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江苏省数学协会分离参数后的若干思维路径王如意 含参数的问题历来是高考和其他各类考试命题的热点，同时也是高中数学的难点。求解含参数问题的一种基本解题策略是分离参数。下面就分离参数后的思维路径进行总结，以期抛砖引玉。一. 利用二次函数的值域 例1. 若椭圆与抛物线有公共点，求实数a的取值范围。 解：设是椭圆和抛物线的公共点，则有 分离参数可得 因为二. 应用重要不等式 例2. 若关于x的方程在区间上有实数解，求实数m的取值范围。 解：因为，由分离参数得 因为（当且仅当时等号成立），所以。三. 分离常数 例3. 已知当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围。 解：原不等式可化为： 分离参数得 再分离常数得 令 因为 所以 即 在上恒成立，所以。四. 利用函数的单调性 例4. 若关于x的方程有正数解，求实数a的取值范围。 解：由分离参数得，其中。易判断函数在区间上单调递增，故a的取值范围是。五. 数形结合 例5. 若方程仅表示一条直线，试确定实数k的取值范围。 解：令，则。分离参数可得。在平面直角坐标系内作出的图象（如图1所示）。要使方程只表示一条直线，即求出唯一自变量t所对应的k的范围。显然有，或。图1 评注：通过分离参数，转化了求解目标，进而避免了分类讨论带来的繁杂运算，使解题过程得到优化。还应指出：并非所有的含参数问题都可以通过分离参数法求解，应具体问题，具体分析，切不可生搬硬套。 以下题目供练习： 1. ABC的三内角A、B、C所对应的边分别是a、b、c。若a、b、c依次成等差数列时，不等式恒成立，求实数m的取值范围。 2. 函数的定义域是集合A，关于x的不等式的解集是集合B，且，求实数a的取值范围。 3. 试确定a的取值范围，使不等式对一切正数x、y恒成立。 4. 若不等式对于恒成立，求实数a的取值范围。 5. 若关于x的方程有两个不同解，试确定实数k的取值范围。参考答案：
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