四川省遂宁二中2012届高三数学辅导资料（14） 三角恒等变换

（14） 三角恒等变换【知识梳理】1基本公式：（1）两角和与差的正弦、余弦和正切公式：; ;对正切的和角公式有其变形：tantan=tan(+)(1- tantan)，有时应用该公式比较方便。（2）二倍角的正弦、余弦、正切公式. （3）降幂公式：。（4）半角公式： （5）辅助角公式（其中（其中必须掌握的九个式子： 2.简单的三角恒等变换的基本内容（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。【典型例题】例1（2011年浙江理6）若，则（ ）A B C D例2化简：2sin50+sin10（1+tan10）例3 已知sin（+）=，sin（）=，求的值。例4：若求的取值范围。例5：已知：向量 ，函数（1）若且，求的值；（2）求函数取得最大值时，向量与的夹角【课内练习】1、的值等于（ ）A. B. C. D. 2、若，则等于（ ）A. B.3 C. D. 3、coscos的值等于（ ）A B C2 D44、 已知，且，那么等于（ ）A. B. C. D. 5、已知则的值等于（ ）（A）（B）（C）（D）6、已知则值等于（ ）（A） （B） （C） （D）7、函数是（ ）（A）周期为的奇函数 （B）周期为的偶函数（C）周期为的奇函数 （D）周期为的偶函数【闯关练习】1sin14cos16+sin76cos74的值是（ ） A B C D2.（2011年辽宁理7）设，则（ ）A B C D3已知，则（ ） A B C D4化简2sin（x）sin（+x），其结果是（）sin2xcos2x cos2x sin2x 5sincos的值是 （ ）A0 B C D2 sin6A B C D7若，则角的终边一定落在直线（ ）上。A B C D89 10的值是 . 11已知，cos（）=，sin（+）=，求sin2的值12已知，求的值13已知求的值。14若,且, 求的值。15设的周期为,最大值.(1) 求的值;(2) 若为方程的两根,且的终边不共线,求的值.16.设函数，且以为最小正周期（1）求；（2）求的解析式；（3）已知，求的值（14） 三角恒等变换【知识梳理】1基本公式：（1）两角和与差的正弦、余弦和正切公式：; ;对正切的和角公式有其变形：tantan=tan(+)(1- tantan)，有时应用该公式比较方便。（2）二倍角的正弦、余弦、正切公式. （3）降幂公式：。（4）半角公式： （5）辅助角公式（其中（其中必掌握的九个式子： 2.简单的三角恒等变换的基本内容（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。【典型例题】例1（2011年浙江理6）若，则（ ）A B C D【答案】C【点评】：本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点，将2表示为2=（）+（+）。 例2化简：2sin50+sin10（1+tan10）【解析】：原式=2sin50+sin10（1+）=2sin50+sin10（）=（2sin50+2sin10）cos10=2（sin50cos10+sin10cos50）=2sin60=【点评】：本题属于“理解”层次, 解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。 例3：已知sin（+）=，sin（）=，求的值。【解析】：由解得， =17w【点评】：本题属于“理解”层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件运用方程思想达到求值的目的。例4：若求的取值范围。【解析】：令，则即 ，即【点评】：本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子看作一个整体，通过代数、三角变换等手段求出取值范围。例5：已知：向量 ，函数（1）若且，求的值；（2）求函数取得最大值时，向量与的夹角【解析】：（1）由得即 或 或 （2），当时，由得，【课内练习】1、的值等于（ B ）A. B. C. D. 2、若，则等于（ D ）A. B.3 C. D. 3、coscos的值等于（ A ）A B C2 D44、 已知，且，那么等于（ D ）A. B. C. D. 5、已知则的值等于（ B ）（A）（B）（C）（D）6、已知则值等于（ C ）（A） （B） （C） （D）7、函数是（ C ）（A）周期为的奇函数 （B）周期为的偶函数（C）周期为的奇函数 （D）周期为的偶函数【闯关练习】1sin14cos16+sin76cos74的值是（ B ） A B C D2.（2011年辽宁理7）设，则（A ）A B C D3已知，则（ D ） A B C D4化简2sin（x）sin（+x），其结果是（B）sin2xcos2x cos2x sin2x 5sincos的值是 （ B ）A0 B C D2 sin6CA B C D7若，则角的终边一定落在直线（ D ）上。A B C D提示：， =，=，则角的终边上一点为P（，），它在直线上。8cos；9 10的值是 . 11已知，cos（）=，sin（+）=，求sin2的值解：由于，可得到+，0 cos（+）=，sin（）= sin2=sin（+）+（）=sin（+）cos（）+cos（+）sin（）=（）+（） = 12已知，求的值解：由得这是一个关于的方程，解此方程可求得=13已知求的值。解：， 而 。14若,且, 求的值。14解法一：由或知舍去，故解法二：由 得，0，从而，联立、解得 故15设的周期为,最大值.(3) 求的值;(4