信号与系统-9.28第三章 连续信号频域分析

1,第三章 连续信号频域分析,2,周期信号傅立叶级数展开,1. 三角形式傅立叶级数,直流分量,余弦分量幅度,正弦分量幅度,其中系数：,（基频）,周期信号可分解为直流，基波和各次谐波的线性组合。,3,解：,傅里叶级数展开式为：,基波,直流,谐波,f(t)在一个周期区间（-，）内，有,周期T2，2/T1,n=0,1,2,谐波,4,2.指数形式傅立叶级数,在( t0，t0 +T )为完备正交函数集。,对于周期信号f(t)=f(t+nT) ，当其满足狄氏条件时，可展成：,其中：,5,3三角函数傅立叶级数与指数傅立叶级数关系,(n0),(n0),6,4周期信号对称性与傅里叶级数的关系,（1） f(t)为奇函数,（2） f(t)为偶函数,纵坐标轴对称：偶函数、奇函数；前后对称：偶次项、奇次项。,7,波形移动T/2，与原波形横轴对称。,f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即,n=1，3，5，时,波形移动T/2，与原波形重合,f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，即,n=0，2，4，6，时,（4）f(t)为偶谐函数,（3）f(t)为奇谐函数,4周期信号对称性与傅里叶级数的关系,根据周期信号的对称性与傅里叶系数的关系，可使求解傅里叶系数的计算量大大减少；也可以确定信号所含的频率分量的类别；对绘波形图也有作用。,8,例1,已知周期信号f (t)前四分之一周期的波形如图所示，按下列条件绘出整个周期内的信号波形。 f (t)是t的偶函数，其傅里叶级数只有偶次谐波；,偶函数：波形纵轴对称； 只有偶次谐波：平移半个周期后与原波形完全重叠。,解：,9,例 2,已知周期信号f (t)前四分之一周期的波形如图所示，按下列条件绘出整个周期内的信号波形。 f (t)是t的偶函数，其傅里叶级数只有奇次谐波；,偶函数：波形纵轴对称； 只有奇次谐波：平移半个周期后与原波形相对于横轴对称。,解：,10,二、周期信号的频谱图,相位频谱,幅度频谱,离散谱，谱线,周期信号展开为傅氏级数的在不同频率点振幅、相位随频率变化的图形。,信号的频谱图：周期信号各次谐波的分布图形，是信号频域表示的一种方法。,（1） 单边频谱,（2） 双边频谱,11,例1：,请画出信号f（t）的幅度谱和相位谱。,解 ：,余弦形式：,三角形式傅里叶级数系数：,12,指数形式：,单边振幅频谱：,双边振幅频谱：,将双边振幅频谱 围绕纵轴将负n一边对折到n一边，并将振幅相加，便得到单边振幅An频谱。,13,相位频谱,谐波的相位将使得各谐波分量的幅度在不连续点前几乎都取相同的符号，在不连续点后各谐波分量的幅度取相反的符号。这样各次谐波合成的结果才能使信号f(t)在不连续点附近存在急剧跳变 。,t,t,t,t,f(t),1,-1,3,-3,0,0,0,0,基波,3次谐波,5次谐波,相位谱对信号中急剧变化点的位置起着重要的作用。如果在重建信号的时候忽略了相位谱，重建的信号就会模糊或失去信号原有的特征。,14,周期信号频谱特点： 1）离散性 : 频谱由频率离散而不连续的谱线组成； 2）谐波性：各次谐波分量的频率都是基波频率的整数倍； 3）收敛性：谱线幅度随谐波频率的增大而衰减。,15,1、频谱结构：,三.周期矩形脉冲的频谱,16,(2) 频谱具有离散性、谐波性和衰减性；,(3) 其最大值在n=0处；,（4）零频率：使得Fn=0的频率。,（5）有效频宽：第一个零频率。,2.频谱特点,例：语音信号频率约为 300 3400Hz 音乐信号频率约为 50 15,000Hz 扩大器与扬声器有效带宽约为 1520,000Hz,（1）频谱包络服从抽样函数,w=02/有效频谱宽度或信号的占有频带,17,3. 频谱随参数的变化,（1）设f(t)中的 E不变，不变，周期变化,有效谱带内谐波分量增大,减小，谱线间距减小，谱线变密,0,谱线振幅减小，变化缓慢,零分量频率不变： Bw或Bf不变,T无限增大，f(t)非周期信号，相邻谱线间隔0，振幅无穷小，周期信号的离散频谱非周期信号的连续频谱。,18,（2） 设f(t)中的 E不变，周期不变， 变化时,不变，谱线间距相等,零分量频率减小：Bw或Bf变小,有效谱带内谐波分量减小,谱线振幅较大，减小变化急速,19,定义：,4、周期信号的功率,例：求图示信号f(t)的功率（E1）。,解：,物理意义：f(t)代表1电阻两端的电压（或电流），P表示f(t)在1电阻上消耗的平均功率。,Parseval功率守恒定理,有效频宽内信号的平均功率,20,周期函数 非周期函数,（2）矩形脉冲信号的频带宽度：,离散频谱 连续频谱,（3）矩形脉冲频谱特点：离散性，谐波性，收敛性,或,对于一般信号，频带宽度定义为幅值下降为,讨论：,21,3 3 非周期信号的频谱,22,一.频谱密度函数,周期信号 非周期信号,离散谱 连续谱，幅度无限小,频谱密度函数,单位频率上的谐波幅度,1、频谱密度,T有限时,周期信号,23,傅里叶变换的解释,任意信号 f (t)可以分解为无穷多个不同频率的复指数信号 ，它包括了一切频率，且各分量的幅值 无穷小。这样系统的输入和输出的关系为：,输出频谱； 输出原函数。以上就是傅里叶分析的基本思想。,24,2、傅立叶变换对,象函数,原函数,1、F(j)反映单位频率上幅值与相位分布情况，称频谱密度函数。,讨论：,2、 F(j)为复变函数,幅度频谱,相位频谱,25,3、f(t)的分解,l任意信号f(t)可分解为无穷多个幅度为无穷小的连续指数信号之和。,l任意信号f(t)可分解为许多频率不同的正、余弦分量之和。,l任意信号f(t)可分解为实函数和虚函数之和。,4、付里叶变换存在的充分条件：,(绝对可积),Sa(wt)、U(t)、sgn(t)、周期函数,26,1、单边指数信号,二.典型非周期信号频谱密度函数,频谱函数,27,2、单位阶跃信号,不满足绝对可积条件,利用单边指数信号求其傅立叶变换，,频谱函数,28,3、偶双边指数信号,频谱函数,29,4、直流信号,不满足绝对可积条件,利用偶双边指数信号求其傅立叶变换,频谱函数,3