矩阵分析考试重点

1 第一章线性空间和线性变换 主要掌握以下内容 1 能给出常见线性空间的基 会求一个向量在给定基下的坐标 会求两组基的过渡矩阵 2 例1实数域上的线性空间的一组基 例2实数域上的线性空间中的一组基 例3实数域上的线性空间中的一组基 3 习题1 5 4 5 6 和子空间 2 会求两个子空间的交空间 和空间的基与维数 定理 设 则 7 习题1 7 8 9 3 能给出线性映射 线性变换 在给定基下的矩阵表示 会求线性映射的值域空间及核空间的基与维数 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4 会计算线性变换的特征值与特征向量 是的特征值是的特征值 19 第二章矩阵与矩阵的Jordan标准形 主要掌握以下内容 1 会求矩阵的Smith标准形 1 初等变换法 2 行列式因子法 3 初等因子法2 会求矩阵的行列式因子 不变因子 初等因子3 会求数字矩阵A的Jordan标准形J及其变换矩阵P 1 初等变换法 2 矩阵秩的方法4 掌握证明两个矩阵相似的方法 1 有相同的行列式因子 2 有相同的不变因子 3 有相同的初等因子5 会用Jordan标准形求矩阵的幂 20 2 2设 证明 阶矩阵与相似 21 证明 计算A的行列式因子 显然下面看阶行列式因子 有一个阶子式要注意 即 22 容易计算出从而 同理可计算出B的行列式因子及不变因子也是 所以A与B相似 23 2 3设证明阶矩阵与不相似 24 25 正整数使得 证明 与对角矩阵相似且主对角线上的元素均为次单位根 证明 设的Jordan标准形为 2 5设为数域上的阶方阵且存在 26 即有可逆矩阵使得由于 所以有从而有 27 因此 只有当为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立 这样有 这表明为对角矩阵 所以与对角矩阵相似 28 28 2 6设为数域上的阶方阵且满足 证明 与对角矩阵相似 29 即有可逆矩阵使得由于 所以有 证明 设的Jordan标准形为 30 从而即 31 因此 只有当为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立且 所以有这说明为一个对角矩阵且主对角线上的元素只能为1或0 适当地调换主对角线上的元素次序可以得到方阵 此矩阵仍然与相似 32 作业2 9试写出Jordan标准形均为的两个矩阵 33 解答 这里为任意的非零数 34 第三章内积空间 正规矩阵与Hermite矩阵 主要掌握以下内容 1 会用欧氏空间 酉空间的定义去证明 2 掌握内积 长度 夹角 正交的定义及性质 3 掌握标准正交基的定义及Schmidt正交化方法 4 掌握以下矩阵的定义 性质 结构定理 酉矩阵 实正交矩阵 Hermite与反Hermite矩阵 实对称与反对称矩阵正规矩阵 正定与半正定矩阵5 掌握以下线性变换的定义 性质及与相应矩阵的关系 酉变换 正交变换 Hermite变换 对称与反对称变换 正规变换 正定二次齐次 35 3 17设是一个正定的H 阵 是一个反H 阵 证明 与的特征值实部为零 证明 设为矩阵的任意一个特征值 那么有 由于是一个正定H 阵 所以存在可逆矩阵使得将其代入上面的特征多项式有 36 这说明也是矩阵的特征值 另一方面注意矩阵为H 反阵 从而实部为零 同样可以证明另一问 37 习题3 19设是一个半正定的H 阵且证明 证明 设为的全部特征值 由于是半正定的 所以所有的 而且由于 一定存在某个特征值大于0 于是有 38 习题3 20设是一个半正定的H 阵且是一个正定的H 阵 证明 证明 由于是一个正定的H 阵 所以存在可逆矩阵使得这样有 39 注意矩阵仍然是一个半正定的H 阵 有上面的例题可知从而 40 3 21设是一个正定的H 阵 且又是酉矩阵 则证明 由于是一个正定H 阵 所以必存在 酉矩阵使得 41 由于又是酉矩阵 所以 这样必有 从而 42 3 22证明 1 半正定H 矩阵之和仍然是半正定的 2 半正定H 矩阵与正定H 阵之和是正定的 证明 设都是半正定H 阵 那么二者之和仍然是一个H 阵 其对应的Hermite二次型为其中 43 由于都是半正定H 矩阵 所以对于任意一组不全为零的复数我们有这说明为一个半正定H 阵 类似地 可以证明另外一问 44 习题3 23设是一个正定的H 阵 是一个反H 阵 证明 是可逆矩阵 证明 由于是一个正定H 阵 所以存