贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 02第二讲 判别式——二次方程根的检测器 人教新课标版

用心 爱心 专心1 贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 0202 第二讲第二讲 判别式判别式 二次方程根的检测器二次方程根的检测器 人教新课标版人教新课标版 为了检查产品质量是否合格 工厂里通常使用各种检验仪器 为了辨别钞票的真伪 银行里常常使用验钞机 类似地 在解一元二次方程有关问题时 最好能知道根的特性 如是否有实数根 有几个实数根 根的符号特点等 我们形象地说 判别式是一元二次方 程根的 检测器 在以下方面有着广泛的应用 利用判别式 判定方程实根的个数 根的特性 运用判别式 建立等式 不等式 求方程中参数或参数的取值范围 通过判别式 证明与方程相关的代数问题 借助判别式 运用一元二次方程必定有解的代数模型 解几何存在性问题 最值问 题 例题求解例题求解 例 1 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 那x0112 21 2 xkxk 么的取值范围是 广西中考题 k 思路点拨思路点拨 利用判别式建立关于的不等式组 注意 的隐含制约 kk21 1 k 注 运用判别式解题 需要注意的是 1 解含参数的二次方程 必须注意二次项系数不为 0 的隐含制约 2 在解涉及多个二次方程的问题时 需在整体方法 降次消元等方法思想的引导下 综合运用方程 不等式的知识 例 2 已知三个关于的方程 和y0 2 ayy012 1 2 yya 若其中至少有两个方程有实根 则实数的取值范围是 012 2 2 yyaa A B 或 C D 2 a 4 1 a21 x1 a1 4 1 a 山东省竞赛题 思路点拨思路点拨 至少有两个方程有实根 有多种情形 从分类讨论人手 解关于的不等式a 组 综合判断选择 例 3 已知关于的方程 x02 2 2 kxkx 1 求证 无论取任何实数值 方程总有实数根 k 2 若等腰三角形 ABC 的一边长 1 另两边长 c 恰好是这个方程的两个根 求 ab ABC 的周长 湖北省荆门市中考题 思路点拨思路点拨 对于 1 只需证明 0 对于 2 由于未指明底与腰 须分或 中有一cb bc 个与 c 相等两种情况讨论 运用判别式 根的定义求出 的值 bc 用心 爱心 专心2 注 1 涉及等腰三角形的考题 需要分类求解 这是命题设计的一个热点 但不一定每 个这类题均有多解 还须结合三角形三边关系定理予以取舍 2 运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉 而组合多个判别式讨论方程多个根 三个以上 是近年中考 竞赛依托判别式的创新题型 解这类问题常用到换元 分类讨论 等思想方法 例 4 设方程 只有 3 个不相等的实数根 求的值和相应的 3 个根 4 2 axxa 重庆市竞赛题 思路点拨思路点拨 去掉绝对值符号 原方程可化为两个一元二次方程 原方程只有 3 个不相等的 实数根 则其中一个判别式大于零 另一个判别式等于零 例 5 已知 如图 矩形 ABCD 中 AD DC 在 AB 上找一点 E ab 使 E 点与 C D 的连线将此矩形分成的三个三角形相似 设 AE 问 这x 样的点 E 是否存在 若存在 这样的点 E 有几个 请说明理由 云南省中考题 思路点拨思路点拨 要使 Rt ADE Rt BEC Rt ECD 彼此相似 点 E 必须满足 AED BEC 90 为此 可设在 AE 上存在满足条件的点 E 使得 Rt ADE Rt BEC 建 立一元二次方程的数学模型 通过判别式讨论点 E 的存在与否及存在的个数 注 有些与一元二次方程表面无关的问题 可通过构造方程为判别式的运用铺平道路 常 见的构造方法有 1 利用根的定义构造 2 利用根与系数关系构造 3 确定主元构造 学力训练学力训练 1 已知 若方程有两个相等的实数根 则 014 ba0 2 baxkxk 2 若关于的方程有两个不相等的实数根 则的取值范围是 x012 2 xkxk 辽宁省中考题 3 已知关于方程有两个不相等的实数解 化简 x042 2 kxkx 442 2 kkk 4 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 则的取x01 12 2 22 xmxmm 用心 爱心 专心3 值范围是 A B C 且 D 且 4 3 m 4 3 m 4 3 m2 m 4 3 m2 m 山西省中考题 5 已知一直角三角形的三边为 B 90 那么关于的方程abcx 的根的情况为 0 1 2 1 22 xbcxxa A 有两个相等的实数根 B 没有实数根 C 有两个不相等的实数根 D 无法确定 河南省中考题 6 如果关于的方程只有一个实数根 那么方程x0 1 2 2 2 mxmxm 的根的情况是 0 4 2 2 mxmmx A 没有实数根 B 有两个不相等的实数根 C 有两个相等的实数根 D 只有一个实数根 2003 年河南省中考题 7 在等腰三角形 ABC 中 A B C 的对边分别为 已知 和 是 abc3 abc 关于的方程的两个实数根 求 ABC 的周长 x0 2 1 2 2 mmxx 济南市中考题 8 已知关于的方程x063 2 2 2 mxmx 1 求证 无论 m 取什么实数 方程总有实数根 2 如果方程的两实根分别为 满足 3 求实数的值 1 x 2 x 1 x 2 xm 盐城市中考题 9 为实数 关于的方程有三个不等的实数根 abx2 2 baxx 1 求证 084 2 ba 2 若该方程的三个不等实根 恰为一个三角形三内角的度数 求证该三角形必有一个内角 是 60 3 若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边 求和的值 ab 江苏省苏州 市中考题 10 关于的两个方程 中至少有一个方程有实根 0324 2 mmxx0 12 22 mxmx 则 m 的取值范围是 2002 年四川省竞赛题 11 当 时 方程有实数根 ab0 2443 1 2 222 babaxax 用心 爱心 专心4 全国初中数学联赛试题 12 若方程有且只有相异二实根 则的取值范围是 axx 5 2 a 13 如果关于的方程没有实数根 那么关于的方程x05 2 2 2 mxmmxx 的实根的个数 0 2 2 5 2 mxmxm A 2 B 1 C 0 D 不能确定 14 已知一元二次方程 且 可在 1 2 3 4 5 中取值 则在这些方程0 2 cbxxbc 中有实数根的方程共有 A12 个 B 10 个 C 7 个 D 5 个 河南省中考题 15 已知 ABC 的三边长为 a b c 且满足方程 则方程根0 22222 bxbacax 的情况是 A 有两相等实根 B 有两相异实根 C 无实根 D 不能确定 河北省竞赛题 16 若 a b c d 0 证明 在方程 02 2 1 2 cdxbax 中 02 2 1 2 adxcbx02 2 1 2 abxdcx02 2 1 2 bcxadx 至少有两个方程有两个不相等的实数根 湖北省黄冈市竞赛题 17 已知三个实数 a b c 满足 abc 1 求证 a b c 中至少有一个大于0 cba 2 3 18 关于的方程有有理根 求整数是的值 山东省竞赛题 x01 1 2 xkkx 19 考虑方程 baxx 22 10 1 若 24 求一个实数