反比例函数综合复习讲义

反比例函数反比例函数 知识整理知识整理 1 反比例函数的概念 一般地 函数 x k y k 是常数 k 0 叫做反比例函数 反比例函数的解析式也可以写 成 1 kxy的形式 自变量 x 的取值范围是 x 0 的一切实数 函数的取值范围也是一切 非零实数 2 反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线 它有两个分支 这两个分支分别位于第一 三象限 或第二 四象限 它们关于原点对称 由于反比例函数中自变量 x 0 函数 y 0 所以 它的图 像与 x 轴 y 轴都没有交点 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴 但永远达不到坐标轴 3 反比例函数的性质 当 k 0 时 函数图像的两个分支分别在第一 三象限 在每个象限内 y 随 x 的增大而减 小 当 k 0 时 函数图像的两个分支分别在第二 四象限 在每个象限内 随 x 的增大而增大 4 反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法 由于在反比例函数 x k y 中 只有一个待定系数 因 此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标 即可求出 k 的值 从而确定其解析式 5 反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图 过反比例函数 0 k x k y图像上任一点 P 作 x 轴 y 轴的垂线 PM PN 则所得 的矩形 PMON 的面积 S PM PN xyxy kSkxy x k y 考点一 反比例函数的性质考点一 反比例函数的性质 例 1 已知反比例函数 10 y x 当 1 x 2 时 y 的取值范围是 A 0 y 5 B 1 y 2 C 5 y10 举一反三 1 已知 y 是 x 的反比例函数 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 请写出一个满足以上条 件的函数表达式 2 已知一次函数 y1 kx b ky2时 实数 x 的取值范围是 A x l 或 O x 3 B 一 1 x O 或 O x 3 C 一 1 x3 D O x0 的图象上的一点 直线分别交x轴 y轴于点 x y 2 1 1 xy A B 过点P分别作PM x轴于点M 交AB于点E 作PN y轴于点N 交AB于点F 则 y x A B C O AF BE的值为 考点典例三 反比例函数图象上点的坐标与方程的关系考点典例三 反比例函数图象上点的坐标与方程的关系 例 3 已知函数 1 y x 的图象在第一象限的一支曲线上有一点 A a c 点 B b c 1 在该函数图象的另外一支上 则关于一元二次方程 ax2 bx c 0 的两根 x1 x2判断正确的是 A x1 x2 1 x1 x2 0B x1 x2 0 C 0 x1 x2 0D x1 x2与 x1 x2 的符号都不确定 举一反三 1 2015 湖南常德 已知 A 1 3 是反比例函数图象上的一点 直线 AC 经过点 A 及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点 C 求 C 的坐标及反比例函数的解析式 2 如图 若双曲线与边长为 5 的等边 AOB的边OA AB分别相交于C D两点 且 x k y OC 3BD 则实数k的值为 3 如图 直线交x轴 y轴于A B两点 P是反比例函数图象上6yx 4 0 yx x 位于直线下方的一点 过点P作 x 轴的垂线 垂足为点M 交AB于点E 过点P作y轴 的垂线 垂足为点N 交AB于点F 则 AF BE A 8 B 6 C 4 D 6 2 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 4 如上图中 正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点 B 若xy3 0 k x k y 取 1 2 3 20 对应的 Rt AOB 的面积分别为 则k 1 S 2 S 20 S 1 S 2 S 20 S 5 两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示 点P在的图象上 k y x 1 y x k y x PC x轴于点C 交的图象于点A PD y轴于点D 交的图象于点B 当点 1 y x 1 y x P 在的图象上运动时 以下结论 k y x ODB与 OCA的面积相等 四边形PAOB的面积不会发生变化 PA与PB始终相等 当点A是PC的中点时 点B一定是PD的中点 其中一定正确的是 考点典例四 反比例函数与一次函数的交点问题考点典例四 反比例函数与一次函数的交点问题 例 4 如图 一次函数 y1 k1x b 的图象和反比例函数 y2 的图象交于 A 1 2 B 2 1 两点 若 y1 y2 则 x 的取值范围是 A x 1 B x 2 C 2 x 0 或 x 1 D x 2 或 0 x 1 举一反三 1 如图 在平面直角坐标系中 A 3 1 以点 O 为直角顶点作等腰直角三角形 AOB 双曲线 1 1 k y x 在第一象限内的图象经过点 B 设直线 AB 的解析式为 22 yk xb 当 12 yy 时 x的取值范围是 A 51x B 0 1x或 5x C 61x D 01x 或6x 2 已知反比例函数与一次函数 其中一次函数的图象经过 a b x k y 2 12 xy a 1 b k 两点 1 求反比例函数的解析式 2 如图 已知A点是上述两函数图象在第一象限内的交点 求A点的坐标 3 利用 2 的结果 在x轴上是否存在点P 使 AOP为等腰三角形 若存在 请 把所有符合条件的P点坐标都求出来 若不存在 请说明理由 3 如图 矩形 OABC 的顶点 A C 分别在 x y 轴的正半轴上 点 D 为对角线 OB 的中点 点 E 4 n 在边 AB 上 反比例函 数 k 0 在第一象限内的图象经过点 D E 且 tan BOA k y x 2 1 1 求反比例函数的解析式和 n 的值 2 若反比例函数的图象与矩形的边 BC 交于点 F 将矩形折叠 使点 O 与点 F 重合 折痕分别与 x y 轴正半轴交于点 H G 求线段 OG 的长 考点典例五 反比例函数的图象和考点典例五 反比例函数的图象和 k k 的几何意义的几何意义 例 5 2015 凉山州 以正方形 ABCD 两条对角线的交点 O 为坐标原点 建立如图所示的 平面直角坐标系 双曲线 3 y x 经过点 D 则正方形 ABCD 的面积是 A 10 B 11 C 12 D 13 举一反三 1 如图 A B是双曲线 x k y 上的两点 过A点作AC x轴 交OB于D点 垂足为 C 若 ADO的面积为 1 D为OB的中点 则k的值为 A 3 4 B 3 8 C 3 D 4 G G 2 如图 正方形OABC的面积是 4 点B在反比例函数 的图象上 若点R是该反比例函数图象上异于点B的任 00 k ykx x 意一点 过点R分别作x轴 y轴的垂线 垂足为M N 从矩形OMRN的面积 中减去其与正方形OABC重合部分的面积 记剩余部分的面积为S 则当 S m m为常数 且 0 m 4 时 则点 R 的坐标是 用含 m 的代数式表示 3 如图 若点 M 是 x 轴正半轴上的任意一点 过点 M 作 PQ y 轴 分 别交函数 x 0 和 x 0 的图象于点 P 和 Q 连接 OP x k1 y x k2 y OQ 则下列结论正确的是 A POQ 不可能等于 900 B 2 1 K K QM PM C 这两个函数的图象一定关于 x 轴对称 D POQ 的面积是 k k 2 1 21 4 如图 点 A x1 y1 B x2 y2 都在双曲线上 0 k yx x 且 分别过点 A B 向 x 轴 y 轴作垂线段 21 4xx 12 2yy 垂足分别为 C D E F AC 与 BF 相交于 G 点 四边形 FOCG 的 面积为 2 五边形 AEODB 的面积为 14 那么双曲线的解析式为 课后练习 一 选择题 1 已知反比例函数的图象 2 y x 上有两点 A x1 y1 B x2 y2 若 y1 y2 则 x1 x2的值是 A 正数 B 负数 C 非正数 D 不能确定 2 2015 河北省 第 10 题 3 分 一台印刷机每年可印刷的书本数量y 万册 与它的使用 时间x 年 成反比例关系 当x 2 时 y 20 则y与x的函数图象大致是 A B C D y x C A B O 3 2015 湖北武汉 9 题 3 分 在反比例函数 x m y 31 图象上有两点 A 1 x 1 y B 2 x 2 y 1 x 0 2 x 1 y 2 y 则 m 的取值范围是 A m 3 1 B m 3 1 C m 3 1 D m 3 1 4 2015 黑龙江绥化 如图 反比例函数 y x k x 0 的图象经过点 P 则 k 的值为 A 6 B 5 C 6 D 5 5 5 2015 宁夏 第 8 题 3 分 函数 k y x 与 2 ykxk 0k 在同一直角坐标系中的 大致图象可能是 6 2015 辽宁葫芦岛 3 分 如图 一次函数2ykx 与反比例函数 4 y x 0 x 的图象交于点A 与y轴交于点M 与x轴交于点N 且AM MN 1 2 则k 7 2015 黑龙江省黑河市 齐齐哈尔市 大兴安岭 如图 点A是反比例函数图象上一 点 过点A作AB y轴于点B 点C D在x轴上 且BC AD 四边形ABCD的面积为 3 则这个反比例函数的解析式为 8 2015 山东临沂第 14 题 3 分 在平面直角坐标系中 直线 y x 2 与反比例函数 1 y x 的图象有唯一公共点 若直线yxb 与反比例函数 1 y x 的图象有 2 个公共点 则 b 的取值范围是 A b 2 B 2 b 2 C b 2 或 b 2 D b 2 二 填空题 9 已知双曲线 k1 y x 经过点 2 1 则 k 的值等于 10 2015 河南省 第 11 题 3 分 如图 直线 y kx 与双曲线 0 2 x x y交于点 A 1 a 则 k 11 2015 陕西省 第 13 题 3 分 如图 在平面直角坐标系中 过点 M 3 2 分别作 x轴 y轴的垂线与反比例函数 x y 4 的图象交于 A B 两点 则四边形 MAOB 的面积为 C N 12 2015 山东济南 第 20 题 3 分 如图 等边三角形 AOB 的顶点 A 的坐标为 4 0 顶点 B 在反比例函数 k y x x 0 的图象上 则 k 13 2015 山东日照 第 16 题 4 分 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 四边形 ODEF 和四 边形ABCD 都是正方形 点 F 在 x 轴的正半轴上 点 C 在边 DE 上 反比例函数 y k 0 x 0 的图象过点 B E 若 AB 2 则 k 的值为 三 解答题 14 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 一次函数 y ax b 的图象与 x 轴相交于点 A 2 0 与 y 轴交于点 C 与反比例函数 k y x 在第一象限内的图象交于点 B m n 连结 OB 若 S AOB 6 S BOC 2 1 求一次函数的表达式 2 求反比例函数的表达式 15 2015 辽宁大连 如图 在平面坐标系中 AOB 90 AB x 轴 OB 2 双曲线 y x k 经过点 B 将 AOB 绕点 B 逆时针旋转 使点 O 的对应点 D 落在 X 轴的正半轴上 若 AB 的 对应线段 CB 恰好经过点 O 1 点 B 的坐标和双曲线的解析式 2 判断点 C 是否在双曲线上 并说明理由 16 2015 辽宁沈阳 如图 已知一次函数 3 3 2 yx 与反比例函数 k y x 的图象相交 于点A 4 n 与x轴相交于点B 1 填空 n的值为 k的值为 2 以AB为边作菱形ABCD 使点C在x轴