集合及其运算

1 集合与元素 1 集合中元素的三个特征 确定性 互异性 无序性 2 元素与集合的关系是属于或不属于两种 用符号 或 表示 3 集合的表示法 列举法 描述法 图示法 4 常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号NN 或 N ZQR 2 集合间的基本关系 关系自然语言符号语言Venn 图 子集 集合 A 中所有元素都在集合 B 中 即若 x A 则 x B A B 或 B A 真子集 集合 A 是集合 B 的子集 且集合 B 中 至少有一个元素不在集合 A 中 A B 或 B A 集合相等 集合 A B 中元素相同或集合 A B 互 为子集 A B 3 集合的运算 集合的并集集合的交集集合的补集 图形 符号 A B x x A 或 x B A B x x A 且 x B UA x x U 且 x A 4 集合关系与运算的常用结论 1 若有限集 A 中有 n 个元素 则 A 的子集个数为 2n个 非空子集个数为 2n 1 个 真子集 有 2n 1 个 2 A B A B A A B B 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 x y x2 1 y y x2 1 x y y x2 1 2 若 x2 1 0 1 则 x 0 1 3 x x 1 t t 1 4 对于任意两个集合 A B 关系 A B A B 恒成立 5 若 A B A C 则 B C 6 含有 n 个元素的集合有 2n个真子集 1 2015 四川 设集合 A x 1 x 2 集合 B x 1 x 3 则 A B 等于 A x 1 x 3 B x 1 x 1 C x 1 x 2 D x 2 x 3 答案 A 解析 借助数轴知 A B x 1 x 3 2 已知集合 A x x2 x 2 0 集合 B 为整数集 则 A B 等于 A 1 0 1 2 B 2 1 0 1 C 0 1 D 1 0 答案 A 解析 因为 A x x2 x 2 0 x 1 x 2 又因为集合 B 为整数集 所以集合 A B 1 0 1 2 故选 A 3 2015 陕西 设集合 M x x2 x N x lg x 0 则 M N 等于 A 0 1 B 0 1 C 0 1 D 1 答案 A 解析 由题意得 M 0 1 N 0 1 故 M N 0 1 故选 A 4 教材改编 已知集合 A x 3 x 7 B x 2 x 10 则 R A B 答案 x x 2 或 x 10 解析 A B x 2 x 10 R A B x x 2 或 x 10 5 已知集合 A x y x y R 且 x2 y2 1 B x y x y R 且 y x 则 A B 的元素个数为 答案 2 解析 集合 A 表示圆心在原点的单位圆 集合 B 表示直线 y x 易知直线 y x 和圆 x2 y2 1 相交 且有 2 个交点 故 A B 中有 2 个元素 题型一题型一 集合的含义集合的含义 例 1 1 已知集合 A 0 1 2 则集合 B x y x A y A 中元素的个数是 A 1 B 3 C 5 D 9 2 已知集合 A m 2 2m2 m 若 3 A 则 m 的值为 答案 1 C 2 3 2 解析 1 当 x 0 y 0 时 x y 0 当 x 0 y 1 时 x y 1 当 x 0 y 2 时 x y 2 当 x 1 y 0 时 x y 1 当 x 1 y 1 时 x y 0 当 x 1 y 2 时 x y 1 当 x 2 y 0 时 x y 2 当 x 2 y 1 时 x y 1 当 x 2 y 2 时 x y 0 根据集合中元素的互异性知 B 中元素有 0 1 2 1 2 共 5 个 2 由题意得 m 2 3 或 2m2 m 3 则 m 1 或 m 当 m 1 时 m 2 3 且 3 2 2m2 m 3 根据集合中元素的互异性可知不满足题意 当 m 时 m 2 而 3 2 1 2 2m2 m 3 故 m 3 2 思维升华 1 用描述法表示集合 首先要搞清楚集合中代表元素的含义 再看元素的限制条 件 明白集合的类型 是数集 点集还是其他类型集合 2 集合中元素的互异性常常容易忽略 求解问题时要特别注意 分类讨论的思想方法常用于解决集合问题 1 设集合 A 1 2 3 B 4 5 M x x a b a A b B 则 M 中的元 素个数为 A 3 B 4 C 5 D 6 2 设 a b R 集合 1 a b a 则 b a 0 b a b 答案 1 B 2 2 解析 1 因为集合 M 中的元素 x a b a A b B 所以当 b 4 时 a 1 2 3 此时 x 5 6 7 当 b 5 时 a 1 2 3 此时 x 6 7 8 所以根据集合元素的互异性可知 x 5 6 7 8 即 M 5 6 7 8 共有 4 个元素 2 因为 1 a b a a 0 0 b a b 所以 a b 0 得 1 b a 所以 a 1 b 1 所以 b a 2 题型二题型二 集合间的基本关系集合间的基本关系 例 2 1 已知集合 A x x2 3x 2 0 x R B x 0 x 5 x N 则满足条件 A C B 的集合 C 的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 2 已知集合 A x x2 2 017x 2 016 0 B x x a 若 A B 则实数 a 的取值范围是 答案 1 D 2 2 016 解析 1 由 x2 3x 2 0 得 x 1 或 x 2 A 1 2 由题意知 B 1 2 3 4 满足 A C B 的集合 C 可以是 1 2 1 2 3 1 2 4 1 2 3 4 共 4 个 2 由 x2 2 017x 2 016 0 解得 1 x 2 016 故 A x 1 x 2 016 又 B x x 3 B x x 2 结合数轴可得 B A 2 由题意 若 x A 则Error 解得 x 2 由 A B 得 x B 所以 m 2 故选 A 题型三题型三 集合的基本运算集合的基本运算 命题点 1 集合的运算 例 3 1 设全集 U x N x 6 集合 A 1 3 B 3 5 则 U A B 等于 A 1 4 B 1 5 C 2 5 D 2 4 2 已知集合 A x x 2 0 B x 0 log2x 2 则 R A B 是 A x 2 x 4 B x x 2 C x x 2 或 x 4 D x x 2 或 x 4 答案 1 D 2 D 解析 1 由题意可知 U 1 2 3 4 5 A B 1 3 5 所以 U A B 2 4 故选 D 2 A x x 2 B x 1 x 4 A B x x 2 x 1 x 4 x 2 x 4 R A B x xa 若 A B 则实数 a 的取值范围是 A a 1 B a 1 C a 0 D a 0 答案 1 B 2 B 解析 1 由 A B A 得 B A 有 m A 所以有 m 或 m 3 即 m 3 或 m 1 或 m 0 m 又由集合中元素的互异性知 m 1 故选 B 2 由 A B 可得 0 B 1 B 则 a 1 故选 B 思维升华 1 一般来讲 集合中的元素若是离散的 则用 Venn 图表示 集合中的元素若是连 续的实数 则用数轴表示 此时要注意端点的情况 2 运算过程中要注意集合间的特殊关系 的使用 灵活使用这些关系 会使运算简化 1 2015 天津 已知全集 U 1 2 3 4 5 6 7 8 集合 A 2 3 5 6 集合 B 1 3 4 6 7 则集合 A UB 等于 A 2 5 B 3 6 C 2 5 6 D 2 3 5 6 8 2 已知集合 A x x 2 或 x 1 B x a x b 若 A B R A B x 22 或 x 1 A B R A B x 2 x 4 可得 B x 1 x 4 则 a 1 b 4 故 4 b a 题型四题型四 集合的新定义问题集合的新定义问题 例 5 若集合 A 具有以下性质 0 A 1 A 若 x A y A 则 x y A 且 x 0 时 A 1 x 则称集合 A 是 好集 下列命题正确的个数是 1 集合 B 1 0 1 是 好集 2 有理数集 Q 是 好集 3 设集合 A 是 好集 若 x A y A 则 x y A A 0 B 1 C 2 D 3 答案 C 解析 1 集合 B 不是 好集 假设集合 B 是 好集 因为 1 B 1 B 所以 1 1 2 B 这与 2 B 矛盾 2 有理数集 Q 是 好集 因为 0 Q 1 Q 对任意的 x Q y Q 有 x y Q 且 x 0 时 Q 所以有理数集 Q 是 好集 3 因为集合 A 是 1 x 好集 所以 0 A 若 x A y A 则 0 y A 即 y A 所以 x y A 即 x y A 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题 要抓住两点 1 紧扣新定义 首先分析新定义的 特点 把新定义所叙述的问题的本质弄清楚 并能够应用到具体的解题过程之中 这是破解新 定义型集合问题难点的关键所在 2 用好集合的性质 解题时要善于从试题中发现可以使用 集合性质的一些因素 在关键之处用好集合的运算与性质 2015 湖北 已知集合 A x y x2 y2 1 x y Z B x y x 2 y 2 x y Z 定义集合 A B x1 x2 y1 y2 x1 y1 A x2 y2 B 则 A B 中元素的个数为 A 77 B 49 C 45 D 30 答案 C 解析 如图 集合 A 表示如图所示的所有圆点 集合 B 表示如图所示的所有圆点 所有圆点 集合 A B 显然是集合 x y x 3 y 3 x y Z 中除去四个点 3 3 3 3 3 3 3 3 之外的所有整点 即横坐标与纵坐标都为整数的点 即集合 A B 表示 如图所示的所有圆点 所有圆点 所有圆点 共 45 个 故 A B 中元素的个数 为 45 故选 C 1 遗忘空集致误 典例 设集合 A 0 4 B x x2 2 a 1 x a2 1 0 x R 若 B A 则实数 a 的 取值范围是 易错分析 集合 B 为方程 x2 2 a 1 x a2 1 0 的实数根所构成的集合 由 B A 可知集 合 B 中的元素都在集合 A 中 在解题中容易忽视方程无解 即 B 的情况 导致漏解 解析 因为 A 0 4 所以 B A 分以下三种情况 当 B A 时 B 0 4 由此知 0 和 4 是方程 x2 2 a 1 x a2 1 0 的两个根 由根 与系数的关系 得 Error 解得 a 1 当 B 且 B A 时 B 0 或 B 4 并且 4 a 1 2 4 a2 1 0 解得 a 1 此时 B 0 满足题意 当 B 时 4 a 1 2 4 a2 1 0 解得 a 1 综上所述 所求实数 a 的取值范围是 a 1 或 a 1 答案 1 1 温馨提醒 1 根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容 解答此类问题的关键是抓 住集合间的关系以及集合元素的特征 2 已知集合 B 若已知 A B 或 A B 则考生很 容易忽视 A 而造成漏解 在解题过程中应根据集合 A 分三种情况进行讨论 方法与技巧 1 集合中的元素的三个特征 特别是无序性和互异性在解题时经常用到 解题后要进行检验 要重视符号语言与文字语言之间的相互转化 2 对连续数集间的运算 借助数轴的直观性 进行合理转化 对已知连续数集间的关系 求其 中参数的取值范围时 要注意单独考察等号能否取到 3 对离散的数集间的运算 或抽象集合间的运算 可借助 Venn 图 这是数形结合思想的又一 体现 失误与防范 1 解题中要明确集合中元素的特征 关注集合的代表元素 集合是点集 数集还是图形集 对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算 2 空集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 时刻关注对空集的讨论 防止漏解 3 解题时注意区分两大关系 一是元素与集合的从属关系 二是集合与集合的包含关系 4 Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交 并 补运算的常用方法 其中运用数轴图示法 时要特别注意端点是实心还是空心 A 组 专项基础训练 时间 30 分钟 1 下列集合中表示同一集合的是 A M 3 2 N 2 3 B M 2 3 N 3 2 C M x y x y 1 N y x y 1 D M 2 3 N 2 3 答案 B 解析 选项 A 中的集合 M 表示由点 3 2 所组成的单点集 集合 N 表示由点 2 3 所组成的单 点集 故集合 M 与 N 不是同一个集合 选项 C 中的集合 M 表示由直线 x y 1 上的所有点 组成的集合 集合 N 表示由直线 x y 1 上的所有点的纵坐标组成的集合 即 N y x y 1 R 故集合 M 与 N 不是同一个集合 选项 D 中的集合 M 是数集 而集合 N 是点集 故集合 M 与 N 不是同一个集合 对选项 B 由集合元素的无序性 可知 M N 表示同一个集合 2 设集合 A 1 2 4 集合 B x x a b a A b A 则集合 B 中的元素个数为 A 4 B 5 C 6 D 7 答案 C 解析 a A b A x a b x 2 3 4 5 6 8 B 中共有 6 个元素 3 2015 课标全国 已知集合 A x x 3n 2 n N B 6 8 10 12 14 则集合 A B 中元素的个数为 A 5 B 4 C 3 D 2 答案 D 解析 A 5 8 11 14 17 B 6 8 10 12 14 集合 A B 中有两个元素 4 2015 课标全国 已知集合 A 2 1 0 1 2 B x x 1 x 2 0 则 A B 等 于 A 1 0 B 0 1 C 1 0 1 D 0 1 2 答案 A 解析 由 A 2 1 0 1 2 B x x 1 x 2 0 x 2 x 1 得 A B 1 0 故选 A 5 已知集合 A B 均为全集 U 1 2 3 4 的子集 且 U A B 4 B 1 2 则 A UB 等 于 A 3 B 4 C 3 4 D 答案 A 解析 U 1 2 3 4 U A B 4 A B 1 2 3 又 B 1 2 3 A 1 2 3 又 UB 3 4 A UB 3 6 设集合 A 3 x2 B x y 若 A B 2 则 y 的值为 A 1 B 2 C 4 D 3 答案 B 解析 由 A B 2 得 x2 2 x 故 y 2 2 7 已知集合 M 0 1 2 3 4 N 1 3 5 P M N 则 P 的子集共有 A 2 个 B 4 个 C 6 个 D 8 个 答案 B 解析 M 0 1 2 3 4 N 1 3 5 M N 1 3 M N 的子集共有 22 4 个 8 已知集合 A x 1 x0 且 1 A 则实数 a 的取值范围是 答案 1 解析 1 x x2 2x a 0 1 x x2 2x a 0 即 1 2 a 0 a 1 10 已知 U R 集合 A x x2 x 2 0 B x mx 1 0 B UA 则 m 的可能 取值组成的集合为 答案 0 1 1 2 解析 A 1 2 B 时 m 0 B 1 时 m 1 B 2 时 m 1 2 11 已知集合 A 0 1 1 1 1 2 B x y x y 1 0 x y Z 则 A B 答案 0 1 1 2 解析 A B 都表示点集 A B 即是由 A 中在直线 x y 1 0 上的所有点组成的集合 代入 验证即可 12 已知集合 A x R x 2 3 集合 B x R x m x 2 0 且 A B 1 n 则 m n 答案 1 1 解析 A x R x 2 3 x R 5 x 1 由 A B 1 n 可知 m 1 则 B x m x1 C x x 0 D R 答案 C 解析 因为 B A 且 A x x 1 所以选项中只有 C 满足题意 故选 C 14 全集 U R 集合 A x x2 3x 2 0 B x x a 0 若 UB A 则实数 a 的取值 范围是 A