2 36 y2 9 B 1 x2 81 y2 9 C y2 1 x2 9 D 1 x2 18 y2 3 答案 C 解析 设双曲线方程为 将点 6 代入求出 即可 答案 C 1 3x y 1 3x y 3 3 双曲线与椭圆 y2 1 共焦点 且一条渐近线方程是x y 0 则此双曲线方 x2 53 程是 A y2 1 x2 3 B x2 1 y2 3 C x2 1 y2 3 2 D y2 1 x2 3 答案 C 解析 椭圆 y2 1 的焦点为 2 0 x2 5 双曲线的焦点为 2 0 排除 A B 又选项 D 的渐近线为y x 故选 C 3 3 4 若方程 1 表示焦点在y轴上的椭圆 则下列关系成立的是 x2 a y2 b A ba B b a D b a 答案 A 解析 方程 1 表示焦点在y轴上的椭圆 b x2 a y2 b ba 5 设双曲线焦点在x轴上 两条渐近线为y x 则该双曲线的离心率为 1 2 A 5 B 5 C 5 2 D 5 4 答案 C 解析 e2 1 e2 e b a 1 2 b2 a2 1 4 c2 a2 a2 1 4 5 4 5 2 6 在下列各对双曲线中 既有相同的离心率又有相同的渐近线的是 A y2 1 和 1 x2 3 x2 9 y2 3 B y2 1 和x2 1 x2 3 y2 3 C y2 1 和x2 1 x2 3 y2 3 D y2 1 和 1 x2 3 y2 3 x2 9 答案 A 3 解析 A 中离心率都为 渐近线都为y x 2 3 3 3 3 7 若不论k为何值 直线y k x 2 b与曲线x2 y2 1 总有公共点 则b的取值 范围是 A 33 B 33 C 2 2 D 2 2 答案 B 解析 由直线过点 2 b 因为x 2 时 y2 x2 1 3 所以y 所以 3 b 故选 B 33 8 已知以F1 2 0 F2 2 0 为焦点的椭圆与直线x y 4 0 有且仅有一个交点 3 则椭圆的长轴长为 A 3 2 B 2 6 C 2 7 D 4 2 答案 C 解析 设椭圆方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 由Error 得 a2 3b2 y2 8b2y 16b2 a2b2 0 可得a2 7 2a 2 37 9 A x1 y1 B C x2 y2 为椭圆 1 上三点 若F 0 4 与三点 2 2 5 3 x2 9 y2 25 A B C的距离为等差数列 则y1 y2的值为 A 4 3 B 10 3 C 16 3 D 22 3 答案 B 解析 即 AF 5 y1 即 AF a2 c y1 c a 4 5 CF a2 c y2 c a 4 CF 5 y2 BF 4 5 8 49 9 11 3 由题意知 2 BF AF CF 所以 5 y1 5 y2 所以y1 y2 4 5 4 5 22 3 10 3 10 a 0 b 0 则方程ax y b 0 和bx2 ay2 ab表示的曲线可能是 答案 C 解析 由图象可知选 C 11 已知双曲线 1 和椭圆 1 a 0 m b 0 的离心率互为倒数 那么 x2 a2 y2 b2 x2 m2 y2 b2 a b m为边长的三角形一定是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 答案 B 解析 双曲线 1 的离心率e1 椭圆 1 的离心率为e2 x2 a2 y2 b2 a2 b2 a x2 m2 y2 b2 m2 b2 m 由e1 e2 1 得 1 a2 b2 a m2 b2 m a2 b2 m2 a b m为边长的三角形一定是直角三角形 12 已知F c 0 是椭圆 1 a b 0 的一个焦点 F与椭圆上点的距离的最大值 x2 a2 y2 b2 为m 最小值为n 则椭圆上与点F的距离为的点是 m n 2 A c b2 a B c b a C 0 b D 不存在 答案 C 5 解析 在椭圆中 a 而a2 b2 c2 所以短轴端点 m n 2 a c a c 2 0 b 与F的距离为a 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 将正确的答案填在题中横线上 13 已知椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点 则椭圆的 离心率为 答案 2 2 解析 由题意a2 a2 4c2 所以e c a 2 2 14 2009 辽宁 已知F是双曲线 1 的左焦点 A 1 4 P是双曲线右支上的 x2 4 y2 12 动点 则 PF PA 的最小值为 答案 9 解析 设右焦点为F 由题意知F 4 0 由双曲线定义 PF PF 4 PF PA 4 PF PA 要使 PF PA 最小 只需 PF PA 最小即可 PF PA 最小需P F A三点共线 最小值即 4 F A 4 4 5 9 9 16 15 与椭圆 1 有公共焦点 且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为 x2 9 y2 4 答案 1 2x2 5 2y2 5 解析 双曲线的两渐近线互相垂直 双曲线为等轴双曲线 又c2 5 a2 b2 5 2 16 点P是双曲线 y2 1 上的一动点 O为坐标原点 M为线段OP的中点 则点 x2 4 M的轨迹方程是 答案 x2 4y2 1 解析 设P x0 y0 M x y 由中点坐标公式可得x0 2x y0 2y 代入双曲线 方程得 1 即x2 4y2 1 2x 2 4 2y 2 1 三 解答题 本大题共 6 个小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 17 本题满分 12 分 已知双曲线E的中心在原点 焦点在坐标轴上 离心率e 6 2 6 且双曲线过点P 2 3 求双曲线E的方程 2 解析 当双曲线的焦点在x轴上时 设双曲线方程为 1 a 0 b 0 x2 a2 y2 b2 e c2 a2 b2 a2 c a 6 2 3 2 1 2 又点P 2 3 在双曲线上 解得a2 32 舍去 2 当双曲线的焦点在y轴上时 设双曲线方程为 1 a 0 b 0 同理解得a2 10 b2 5 y2 a2 x2 b2 双曲线E的方程为 1 y2 10 x2 5 18 本题满分 12 分 已知椭圆 4x2 y2 1 及直线y x m 1 当直线和椭圆有公共点时 求实数m的取值范围 2 求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程 解析 1 联立Error 得 5x2 2mx m2 1 0 因为直线与椭圆有公共点 所以 4m2 20 m2 1 0 解得 m 5 2 5 2 2 设直线与椭圆交于A x1 y1 B x2 y2 由 1 知 5x2 2mx m2 1 0 由韦达定理 得x1 x2 x1x2 m2 1 2m 5 1 5 所以 AB x1 x2 2 y1 y2 2 2 x1 x2 2 2 x1 x2 2 4x1x2 2 4m2 25 4 5 m2 1 2 5 10 8m2 所以当m 0 时 AB 最大 此时直线方程为y x 19 本题满分 12 分 在面积为 1 的 PMN中 tan PMN tan MNP 2 建立适 1 2 当的坐标系 求以M N为焦点且过点P的双曲线方程 解析 以MN所在直线为x轴 MN的中垂线为y轴建立 直角坐标系 设P x0 y0 M c 0 N c 0 y0 0 c 0 如图所示 7 则有Error 解得Error 设双曲线的方程为 1 将P 代入 可得 x2 a2 y2 3 4 a2 5 3 6 2 3 3 a2 所以所求双曲线的方程为 1 5 12 x2 5 12 y2 1 3 20 本题满分 12 分 椭圆的中心在原点 它在x轴上的一个焦点F与短轴两端点 B1 B2的连线互相垂直 且此焦点与较近的长轴端点A的距离为 求椭圆方程 105 解析 设椭圆方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 由椭圆的定义知 Rt B2OF中 有 B2F a B1F 又 B2FB1为等腰直角三角形 则 OB2 OF b a c 2 由已知 FA a c 则有Error 解之得c 故b a 5510 所求椭圆方程为 1 x2 10 y2 5 21 本题满分 12 分 已知 试讨论当 的值变化时 方程 0 2 x2sin y2cos 1 表示曲线的形状 解析 当 0 时 sin 0 cos 1 方程x2sin y2cos 1 化为y2 1 即y 1 方程表示两条直线 当 0 时 0 sin cos 方程x2sin y2cos 1 表示焦点在x轴上的椭圆 4 当 时 sin cos 4 2 2 方程x2sin y2cos 1 化为x2 y2 2 方程表示以原点为圆心 以为半径的圆 4 2 当 cos 0 4 2 方程x2sin y2cos 1 表示焦点在y轴上的椭圆 8 当 时 sin 1 cos 0 2 方程x2sin y2cos 1 化为x 1 方程表示两条直线 22 本题满分 14 分 已知椭圆中心在原点 焦点在x轴上 过其右焦点F作倾斜角为 的直线 交椭圆于P Q两点 若OP OQ 求此椭圆的离心率e 4 解析 设P x1 y1 Q x2 y2 直线方程为y x c 由Error 得 a2 b2