开题报告-金融畸形波的数学模型与求解-改

北京交通大学毕业设计 论文 开题报告 0 题 目 金融畸形波的数学模型与求解 学院 理学院 专业 信息与计算科学 学生姓名 訾垚垚 学号 12274060 文献综述 一 孤立波的概念和研究历史 1834 年英国工程师 J S Russell 骑马在爱丁堡附近的一条运河旁看见两匹马拉 着一条船在运河中快速行驶着 当这条船突然停止时 河道中因船前进所推动的水团 并没有停止 而是在船头附近产生了一个光滑的 像小山包一样的水波 这个水波 最初大约 30 英尺长 1 至 1 5 英尺高 离开船头后以每小时 8 9 英里的速度向前运 动 并且它的形状和速度保持不变 他骑马追出了 1 2 英里后才看到这个水波的高度 逐渐减少 最后在运河的一个拐弯处消失掉 1844 年 9 月他在英国科学促进会第 14 次会议上作了 Report on waves 的报告 生动形象地描述了他所观察到的现象 1 之后他在实验室里进行了许多实验 也观察到了这样的水波 并称之为孤立波 Solitary waves 这是公认的有关孤立波的首次报道 从那以后 许多人都尝试通过建立其数学模型从理论上来解释这种现象 但一 直末获成功 直到 1895 年 荷兰阿姆斯特丹大学的著名教授 Korteweg 和他的学生 de Vries 2 仔细研究了浅水波运动 在长波近似和小振幅假定下建立了单向运动的浅水 波运动方程 才解决了这个问题 但当时对孤立波的认识还不够全面 有许多问题仍无法回答 如孤立波是否稳 定 两个孤立波碰撞后波速和波形是否改变 孤立波是否存在于流体以外的其他领域 20 世纪 50 年代 Fermi Pasta 和 Ulam 提出了著名的 FPu 问题 1965 年 美国 Princeton 大学的应用数学家 Martin D Kruskal 和 NormanJ Zabusky 3 从连续统一 体的观点出发解释了 FPu 间题中的现象 在连续的情况下 FPu 间题近似地可用 KdV 方 程来描述 他们对 KdV 方程两个波速不同的孤波解进行数学模拟 他们发现两个孤立 波碰撞后 不改变波形和传播速度 由于这两个孤立波的碰撞是弹性碰撞 又类似于 粒子 因此他们称之为孤立子 孤立子有时也称为孤立波 它是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质 北京交通大学毕业设计 论文 开题报告 1 的解 以及与之相应的物理现象 具体来说 孤立波解只存在于非线性色散方程之中 亦即非线性与色散是孤立波存在的必要条件 色散是指波的传播速度与波的频率和 波长有关 它导致波包散开 而非线性却导致波阵面卷缩 两者共同作用的结果便 形成稳定的波包 即孤立波 这些波具有的物理性质是 l 能量比较集中于狭小的区 域 2 两个孤立子相互作用时出现弹性散射现象 即波形和波速能恢复到最初 这准 确地揭示了孤立波的本质 之后 很多领域的科研工作者都开始对孤立子进行研究 许多关于孤立子的专著 也相继问世 现在孤立子理论的研究已经渗透到了很多领域 如物理学的许多分支 基本粒子 凝聚态物理 流体物理 等离子物理 超导物理 激光物理 生物物理 大气物理等 生物学 天文学 化学 天文学 光学 海洋学等等 二 畸形波简介 畸形波 rogue wave 又被称作奇异波 freak wave 巨型波 giant wave 怪物波 monster wave 或者杀手波 killer wave 等 这种波是由于在传播过程中 其非线性和色散的相互作用而产生的 现在 畸形波还没有唯一的定义 但是一种 波被称作畸形波意味着这种波的高度 H 即波峰到波谷的距离 或者波峰高度 c 从海平面到波峰的距离 超过了某一确定阀值 这一值与海洋类型有关 大体 而言 巨型波的通用标准是 H 2Hs 或 c 1 5Hs 这里 Hs 指有效波的高度 英 国科学家 Draper 4 于 1965 年首次在科学文献中提出畸形波 freak rouge waves 的概念之后 这一现象引起了非线性科学领域的研究者的关注 例如海洋学 非线 性光学 Bose Einstein 凝聚 大气学 甚至金融领域 自 20 世纪六七十年代起 海洋学家便开始相信怪波的存在 科学家们与欧洲航 天局 德国航空航天中心以及其他几个欧洲的研究机构合作 在 1991 年和 1995 年 发射雷达卫星用于测量波高 1995 年元旦 北海中某一石油平台承担了激光测量波 浪高度的任务 并成功记录了一个波高约 26 米的巨波 这证明了怪波的存在 2000 年 科学家们在布雷斯特聚会 制定计划在全球范围内追踪怪波的现象 用雷达卫 星进行怪波探测 这一计划被称作 MaxWave 对于怪波 由于观测条件的限制 人类至今还没有完全了解这种现象 科学家 们一直没有对怪波事件达成共识 既不能给其下定义 也不能计算怪波发生的概率 北京交通大学毕业设计 论文 开题报告 2 目前对怪波的研究状态基本上是初步的 并且是欠深入的 怪波可以被认为是自孤 子以后 在非线性科学领域掀起的又一场新的 非线性科学革命 2007 年 Solli Ropers Koonath 等人 9 在 Nature 期刊上发表了研究成果 在 分析非线性光纤中超连续谱的产生过程时 在特定波长处观察到了某些幅度特别高 的峰值 他们将其与海洋中的畸形波类比 称之为 光学畸形波 optical rogue waves 在非线性光学中 非线性薛定谔方程可以很好的描述单模光纤中光孤子的传播 行为 而且可以传播无限长的距离而不会有信息失真和波形畸变 具有很高的传输 码率 光学畸形波与海洋畸形波在形态和成因方面均有一定的相似性 而光学领域 的研究可以在更为便利的实验环境和条件下开展 其研究结果对海洋中的畸形波研 究具有较高的参考价值 11 三 金融畸形波介绍 近年来的研究表明 畸形波现象在金融领域也存在 2010 年 Yan 12 首次给 出了非线性期权定价模型的金融畸形波 financial rouge wave 解 这个模型可 以代替非线性波的 Black Scholes 模型的期权定价模型 这些怪波解可以被用来描 述金融市场及相关领域的怪波现象的物理机制 自从期权交易产生以来 尤其是股票期权交易产生以来 学者们即一直致力于 对期权定价问题的探讨 1973 年 美国芝加哥大学教授 Fischer Black 和 Myron Scholes 发表 期权定价与公司负债 13 一文 提出了著名的 Black Scholes 期权 定价模型 在学术界和实务界引起强烈的反响 与此同时 MIT 的教授 Merton 也 独立地提出了相同的模型 14 rf S f S S f rS t f 2 2 22 2 1 这个模型已经引起了广泛关注并在金融数学和金融工程中开启了一个新的研究 领域 Black Scholes 模型可以被广泛用于欧式期权的定价 但是不能用在其他国 家期权的定价 例如美式期权和亚洲期权 因为他无法将这类期权的运动特征或运 动轨迹的相关性涵盖进来 B L 公式告诉我们 期权价格是时间 股票价格和波动的函数 经验主义的研究 北京交通大学毕业设计 论文 开题报告 3 说明公式计算得出的价格与观察价格非常接近 然而 也有证据表明 基于波动是 常量这一假设的 B L 模型 无法解释波动率偏离现象 为了更精确的给衍生品定价 一些研究人员宣称 根据长期的数据观察 波动会随着执行价格和时间而变化 如 果假定波动是一个随机过程而非固定值 他们建立一个包含二维扩散过程 波动以 及期权价格的新模型 并且更能解释经验主义观察结果 不过 这个新模型距离代 表复杂的现实金融市场还很远 并且当在市场受到一些冲击时 无法很好的预测期 权价格 为了使 B L 期权定价公式能更有效地适应于不同的金融市场 人们对它进行了 很多方面的发展 基于现代适应性市场假设 Elliott 波市场理论和量子神经系 统计算等理论 2010 年 澳大利亚学者 Ivancevic 提出用非线性的期权定价模型 即非线性 Schrodinger 方程来描述金融市场波动性的变化规律 为了满足有效行为市场和他们必要的非线性复杂性 这里 S t 表示期权 价格波动函数 分布频率系数 是波动的 他是常量或者随机过程 Landau 系数 r w 代表自适应市场的潜在需求量 15 四 研究内容及价值 论文中我们分析了耦合非线性波动 并研究了 Ivancevic 近期提出的期权定价 模型 得出的结论是 股票波动和股票收益存在 负 相关性 并且股票波动可以 被当做一种耦合非线性波动用于替代 Black Scholes 期权定价模型 我们用解析的 方法分析了耦合非线性波动的矢量金融畸形波和不含 w learning 的期权定价公式 此外 我们通过选取不同的参数展示了他们的动态行为 研究的结果可能在解释一些实际的金融风暴中起到重要作用 例如 1997 亚洲金 融危机和现在的全球金融危机 此外 这些结果可能会进一步刺激相关研究 在金 融市场和其他相关的非线性科学领域 矢量金融畸形波现象也有潜在的应用价值 北京交通大学毕业设计 论文 开题报告 4 研究方案 本论文主要基于非线性偏微分方程求解方法 探讨金融畸形波的数学模型与求 解 通过阅读相关文献 运用所学的微分方程基础知识 完成金融畸形波数学模型 的研究 设计求解算法并对畸形波进行模拟 首先 我们会总结有关文献 对金融畸形波产生的背景 原理进行介绍 然后 针对金融市场中的价格问题 我们会给出具体的数学模型来描述金融畸形波 最后 求解该模型并用计算机进行模拟 该论文会在金融畸形波的数学建模上进行详细的分析 能推导具体求解过程 对方程解给出对应金融解释 最后进行计算机模拟 并通过选取不同的参数展示他 们的动态行为 北京交通大学毕业设计 论文 开题报告 5 主要参考文献 1 Russell J S Report on waves Report of the 14th Meeting of the British Association for the Advancement of Science London 1844 311 390 2 Korteweg D J de Vries G On the change of rorm of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new type of long stationary waves Philos Mag Ser 1895 39 5 422 443 3 Zabusky N J Kruskal M D Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states Phys Rev Lett 1965 15 240 243 4 Draper L Freak waves J Marine Observer 1965 35 193 195 5 Mallory J K Abnormal waves on the south east coast J South Africa Int Hydrog Rev 1974 51 99 129 6 ILavrenov The wave energy concentration at Agulhas current of South Africa J Nat Hazards 1998 117 127 7 Sand S E Ottesen N E K linting P et al Freak wave kinematics M Water Wave K inematics K luwer Dordrecht 1990 535 54 8 Paul C Liu N Mori Characterizing freak waves with wavelet transform analysis M Rogue Waves 2000 2001 151 156 北京交通大学毕业设计 论文 开题报告 6 9 Solli D R Ropers C Koonath P et al Optical rouge waves J Nature 2007 450 7172 1054 1057 10 Kibler N Fatome J Finot C et al The Peregrine soliton in nonlinear fibre optics J Nature Physics 2010 6 10 790 795 11 AKHMEDIEV N DUDLEY J M SOLLI D R et al Recent progress in investigating optical rogue waves J J Opt 2013 15 6 1 9 12 Z Y Yan Financial rogue waves Commun Theor Phys 54 2010 947 13 F Black M Scholes The Pricing of Options and Corporate Liabilities J Pol Econ 81 637 1973 637