勾股定理拓展与拔高

勾股定理拓展与拔尖勾股定理拓展与拔尖 一 一 知识结构知识结构 二二 知识点回顾知识点回顾 1 勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系 是直角三角形的重要性质 之一 其主要应用有 1 已知直角三角形的两边求第三边 2 已知直角三角形的一边与另两边的关系 求直角三角形的另两边 3 利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2 如何判定一个三角形是直角三角形 1 先确定最大边 如 c 2 验证与是否具有相等关系 2 c 22 ba 3 若 则 ABC 是以 C 为直角的直角三角形 若 2 c 22 ba 2 c 22 ba 则 ABC 不是直角三角形 3 勾股数 满足 的三个正整数 称为勾股数 22 ba 2 c 如 1 3 4 5 2 5 12 13 3 6 8 10 4 8 15 17 5 7 24 25 6 9 40 41 三 典型题剖析 三 典型题剖析 针对训练 延伸训练针对训练 延伸训练 考点一考点一 证明三角形是直角三角形证明三角形是直角三角形 1 在正方形 ABCD 中 F 为 DC 的中点 E 为 BC 上一点 且 EC 4 1 BC 求证 EFA 90 针对训练 针对训练 1 1 已知 在 ABC 中 A B C 的对边分别是 a b c 满足 a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 试 判断 ABC 的形状 定理 222 cba 应用 主要用于计算 直角三角形的性质 勾股定理 直角三角形的判别方法 若三角形的三边满足 则它是一个直角三角形 222 cba 勾股定理 A B D C F E 考点二考点二 运用勾股定理的逆定理进行计算运用勾股定理的逆定理进行计算 例 例 如图 等腰 ABC 中 底边 BC 20 D 为 AB 上一点 CD 16 BD 12 求 ABC 的周长 针对训练 针对训练 1 已知 如图 四边形 ABCD AD BC AB 4 BC 6 CD 5 AD 3 求 四边形 ABCD 的面积 考点三考点三 勾股定理的折叠问题勾股定理的折叠问题 例 如图 在矩形 ABCD 中 AB 3 BC 5 在 CD 上任取一点 E 连接 BE 将 BCE 沿 BE 折叠 使点 E 恰好落在 AD 边上的点 F 处 则 CE 的长为 针对训练 针对训练 1 如图 在矩形 ABCD 中 BC 6 CD 3 将 BCD 沿对角线 BD 翻折 点 C 落在点 C1 处 BC1交 AD 于点 E 则线段 DE 的长为 A 3 B C 5 D 考点四考点四 勾股定理的卡车通过大门问题勾股定理的卡车通过大门问题 例 某工厂的大门如图所示 其中四边形 ABCD 为长方形 上部是以 AB 为直径的半圆 其中 AD 2 3 m AB 2 m 现有一辆装满货物的大卡车 高 2 5 m 宽 1 6 m 试猜想这辆大卡车能否通过厂门 请说明理由 考点五考点五 勾股定理的勾股定理的探究和应用探究和应用问题问题 例 如图所示 有一块塑料模板 ABCD 长为 10 宽为 4 将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直 角顶点 P 落在 AD 边上 不与 A D 重合 并在 AD 上平行移动 能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C 若能 请你求出这时 AP 的长 若不能 请说 明理由 再次移动三角板位置 使三角板顶点 P 在 AD 上移动 直角边 PH 始终通过点 B 另一直角边 PF 与 DC 的延 长线交于点 Q 与 BC 交于点 E 能否使 CE 2 若能 请你求出这时 AP 的长 若不能 请说 明理由 针对训练 针对训练 1观察下列图形 回答问题 问题 1 若图 中的 DEF 为直角三角形 正方形 P 的面积为 9 正方形 Q 的面积为 15 则正方形 M 的面积为 问题 2 如图 分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆 这三个半圆的面积之间 的关系是 用图中字母表示 问题 3 如图 如果直角三角形两直角边的长分别为 3 和 4 以直角三角形的三边为直径作半圆 请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积 考点六考点六 勾股定理的设计问题勾股定理的设计问题 例 国家电力总公司为了改善农村用电费用过高的现状 目前正在全国各地农村进行电网改造 某村六 组有四个村庄 A B C D 正好位于一个正方形的四个顶点 现计划在四个村庄联合架设一条线路 他 们设计了四种架设方案 如图实线部分 请你帮助计算一下 哪种架设方案最省电线 针对训练 针对训练 1 如图所示 铁路上有 A B 两点 看做直线上两点 相距 40 千米 C D 为两村庄 看做两个点 AD AB BC 垂直 AB 垂足分别为 A B AD 24 千米 BC 16 千米 现在要在铁路旁修建一个煤栈 使得 C D 两村到煤栈的距离相等 问煤栈应建在距 A 点多少千米处 考点七考点七 勾股定理的最短路径问题勾股定理的最短路径问题 例 在底面直径为 2cm 高为 3cm 的圆柱体侧面上 用一条无弹性的丝带从 A 至 C 按如图所示的圈数 缠绕 则丝带的最短长度为 cm 结果保留 针对训练 针对训练 1 如图 是一块长 宽 高分别是 4cm 2cm 和 1cm 的长方体木块 一只蚂蚁要从长方体木块的一个 顶点 A 处 沿着长方体的表面到长方体上和 A 相对的顶点 B 处吃食物 那么它需要爬行的最短路径的长是 A 5cmB 5 4cmC 6 1cmD 7cm 考点八考点八 勾股定理的勾股数问题勾股定理的勾股数问题 常见的勾股数及几种通式有 1 3 4 5 6 8 10 3n 4n 5n n 是正整数 2 5 12 13 7 24 25 9 40 41 3 8 15 17 12 35 37 4 m2 n2 2mn m2 n2 m n 均是正整数 m n 简单列出一些 课堂小测试 8 分钟 1 一个直角三角形 有两边长分别为 6 和 8 下列说法中正确的是 A 第三边一定为 10 B 三角形的周长为 24 C 三角形的面积为 24 D 第三边有可能为 10 2 已知一个 Rt 的两边长分别为 3 和 4 则第三边长的平方是 A 25B 14 C 7D 7 或 25 3 下列各组数中 以 a b c 为边的三角形不是 Rt 的是 A a 1 5 b 2 c 3B a 7 b 24 c 25 C a 6 b 8 c 10D a 3 b 4 c 5 3 三角形的三边长为 a b 2 c2 2ab 则这个三角形是 A 等边三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 锐角三角形 4 一个三角形的三边的长分别是 3 4 5 则这个三角形最长边上的高是 A 4 B C D 3 10 2 5 5 12 5 已知 Rt ABC 中 C 90 若 a b 14cm c 10cm 则 Rt ABC 的面积是 A 24cm2 B 36cm2 C 48cm2 D 60cm2 6 直角三角形中 斜边长为 5cm 周长为 12cm 则它的面积为 A 12 B 6 C 8 D 9 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 7 等腰三角形底边上的高为 6 周长为 36 则三角形的面积为 A 56B 48 C 40 D 32 8 Rt 一直角边的长为 9 另两边为连续自然数 则 Rt 的周长为 A 121 B 120 C 90 D 不能确定 9 已知 如图 一轮船以 16 海里 时的速度从港口 A 出发向东北方向航行 另一轮船以 12 海里 时 的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行 离开港口 2 小时后 则两船相距 A 25 海里 B 30 海里 C 35 海里 D 40 海里 10 放学以后 小红和小颖从学校分手 分别沿东南方向和西南方向回家 若小红和小颖行走的速 度都是 40 米 分 小红用 15 分钟到家 小颖 20 分钟到家 小红和小颖家的直线距离为 A 600 米 B 800 米 C 1000 米 D 不能确定 勾股定理独立作业勾股定理独立作业 20 分钟 1 下列各组数据中 可以构成直角三角形的是 A 13 16 19 B 17 21 23 C 18 24 36 D 12 35 37 2 有长度为 9cm 12cm 15cm 36cm 39cm 的五根木棒 可搭成 首尾连接 直角三角形的个 数为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3 在 ABC 中 AB 12cm BC 16cm AC 20cm 则 S ABC为 A 96cm2 B 120 cm2 C 160 cm2 D 200 cm2 4 若线段 a b c 能组成直角三角形 则它们的比可以是 A 1 2 4 B 1 3 5 C 3 4 7 D 5 12 13 5 若直角三角形的两直角边的长分别是 10cm 24cm 则斜边上的高为 A 6cm B 17cm C 240 13cm D 120 13cm 6 有下面的判断 ABC 中 222 abc 则 ABC 不是直角三角形 ABC 是直角三角形 C 90 则 222 abc 若 ABC 中 222 abc 则 ABC 是直角三角形 若 ABC 是直角三角形 则 2 a ba bc 以上判断正确的有 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 7 Rt ABC 的两边长分别是 3 和 4 若一个正方形的边长是 ABC 的第三边 则这个正方形的 面积是 A 25 B 7 C 12 D 25 或 7 8 一个三角形的三边之比是 3 4 5 则这个三角形三边上的高之比是 A 20 15 12 B 3 4 5 C 5 4 3 D 10 8 2 9 在 ABC 中 如 AB 2BC 且 B 2 A 则 ABC 是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定 10 如图是一个边长为 60cm 的立方体 ABCD EFGH 一只甲虫在菱 EF 上且距 F 点 10cm 的 P 处 它