福建省2012届高考数学一轮经典例题 一元二次不等式解法 理

用心 爱心 专心 1 福建省福建省 20122012 届高考数学一轮经典例题届高考数学一轮经典例题 一元二次不等式解法一元二次不等式解法 理理 例若 则不等式 的解是1 0a1 xa x 0 1 a Aax Bxa 1 1 a a Cxa Dxxa 或 或 x a a 1 1 分析 比较 与的大小后写出答案 a 1 a 解 解应当在 两根之间 得 选 0a1aax A 11 aa 例有意义 则 的取值范围是 2 xx 2 x6 分析 求算术根 被开方数必须是非负数 解 据题意有 x2 x 6 0 即 x 3 x 2 0 解在 两根之外 所以 x 3 或 x 2 例例 3 3 若 ax2 bx 1 0 的解集为 x 1 x 2 则 a b 分析 根据一元二次不等式的解公式可知 1 和 2 是方程 ax2 bx 1 0 的 两个根 考虑韦达定理 解 根据题意 1 2 应为方程 ax2 bx 1 0 的两根 则由韦达定理知 b a a 121 1 122 得 ab 1 2 1 2 例例 4 4 解下列不等式 1 x 1 3 x 5 2x 2 x x 11 3 x 1 2 3 2x 1 x 3 3 x2 2 用心 爱心 专心 2 4 3x2 31 3 2 51 1 3 1 2 2 xx xxx x 分析 将不等式适当化简变为 ax2 bx c 0 0 形式 然后根据 解公式 给出答案 过程请同学们自己完成 答 1 x x 2 或 x 4 2 x 1x 3 2 3 4 R 5 R 说明 不能使用解公式的时候要先变形成标准形式 例不等式 的解集为5 1x 1 1 x A x x 0 B x x 1 C x x 1 D x x 1 或 x 0 分析 直接去分母需要考虑分母的符号 所以通常是采用移项后通分 解 不等式化为 通分得 即 1x0 00 1 1 11 22 x x x x x x2 0 x 1 0 即 x 1 选 C 说明 本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解 例与不等式 同解的不等式是6 0 x x 3 2 A x 3 2 x 0 B 0 x 2 1 C 2 3 0 x x D x 3 2 x 0 解法一 原不等式的同解不等式组为 xx x 3 20 20 故排除 A C D 选 B 解法二 化为 或 即 x3 2 0 x3 x3 2x 02x3 x 两边同减去 2 得 0 x 2 1 选 B 用心 爱心 专心 3 说明 注意 零 例不等式 的解为 或 则 的值为7 1 x x1x2 a ax x 1 Aa Ba Ca Da 1 2 1 2 1 2 1 2 分析 可以先将不等式整理为 转化为 0 ax x 11 1 a 1 x 1 x 1 0 根据其解集为 x x 1 或 x 2 可知 即 且 a10a12a 1 1 1 2a 答 选 C 说明 注意本题中化 商 为 积 的技巧 例解不等式 8 2 37 23 2 x xx 解 先将原不等式转化为 37 23 20 2 x xx 即 所以 由于 21 23 21 23 1 4 7 8 2 2 2 2 xx xx xx xx 00 2xx12 x 0 22 不等式进一步转化为同解不等式 x2 2x 3 0 即 x 3 x 1 0 解之得 3 x 1 解集为 x 3 x 1 说明 解不等式就是逐步转化 将陌生问题化归为熟悉问题 例例 9 9 已知集合 A x x2 5x 4 0 与 B x x2 2ax a 2 若 求 的范围 0 BAa 分析 先确定 A 集合 然后根据一元二次不等式和二次函数图像关 系 结合 利用数形结合 建立关于 的不等式 BAa 用心 爱心 专心 4 解 易得 A x 1 x 4 设 y x2 2ax a 2 1 BBA0若 则显然 由 得 4a2 4 a 2 0 解得 1 a 2 2 B 116若 则抛物线的图像必须具有图 特征 应有 从而 x xxx x 1x4 12 12a120 42a4a20 14 12a 2 2 解得 a a 2 2 18 7 综上所述得 的范围为 a1a 18 7 说明 二次函数问题可以借助它的图像求解 例例 1010 解关于 x 的不等式 x 2 ax 2 0 分析 不等式的解及其结构与 a 相关 所以必须分类讨论 解 1 当 a 0 时 原不等式化为 x 2 0 其解集为 x x 2 2 a02 x2 x 0 当 时 由于 原不等式化为 其解 集为 22 aa x 2 a x2 3 0a12 x2 x 0 当 时 因 原不等式化为 其解 集为 22 aa x x2x 或 2 a 4 当 a 1 时 原不等式化为 x 2 2 0 其解集是 x x 2 5 a12 x2 x 0 当 时 由于 原不等式化为 其解 集是 22 aa x xx2 或 2 a 从而可以写出不等式的解集为 a 0 时 x x 2 用心 爱心 专心 5 a0 x 2 a x2 时 0a1 x x2x 时 或 2 a a 1 时 x x 2 a1 x xx2 时 或 2 a 说明 讨论时分类要合理 不添不漏 例例 1111 若不等式 ax2 bx c 0 的解集为 x x 0 求 cx2 bx a 0 的解集 分析 由一元二次函数 方程 不等式之间关系 一元二次不等式的解集实质 上是用根来构造的 这就使 解集 通过 根 实现了与 系数 之间的联系 考 虑使用韦达定理 解法一 由解集的特点可知 a 0 根据韦达定理知 b a c a 即 b a c a 0 0 a 0 b 0 c 0 又 b a a c b c 由 b c c a a c 1 1 11 对 化为 cxbxa0 xx0 22 b c a c 由 得 是 两个根且 1111 xx00 2 b c a c 即 的解集为 或 xx0cxbxa0 x xx 22 b c a c 11 解法二 cx2 bx a 0 是 ax2 bx a 0 的倒数方程 且 ax2 bx c 0 解为 x 的解集为 或 cxbxa0 x xx 2 11 用心 爱心 专心 6 说明 要在一题多解中锻炼自己的发散思维 例解关于 的不等式 12 x1a aR x x 1 分析 将一边化为零后 对参数进行讨论 解 原不等式变为 即 1a 00 x x axa x 1 1 1 进一步化为 ax 1 a x 1 0 1 当 a 0 时 不等式化为 x x1 01 x a1 a x 1 易见 所以不等式解集为 a a a a 11 2 a 0 时 不等式化为 x 1 0 即 x 1 所以不等式解集为 x x 1 3 a0 x x1 01 x x1x 时 不等式化为 易见 所以 不等式解集为 或 a a a a a a 11 1 综上所述 原不等式解集为 当 时 当 时 当 时 或 a0 x a1 a x1 a0 x x1 a0 x x x1 a a 1 例例 1313 2001 年全国高考题 不等式 x2 3x 4 的解集是 分析 可转化为 1 x2 3x 4 或 2 x2 3x 4 两个一元二次不等式 由可解得 或 1 x1x4 2 答 填 x x 1 或 x 4 例例 1414 1998 年上海高考题 设全集 U R A x x2 5x 6 0 B x x 5 a a 是常数 且 11 B 则 A UA B R B A UB R C UA UB R D A B R 分析 由 x2 5x 6 0 得