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文档简介

2 3极限的运算和两个重要极限 一 极限的四则运算 二 两个重要极限 三 无穷小量的比较 说明 记号 lim 下面没有标明自变量的变化过程 实际上 下面的定理对x X0及x 都成立 我们只证明x X0的情形 定理 证 由无穷小运算法则 得 一 极限的四则运算 推论1 常数因子可以提到极限记号外面 推论2 有界 求极限方法举例 例1 解 小结 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系 得 例2 解 例3 消去零因子法 例4 解 无穷小因子分出法 小结 无穷小分出法 以分母中自变量的最高次幂除分子 分母 以分出无穷小 然后再求极限 例5 解 先变形再求极限 例6 解 例7 解 左右极限存在且相等 意义 例8 解 小结 1 极限的四则运算法则及其推论 2 极限求法 a 多项式与分式函数代入法求极限 b 消去零因子法求极限 c 无穷小因子分出法求极限 d 利用无穷小运算性质求极限 e 利用左右极限求分段函数极限 3 复合函数的极限运算法则 二 两个重要极限 1 注意 例 解 2 定义 模式 例4 解 例5 解 小结 1 两个准则 2 两个重要极限 迫敛准则 单调有界准则 三 无穷小的比较 例如 极限不同 反映了趋向于零的 快慢 程度不同 不可比 观察各极限 定义 例如 例1 解 证 必要性 充分性 意义 用等价无穷小可给出函数的近似表达式 例如 常用等价无穷小 见课本357页 例 解 等价无穷小代换 定理 等价无穷小代换定理 证 例 解 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积 则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换 而不会改变原式的极限 不能滥用等价无穷小代换 切记 只可对函数的因子作等价无穷小代换 对于代数和中各无穷小不能分别代换 注意 例 解 例 解 解 错 例6 解 另解 小结 1 无穷小的比较 反映了同一过程中 两无穷小趋于零的速度快慢 但并不是所有的无穷小都可进行比较 2 等价无穷小的代换
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