相似三角形的判定复习课

相似三角形的判定 复习课 你学习了哪些判定两个三角形相似的方法 两直角三角形相似还有 相似知识盘点 对应角相等 对应边成比例 2 预备定理 3 判定定理1 4 判定定理2 5 判定定理3 1 定义 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角形与原三角形相似 两角对应相等 两三角形相似 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 三边对应成比例 两三角形相似 6 直角三角形相似的判定定理 斜边和一条直角边对应成比例 两直角三角形相似 如图 在 ABCD中 G是BC延长线上一点 AG与BD交于点E 与DC交于点F 则图中相似三角形共有 A 3对B 4对C 5对D 6对 D 课前热身 相似三角形的基本图形 A型 F A B G C X型 共角型 共角共边型 相似三角形的基本图形 A型 F A B G C X型 共角型 共角共边型 E A B G D 对顶角型 相似三角形的基本图形 共角共边型 相似三角形的基本图形 共角共边型 B C A D 母子型 相似三角形的基本图形 共角型 相似三角形的基本图形 共角型 相似三角形的基本图形 共角型 A B C 旋转型 常见的相似三角形的基本图形 7 8 如图 已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点 且PB 3BF BP垂足是B请在射线BF上找一点M 使以点B M C为顶点的三角形与 ABP相似 则BM 什么方法 什么基本图形 应用举例 一 填空选择题 1 1 ABC中 D E分别是AB AC上的点 且 AED B那么 AED ABC 从而 AC C A E B D 解 AED B A A AED ABC 两角对应相等 两三角形相似 C A E B D 2 ABC中 AB的中点为E AC的中点为D 连结ED 则 AED与 ABC的相似比为 1 2 C A E B D 解 D E分别为AB AC的中点 DE BC 且 ADE ABC即 ADE与 ABC的相似比为1 2 C A E B D 2 如图 DE BC AD DB 2 3 则 AED和 ABC的相似比为 2 5 C A E B D 解 DE BC ADE ABC AD DB 2 3 DB AD 3 2 DB AD AD 2 3 3即AB AD 5 2 AD AB 2 5即 ADE与 ABC的相似比为2 5 C A E B D 3 已知三角形甲各边的比为3 4 6 和它相似的三角形乙的最大边为10cm 则三角形乙的最短边为 cm 5 解3 设三角形甲为 ABC 三角形乙为 DEF 且 DEF的最大边为DE 最短边为EF DEF ABC DE EF 6 3即10 EF 6 3 EF 5cm A C B F E D 4 等腰三角形ABC的腰长为18cm 底边长为6cm 在腰AC上取点D 使 ABC BDC 则DC 2cm 解4 ABC BDC即 DC 2cm A C B D 5 如图 ADE ACB则DE BC 1 3 B C B D E 3 3 2 7 解5 ADE ACB故 B C B D E 3 3 2 7 6 如图D是 ABC边BC上一点 连接AD 使 ABC DBA的条件是 A AC BC AD BDB AC BC AB ADC AB2 CD BCD AB2 BD BC D A B C D 7 D E分别为 ABC的AB AC上的点 且DE BC DCB A 把每两个相似的三角形称为一组 那么图中共有相似三角形 组 4 A C B D E 解7 DE BC ADE B EDC DCB A DE BC ADE ABC A DCB ADE B ADE CBD A C B D E 解7 ADE ABC ADE CBD ABC CBD DCA DCE A EDC ADC DEC A C B D E 二 证明题 题1 D为 ABC中AB边上一点 ACD ABC 求证 AC2 AD AB A B C D A B C D 分析 要证明AC2 AD AB需要先将乘积式改写为比例式再证明AC AD AB所在的两个三角形相似 由已知两个三角形有二个角对应相等 所以两三角形相似 本题可证 证明 ACD ABC A A ABC ACD AC2 AD AB A B C D 题2 ABC中 BAC是直角 过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E 交AB于D 连结AM 求证 MAD MEA AM2 MD ME C A E D B M 分析 已知中与线段有关的条件仅有AM BC 2 BM MC 所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似 AM是 MAD与 MEA的公共边 故是对应边MD ME的比例中项 C A E D B M 证明 BAC 90 M为斜边BC中点 AM BM BC 2 B MAD又 B BDM E ADE 90 BDM ADE B E MAD E DMA AME MAD MEA C A E D B M MAD MEA 即AM2 MD ME C A E D B M 题3 如图 AB CD AO OB DF FB DF交AC于E 求证 ED2 EO EC 分析 欲证ED2 EO EC即证 只需证DE EO EC所在的三角形相似 A F B O C D E 题3 如图 AB CD AO OB DF FB DF交AC于E 求证 ED2 EO EC 分析 欲证ED2 EO EC即证 只需证DE EO EC所在的三角形相似 证明 AB CD C A AO OB DF FB A B B FDB C FDB又 DEO DEC EDC EOD A F B O C D E 题4 过平行四边形ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD 边BC 边DC的延长线于E F G 求证 EA2 EF EG C B A D G F E C B A D G F E 分析 要证明EA2 EF EG 即证明成立 而EA EG EF三条线段在同一直线上 无法构成两个三角形 此时应采用换线段 换比例的方法 可证明 AED FEB AEB GED 证明 AD BFAB DC AED FEB AEB GED C B A D G F E 题5 ABC为锐角三角形 BD CE为 的高 求证 ADE ABC 用两种方法证明 A O B E D C 证明一 BD AC CE AB ABD A 90 ACE A 90 ABD ACE又 A A ABD ACE A O B E D C 证明二 BEO CDO BOE COD BOE COD又 BOC EOD BOC EOD 1 2 1 BCD 90 2 3 90 BCD 3又 A A ADE ABC A O B E D C 5 如图 ABC中 AB 9 AC 6 D是边AB上一点且AD 2 E是AC上的点 则AE 时 ADE与 ABC相似 或3 ADE ABC 8 如图 已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点 且PB 3BF BP垂足是B请在射线BF上找一点M 使以点B M C为顶点的三角形与 ABP相似